1、2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.理解指数函数模型的理论背景2.理解有理数指数幂的含义，理解实数指数幂的意思，操纵幂的运算3.理解指数函数的不雅观点及其单调性，操纵指数函数图象通过的专门点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4.体会指数函数是一类要紧的函数模型.开门见山调查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，调查函数与方程、不等式等交汇征询题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)规那么：负数的正分数指数幂的意思是(a0，m，nN，且为既约分数)；负数的负分数指数幂的意思是(a0，m，nN，且为既约分数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂不料思.(2)
2、有理指数幂的运算性质：aaa，(a)a，(ab)ab，其中a0，b0，Q.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数不雅观点方法微思索1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，那么a，b，c，d与1之间的大小关系为提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象跟性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关提示当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)()na(nN)()(2)分
3、数指数幂可以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)假设am0，且a1)，那么mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()题组二讲义改编2化简(x0，y0，且a1)的图象通过点P，那么f(1).答案分析由题意知a2，因此a，因此f(x)x，因此f(1)1.4已经清楚a，b，c，那么a，b，c的大小关系是答案cb0，即ab1，又c01，cba.题组三易错自纠5打算：0.答案2分析原式12.6假设函数f(x)(a23)ax为指数函数，那么a.答案2分析由指数函数的定义可得解得a2.7假设函数y(a21)x在(，)上为减函数，那么实数a的取值范围是答案(，1)(1，
4、)分析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a1，那么f(x)maxf(1)a2；假设0a0，那么以上等式成破的是()A(2)24B2a3C(2)01D答案D分析关于A，(2)2，故A差错；关于B,2a3，故B差错；关于C，(2)01，故C差错；关于D，故D精确2打算：0.00210(2)10.答案分析原式211010201.3化简：(a0，b0).答案分析原式2213101.4化简：(a0)答案a2分析原式思维升华(1)指数幂的运算起首将根式、分数指数幂分歧为分数指数幂，以便运用法那么打算，还应留心：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后次第(2)当底数是负数时，先判定标志，再把底数
5、化为负数(3)运算结果不克不迭同时含有根号跟分数指数，也不克不迭既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及运用例1(1)函数f(x)1e|x|的图象大年夜抵是()答案A分析f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只需A.(2)假设函数y|4x1|在(，k上单调递减，那么k的取值范围为_答案(，0分析函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方掉掉落的，函数图象如以下列图由图象知，其在(，0上单调递减，因此k的取值范围是(，0思维升华(1)已经清楚函数分析式揣摸其图象一般是取专门点，揣摸选项
6、中的图象是否过这些点，假设不称心那么打扫(2)关于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变卦而掉掉落特不地，当底数a与1的大小关系不判准时应留心分类讨论跟踪训练1(1)已经清楚实数a，b称心等式2019a2020b，以下五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不克不迭够成破的关系式有()A1个B2个C3个D4个答案B分析如图，不雅观看易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是答案1分析方程的解可看作函数y2x跟y2x的图象交点的横坐标，分不作出这两个函数的图象(如图)由图象得只需一个交点，因此该方程只需一个解题型三指数函数的性质
7、及运用命题点1比较指数式的大小例2(1)已经清楚a，b，c，那么()AbacBabcCbcaDca220，可知b15a15c15，因此bac.(2)假设1a连接)答案3aa3a分析易知3a0，a0，a30，又由1a0，得0a1，因此(a)3(a)，即a3a，因此3aa3a.命题点2解庞杂的指数方程或不等式例3(1)(2018包头模拟)已经清楚实数a1，函数f(x)假设f(1a)f(a1)，那么a的值为答案分析当a1时，代入不成破故a的值为.(2)假设偶函数f(x)称心f(x)2x4(x0)，那么不等式f(x2)0的解集为答案x|x4或x0分析f(x)为偶函数，当x0，那么f(x)f(x)2x4
8、，f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或x0)，那么yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，因此函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)(3)假设函数f(x)有最大年夜值3，那么a.答案1分析令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大年夜值3，因此h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大年夜值3时，a的值为1.思维升华(1)运用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最要紧的是“同底原那么，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数征询题，要清楚复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等征询题时，都
