1、直线与圆的位置关系Page 1 of 33中考要求中考要求考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题知知识识点睛点睛一、直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系设的半径为 ，圆心到直线 的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：OrOld位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点直线 与相离drlO相切lOdr直线与圆有唯一公
2、共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线 与相切drlO相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线 与相交drlO直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（1 1）直线与圆的位置关系Page 2 of 33二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则ABABMABl过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点ABABlABM过切点，
3、垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心ABlABMABMBOlA2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端” ，“垂直于半径” ，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线” 因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上OOOAAAlll3.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线
4、，它们的切线长相等，圆心和这一点的连直线与圆的位置关系Page 3 of 33线平分两条切线的夹角三、三角形的内切圆三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2.多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形3.直角三角形内切圆的半径与三边的关系cbacbaOFEDCBACBACBA设 、 、 分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，abcABCABCSsrp其中若，则12pabc90C12rabc例例题题精精讲讲一、直线与圆位置关系的确定一、直线与圆位置
5、关系的确定【例 1】如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，点在数OO45AOBP轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则 的取值范POAOOPxx围是A B 0 x22x2C1 1D xx2直线与圆的位置关系Page 4 of 33PBOA【例 2】中，给出下列三个结论： 以点为圆Rt ABC90C3cmAC 4cmBC C心，3 cm 长为半径的圆与相离；以点为圆心，4cm 长为半径的圆与相切；ABCAB以点为圆心，5cm 长为半径的圆与相交上述结论中正确的个数是（ ）CABA0 个 Bl 个 C2 个 D3 个【巩固】在中，以点为圆心， 为半径的圆和Rt ABC90C1
6、2cmAC 16cmBC Cr有怎样的位置关系？为什么？AB1；9cmr 10cmr 9.6cmr DCBA【例 3】如下左图，在直角梯形中，且，是ABCDADBC90C ABADBCAB的直径，则直线与的位置关系为( )OeCDOeA相离B相切 C相交 D无法确定OBCDA【巩固】如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，BCODDOeAD，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置BADA10BC 4AD CEO52关系是 直线与圆的位置关系Page 5 of 33OEDCBA二、切线的性质及判定二、切线的性质及判定【例 4】已知：为平分线上一点，于，以为圆心以为半径作OBACODA
7、BDOOD圆求证：与相切OOACODCBA【巩固】如图，为等腰三角形，是底边的中点，与腰相切于点ABCABACOBCOAB，求证与相切DACOODCBA【例 5】已知：如图，内接于，是过的一条射线，且求证：ABCOeADABCAD 是的切线ADOeODCBA【巩固】已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，ABOCOMNCADMND平分求证：为的切线ACDABMNO直线与圆的位置关系Page 6 of 33OBADCNM【例 6】如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交Rt ABCBCODOEAC于， 求证：是的切线；ABEDEOOEDCBA【例 7】如图，已知是的半径，是中点，是延长
8、线上一点，且OAOBOABCOAPOA求证：是的切线PAACPCOPOCBA【例 8】如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B（1）求证：AD是O的切线（2）若O的半径为 3，AB=4，求AD的长直线与圆的位置关系Page 7 of 33POCBAABCDO【例 9】如图，以等腰中的腰为直径作，交于点过点作，垂ABCABOeBCDDDEAC足为E（1）求证：为的切线；DEOe（2）若的半径为 5，求的长Oe60BACDE【例 10】如图，是的外接圆，点是圆外一点，切于点ORt ABC90ABCPPAO，且APAPB（1）求证：是的切线PBO（2）已知，求的半径31PAB
