1、1 二、概率的几种定义 一、频率的概念1.2 概率及其性质三 概率的性质21. 定义 一、频率的定义与性质 32. 性质设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则4实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.试验序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性5从
2、上述数据可得(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;6二、概率几种定义在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随1 频率化定义(1) 对任一事件A ,有性质 (概率统计定义的性质)则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .着试验次数n的增加,趋于某一常数p,7 概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。
3、8 1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概率论有了迅速的发展.2 概率的公理化定义与性质9概率的可列可加性10 二、例题选讲 一、古典概型的概念定义3 古典概型三、小结11 一、古典概型 1. 定义 若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即=1，2，n； (2) 每个基本事件发生的可能性是相等的， 即 P(1)=P(2)=P(n)。 则称这类试验的数学模型为古典概型。12. 古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间及事件A分别为： =1，2，n A=i1，
4、i2，ik则随机事件 A 的概率为： 133. 古典概型的基本模型:摸球模型(1) 无放回地摸球问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球, 现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?14样本点总数为A 所包含的样本点个数为解设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球15(2) 有放回地摸球问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.16第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球 6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球解17样本点总数为A 所包含样本点的个数为18问题3、 某人生了3个孩子
5、，求是二男一女、三女的概率19课堂练习1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位数字互不相同的概率. 20212o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.22234.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球. 4个球放到3个杯子的所有放法24因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为25(2) 每个杯子只能放一个球问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.26解第1至第4个杯子各放一个球的概率为27课堂练习1
6、o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.2829证明由概率的可列可加性得三 概率的性质30概率的有限可加性证明由概率的可列可加性得31证明32证明33证明 由图可得又由性质 3 得因此得34推广 - 三个事件和的情况n 个事件和的情况35掌握概率的性质在计算概率中带来方便36解二、 例题选讲37 例 设有编号为1,2,10的十个相同的球，一学生任意取一球，求此球的号码是偶数的概率 解 记i所取球的号码为ii=1,2,10显然，学生抽到任一球的可能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数n=10，令A所取球的号码为偶数则A所含的基本事件数nA
7、=5，故所求概率为38 例3 一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？ 解 5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为5！。 设A=第1卷放在最左边, B=从左到右正好按卷号排成12345,则A包含的基本事件总数为14!，B包含的基本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。39 注：计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列有时用组合，那么，何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时用组合。另外，当考虑“
8、顺序”时，样本空间及所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然40在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有于是所求的概率为解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有41例 5（分房问题） 有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率： 1)某指定 间房中各有一人 ; 2)恰有 间房，其中各有一人； 3) 某指定一间房中恰有 人。 解 先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。42 b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为 a)某指定n间
9、房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为 c)某指一间房中恰有m人，可能的分法为 43进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :（1） （2） （3） 上述分房问题中，若令 则可演化为生日问题.全班学生30人， (1) 某指定30天，每位学生生日各占一天的概率； (2) 全班学生生日各不相同的概率； (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为 :44由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于10.294=0.706, 这个值大于70%。（1） （2）（3）45 1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3个记录
10、其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.备份题46解(1)总的选法种数为最小号码为5的选法种数为47(2)最大号码为5的选法种数为故最大号码为5的概率为故小号码为5的概率为48 2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去 ,试求每个盒子至多有一只球的概率.49 将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有64 种放法.每个盒子中至多放一只球共有 种不同放法. 因而所求的概率为解 50例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少
11、? 51解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有52因此所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有因此所求概率为53 4 求你们班至少有两个同学在同一天过生日的概率是多大 ？5455我们利用软件包进行数值计算.56 小概率事件一般是不会发生的，这个思想可以用于统计推断中。57 4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的. 58 假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777 故一周内接待 12 次来访共有59小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为60频率性质 概率定义 三、小结频率定义频率概率61应用 定义古典概型 (1) 样本空间的元素(基本事件)只有为有限个， 即=1，2，n；(2) 每个基本事件发生的可能性是相等的，P(1)=P(2)=P(n)。