9、要借助“同增异减这一性质分析揣摸跟踪训练2(1)函数f(x)x2bxc称心f(x1)f(1x)，且f(0)3，那么f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx)Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx)D与x有关，不判定答案A分析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)f(cx)，综上，f(bx)f(cx)(2)已经清楚f(x)2x2x，a，b，那么f(a)，f(b)的大小关系
10、是答案f(b)b，f(a)f(b)(3)假设不等式12x4xa0在x(，1时恒成破，那么实数a的取值范围是答案分析从已经清楚不等式中不离出实数a，得a.函数yxx在R上是减函数，当x(，1时，xx，从而得.故实数a的取值范围为.1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，那么a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca答案C分析由于函数y0.6x在R上单调递减，因此b0.61.5a0.60.61，因此ba0，且axbx0且a1，b0且b1)，那么a与b的大小关系是()Aba1Bab1C1baD1ab答案B分析假设ax0，那么必有0a1，因此C，D错，又axa，应选B.4已
11、经清楚f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象通过点(2,1)，那么f(x)的值域为()A9,81B3,9C1,9D1，)答案C分析由f(x)过定点(2,1)可知b2，由于f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.应选C.5假设函数f(x)a|2x4|(a0，a1)称心f(1)，那么f(x)的单调递减区间是()A(，2B2，)C2，)D(，2答案B分析由f(1)，得a2，因此a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，因此f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减应选B.6已经清楚函数f(x)的值
12、域是8,1，那么实数a的取值范围是()A(，3B3,0)C3，1D3答案B分析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，因此8,1，即81，即3aa是“函数f(x)xm的图象只是第三象限的需要不充分条件，那么实数a能取的最大年夜整数为答案1分析f(0)m，函数f(x)的图象只是第三象限等价于m0，即m，“ma是“m的需要不充分条件，ax4的解集为答案(1,4)分析原不等式等价于2x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x4.9当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成破，那么实数m的取值范围是答案(1,2)分析原不等式变形为m2mx，由于函数yx在(，1上是减函数
13、，因此x12，当x(，1时，m2mx恒成破等价于m2m2，解得1m2.10已经清楚函数f(x)2x，函数g(x)那么函数g(x)的最小值是答案0分析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，因此g(x)g(0)0；当xg(0)0，因此函数g(x)的最小值是0.11已经清楚9x103x90，求函数yx14x2的最大年夜值跟最小值解由9x103x90，得(3x1)(3x9)0，解得13x9，即0x2.令xt，那么t1，y4t24t2421.当t，即x1时，ymin1；当t1，即x0时，ymax2.12已经清楚函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象通过点A(1,6)，B(3,2
14、4)(1)求f(x)的表达式；(2)假设不等式xxm0在(，1上恒成破，务虚数m的取值范围解(1)由于f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，因此因此a24，又a0，因此a2，b3.因此f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，那么当x(，1时，xxm0恒成破，即mxx在(，1上恒成破又由于yx与yx在(，1上均为减函数，因此yxx在(，1上也是减函数，因此当x1时，yxx有最小值，因此m，即m的取值范围是.13(2018呼跟浩特调研)设函数f(x)那么称心f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1，)答案C分析令f(a)t，那么f(t)2t.当t1时，3t12t，
15、令g(t)3t12t，那么g(t)32tln2，当t0，g(t)在(，1)上单调递增，即g(t)g(1)0，那么方程3t12t无解当t1时，2t2t成破，由f(a)1，得a1，且3a11，解得a1；a1，且2a1，解得a1.综上可得a的取值范围是.应选C.14假设函数f(x)2|xa|(aR)称心f(1x)f(1x)，f(x)在区间m，n上的最大年夜值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，假设f(x)maxf(x)min3，那么nm的取值范围是答案(0,4分析由于f(1x)f(1x)，因此f(x)的图象关于直线x1对称，因此a1，因此f(x)2|x1|.作出函数yf(x)的图象如以下列
16、图当mn1或1mn时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y2x1与y21x的性质知极限值为0.当m1n时，函数f(x)在区间m，n上的最大年夜值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203，那么nm取得最大年夜值2(2)4，因此nm的取值范围是(0,415设f(x)|2x11|，af(c)，那么2a2c4.(选填“)答案分析f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.假设c1，那么2a2,2c2，故2a2c1，那么由f(a)f(c)，得12a12c11，即2c12a12，即2a2c4.综上知，总有2a2c4.16已经清楚函数f(x)4(1x2)(1)假设，求函数f(x)的值域；(2)假设方程f(x)0有解，务虚数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.因此g(t)maxg，g(t)ming.因此f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.