9、C，O【例 11】如图，为的直径，是的中点，交ABODBCDEACOEDCBAOCDFABE直线与圆的位置关系Page 8 of 33OFDECBA的延长线于，的切线交的延长线于点ACEOBFADF（1）求证：是的切线；DEO（2）若，的半径为 ，求的长3DE O5BF【例 12】已知，如图在矩形中，点在对角线上，以长为半径的圆与ABCDOACOAO分别交于点，ADAC、EF、ACBDCE （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；CEO（2）若，求的半径2tan22ACBBC，O【巩固】如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与OABCDOOAO相切于，与、分别相交于、BCMA
10、BADEF（1）求证：与相切CDO（2）若正方形的边长为 ，求的半径ABCD1O直线与圆的位置关系Page 9 of 33OFEMDCBA【例 13】已知：在中，是直径，是弦，于点，过点作直线，OeABACOEACECFC使，交的延长线于点FCAAOE ABD（1）求证：是的切线；FDOe（2）设与相交于点，若，求半径的长；OCBEG2OG Oe（3）在（2）的条件下，当时，求图中阴影部分的面积3OE FBDEOAC【例 14】如图，以为直径的交于点，过作，垂足ABBCABOACDDDEBC为E直线与圆的位置关系Page 10 of 33（1）求证：是的切线；DEO（2）作交于，垂足为，若，求
11、弦的长DGABOGF308AAB，DGOGFDECBA【巩固】如图，在中，以为直径的与交于点，过作，ABCABBCABOACDDDFBC交的延长线于，垂足为ABEF（1）求证：直线是的切线；DEO（2）当时，求的值58ABAC，cosEOFECDBA【例 15】如图，中，以为直径作交边于点，是边Rt ABC90ABCABOACDE的中点，连接BCDE（1）求证：直线是的切线；DEO直线与圆的位置关系Page 11 of 33（2）连接交于点，若，求的值OCDEFOFCFtanACOFODECBA【巩固】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，ACOBOABOEEO交于点，作于点，交于点
12、BCDDEDCEFACFADM（1）求证：是的切线；BCO（2）EMMFMFEODCBA【巩固】如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，ABOBCABBOCOEADOC弦于点DFABG（1）求证：点是的中点；EBD直线与圆的位置关系Page 12 of 33（2）求证：是的切线；CDO（3）若，的半径为 ，求的长4sin5BADO5DFOFGEDCBA【例 16】如图，是的直径，是上一点，过作的垂线交ABOe30BACMOAMAB于点，交的延长线于点，直线交于点，且ACNBCECFENFECFE （1）证明是的切线；CFOe（2）设的半径为 ，且，求的长Oe1ACCEMOOEFNAMBC【巩固
13、】如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与ABCOeADBCDBOe的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长CAEG，ADCGBEF与的延长线相交于点AFCBP直线与圆的位置关系Page 13 of 33（1）求证：；BFEF（2）求证：是的切线；PAOe（3）若，且的半径长为，求和的长度FGBFOe3 2BDFGGPFEODCBA课课后作后作业业1.已知，点在的平分线上，以为圆心 3cm 为半径作圆，60ABCOABC5cmOB O则与的位置关系是_OeBC2.如图，半径为的切直线于，则的度数是 3cmOACB3cm3cmABBC，AOCOCBA3.如图所示在中，的平分线
14、交于，为上一点，Rt ABC90BABCDEAB，以为圆心，以的长为半径画圆求证：（1）是的切线；DEDCDDBACD（2）ABEBAC直线与圆的位置关系Page 14 of 33EDCBA4.已知：如图，为上一点，交于，连结，且求CODAOBACBC、DCBCAB 证：（1）为的切线；（2）DCO2CDAD BDODCBA5.如图，四边形ABCD内接于Oe，BD是Oe的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是Oe的切线；（2）若301cmDBCDEo，求BD的长6.如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，ABC10ACBC12AB BCOABD交于点，垂足为，交的延长线于点A
15、CGDFACFCBE（1）求证：直线是的切线；EFO（2）求的值sinEABCDEOGDAOFECB直线与圆的位置关系Page 15 of 337.如图，在以为圆心的两个同心圆中，经过圆心，且与小圆相交于点、与大OABOA圆相交于点小圆的切线与大圆相交于点，且平分BACDCOACB 试判断所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；BC 试判断线段之间的数量关系，并说明理由；ACADBC 若，求大圆与小圆围成的圆环的面积8cm10cmABBCODCBA中考要求中考要求考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径
16、之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（2 2）直线与圆的位置关系Page 16 of 33例例题题精精讲讲一、切线的性质及判定一、切线的性质及判定【例 1】如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，ABOeDABDOeC若，则_25A D OACBD【例 2】如图，直线与相切于点，的半径为 ，若，则的长为( )ABOAO230OBAOBABCD4 342 32OBA【巩固】如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，AB
17、OBOABCD，则切线 60AOB4cmBC AB cmODCBA【例 3】如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且OeABAC30CDABD的半径为 2，则的长为（ ）OeCDABC2D42 34 3【巩固】如图，为半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，EBOAEBADOD于点，半圆的半径为 ，则的长为_BCADC2AB O2BCACDBO直线与圆的位置关系Page 17 of 33OEDCBA【例 4】如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及ABCDCDOADBC腰均相切，切点分别是求证：以为直径的圆与相切ABDCE，ABCDODCBA【巩固】如图，已知以直角
18、梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直ABCDABCDCD径的圆与相切ABODCBA【例 5】已知：如图，在中，以为直径的半圆与边相交于点，切ABCABACBCOABD线，垂足为点DEACE求证：（1）是等边三角形；（2）ABC13AECE直线与圆的位置关系Page 18 of 33EACOB【巩固】如图，切于点，直线交于点，弦，求证：MPOMOPOABACMPMOBCMPOCBA【例 6】如图，已知点在的边上，以为直径的与相切于点，且平EABCABAEOBCDAD分求证：BACACBCOEDCBA【巩固】是圆的直径，是它的弦，过作圆的切线，过作交于，ABBCCCDBBECDCDE则ABCE
19、BC 直线与圆的位置关系Page 19 of 33AOBCDE【例 7】如图，已知中，以为直径作交于，过作的Rt ABC90ABCABOACDDO切线交于求证：DEBCEBECEDOECBA【巩固】如图，已知的弦垂直于直径，垂足为，点在上，且，延OABCDFEABEAEC长到点，连结，若，试判断与的位置关系，并说明理由ECPPBPBPEPBOOPFEDCBA【例 8】如图，点在的直径的延长线上，切于点，连结POeBA2ABPAPCOeCBC（1）求的正弦值；P（2）若的半径，求的长度Oe2cmr BCPCOBA直线与圆的位置关系Page 20 of 33【巩固】在中，是边上一点，以为直径的与边
20、相切RtABC90ACBDABBDOAC于点，连结并延长，与的延长线交于点EDEBCF（1）求证：；BDBF（2）若，求的面积64BCAD，O【例 9】如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若OODBCFOEAECODB（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；BDO（2）当时，求的长108ABBC，BDFECODBA【巩固】已知：如图，O 的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作O的切线，ABPABP切点为，连接CAC（1）若，求阴影部分的面积；120ACP（2）若点在的延长线上运动，的平分线交于点，PABCPAAC4 tan604 3PC 的大小是否发生88 33OPCSSS阴影扇形BO
21、C变化？若变化，请说明理由；若不变，求出OFEDCBAOPBCA直线与圆的位置关系Page 21 of 33的度数12【例 10】在平行四边形中，以为直径作，ABCD1060ABADmD，ABO（1）求圆心到的距离(用含的代数式来表示)；OCDm（2）当取何值时，与相切mCDOOABCD【巩固】已知：如图，半圆的直径，在中，O12DEcmABC90ACB30ABC半圆以每秒的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始12BCcmO2cmDE终在直线上设运动时间为 （秒） ，当(秒)时，半圆在的左侧，BCt0t OABC8OCcm（1）当 为何值时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切？tABCO直线与
22、圆的位置关系Page 22 of 33（2）当的一边所在直线与半圆所在的圆相切时，如果半圆与直线围ABCOODE成的区域与三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积ABCABCEOD乙 乙 1乙t=1乙DOC(E)A乙 乙 2乙t=4乙DEC(O)BA乙 乙 3乙t=7乙C(D)OB(E)A乙 乙 4乙t=16乙DOECBA【例 11】已知：如图，的直径与弦相交于，的切线与弦OABCDEBCBDOBF的延长线相交于点ADF（1）求证：CDBF（2）连结，若的半径为 ，求线段的长BCO43cos4BCDADCD、直线与圆的位置关系Page 23 of 33EOFDCBA【巩固】如图，在中，为边上
23、一点，以为圆心，ABC90C34ACBC，OBCO为半径作半圆与边和边分别交于点，连结OBBCABDE，DE（1）当时，求线段的长；3BD DE（2）过点作半圆的切线，当切线与边相交时，设交点为求证：EOACF是等腰三角形FAEOFEDCBA课课后作后作业业1.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出，则此光盘的直径是_cm 3cmAB 直线与圆的位置关系Page 24 of 33 B A 60 2.如图，中，以上一点为圆心作与Rt ABC9043CACBC，BCOO相切，又与的另一交点为，则线段的长为_ABAC、OBCDBD
24、ABCDO3.如图，是半圆的直径，直线切半圆于，如果，ABMNCAMMNBNMN，AMa，那么半圆的半径是_BNbOCNMBA4.如图，的半径，直线，垂足为，交O于两点，Oe10cmOC lCOHA B，直线l平移多少厘米时能与O相切？16cmAB lOHCBA5.已知：如右图所示，以的斜边为直径作，是上的点，且Rt ABCABODO，过点作的切线，与的延长线交于点试判断与是否互ACCDCOBDEBECE相垂直?请说明理由直线与圆的位置关系Page 25 of 33OEDCBA6.如图，分别是的直径和弦，点为上一点，弦交于点，交ABBCODBCDEOE于点，交于点，过点的切线交的延长线于，且，
25、连接ABFBCGCEDHHCHG，交于点，连接BHOMMDME求证：（1）；（2）DEABHMDMHEMEH HOMGFEDCBA直线与圆的位置关系Page 26 of 33中考要求中考要求考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题例例题题精精讲讲一、切线长定理一、切线长定理【例 12】如图，分别是的切线，为切点，是的直径，已知PA P
26、B，OeA B，ACOe，的度数为（ ）35BACPABCD35456070直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（3 3）COBAP直线与圆的位置关系Page 27 of 33【巩固】如图，分别切于两点，满足，PAPB、OAB，PCAB PBAC PCAB PCAC PB且，求的度数APPC2PABBPC ACB【例 13】如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为如果OPOPAPB，AB，那么弦的长是（ ）60APBo8PA ABA4B8CD4 38 3OBAP【巩固】一个钢管放在形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心如果钢管的半径为V，则（ ）25cm60MPNOP A B C D50
27、cm25 3 cm50 33cm50 3 cm【例 14】如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底ABCDCDOAD以及腰均相切，切点分别是若半圆的半径为 ，梯形的腰为BCABDCE，O2AB，则该梯形的周长是（ ）5A B C D9101214OCBAPOPMNOEDCBA直线与圆的位置关系Page 28 of 33【巩固】等腰梯形外切于圆，且中位线的长为，那么这个等腰梯形的周长是ABCDMN10_【例 15】如图，分别切于，若，周长为，求PAPBDE、OABC、10PO PDE16的半径OOPEDCBA【巩固】如图，切于，切于，交于两点，已知PAPB，OeAB，MNOeCPAP
28、B，MN，求的周长8PA PMNOPCNMBA【例 16】由圆外一点引圆的两条切线、，、为切点，过作直径，连接PPBPDBDBAB、，则ADPOADPOADPOEB直线与圆的位置关系Page 29 of 33【巩固】过圆的直径的两端作圆的切线、，分别与过任一点这切线相交OABADBEABC于、，求证：DEODOEABECDO【例 17】如图甲，已知为半圆的直径，为过点的半圆的切线，在上任取一ABOAPAAB点（点与、不重合） ，过点作半圆的切线交于点，过点作CCABCCDAPDC，垂足为，连接，交于点CEABEBDCEF（1）当点为的中点时，求证：；CABCFEF（2）当点不是的中点时(图乙)
29、，试判断与的相等关系是否存在，并CABCFEF证明你的结论乙OPFDECBA乙OPFDECBA直线与圆的位置关系Page 30 of 33【巩固】已知，如图，是的直径， 是过点的的切线，是 上一动点(不与点ABOlBOCl重合)，与交于BACOD（1）若是的中点，试判断直线与的位置关系，并证明；MBCDMO（2）过动点作的切线，为切点，且交过点的的切线于，若COCPPAOE的半径为 ，试问是否为一定值？若是，请求出这个值；若不是，请求O2PC PE出其变化范围lOMDCBA二、三角形的内切圆及内心二、三角形的内切圆及内心【例 18】如图，等边ABC的边长为 12cm，内切Oe切BC边于D点，则
30、图中阴影部分的面积为( )A2cmB332cmC22cmD 32cm【巩固】如图，点是的内切圆的圆心，若，则（ ）OABC80BACBOCA130B100C50D65ODCBAOCBA直线与圆的位置关系Page 31 of 33【例 19】如下图所示，的内切圆与三边、分别切于、，ABCABBCCADEF，求、的长11cmAB 13cmBC 14cmCA ADBECF【巩固】中，过的内切圆圆心 作，分别与ABCAB78BC CA 9ABCIDEBC，相交于点，则的长为 ABACDEDEharIEDCBA【例 20】如图，为的内切圆，求内切圆半径 OeRt ABC9043ACBACBC，r43OC
31、BA【巩固】中，则的内切圆半径_Rt ABC9068CACBCABCr 直线与圆的位置关系Page 32 of 33课课后作后作业业1.如图，是的内切圆，是切点，OABCDEF18cm20cm12cmABBCAC又直线切于，交于，则的周长为_MNOGABACMNBMNONMGFEDCBA2.如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，的弦平行于ABOBCOBOAD，若，且，求的长OC2OA 6ADOCCDODCBA3.在一个夹角为的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两120边的墙分别切于点，如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的BC，长度不够（1）写出此图中相等的线段；（2）请你设计两种不同的通过计算可求出直径的方法(只写主要的解题过程)CBA直线与圆的位置关系Page 33 of 334.如图，是半圆的直径延长线上一点，切半圆于点，于，若POBCPAAAHBCH，则_1PA2PBPCa aPH POHCBA5.如图所示，中，内切和边，分别相切于点，若ABCOBCCAABDEF，求的度数70FDEAOFEDCBA6.在中，求内切圆的半径Rt ABC90C3AC 4BC ABCFEDCBA
