1、二、分布函数的概念一、随机变量的概念三、例题讲解第2.1节 一维随机变量及其分布四、小结1. 随机变量的定义定义2.1 随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母, , ,.等表示.一、随机变量的概念 引人随机变量的基本思想就是为了更好地研究随机现象,对随机现象的结果（即样本空间中每一个样本点）进行量化处理,这样一来对随机现象的研究就转为对随机变量的研究。 实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种情况:若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有即 X ( ) 是一个随机变量.若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有可得随机变量 X(),实例 2 在有两个孩子的家庭中,考虑其
2、性别 , 共有 4 个样本点:随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同2.随机变量的分类离散型(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个(可列个), 叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数.随机变量 X 的可能值是 :随机变量连续型实例11, 2, 3, 4, 5, 6.
3、非离散型其它实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: 实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”, 则 X 的所有可能取值为:实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”.则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则 X 的取值范围为 二、分布函数的概念 为了对离散型和连续型随机变量r.v（random variable）以及更广泛类型的r.v给出一种
4、统一的描述方法，下面引进了分布函数的概念.1.分布函数的定义2.2设 X 是一个 r.v，称为 X 的分布函数. 记作 X F(x) 或 FX(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间-, x的概率. |x 问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？X是随机变量, x是参变量.F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落在区间（ x1 , x2 的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量
5、X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.(2) 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量.证明2.分布函数的性质(单调不减性)证明所以即任一分布函数处处右连续. 反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.重要公式证明三、例题讲解请同学们思考不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?答不一定.例如抛均匀硬币, 令例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.解于是故 X 的分布函数为其图形为一连续曲线四、小结2. 随机变量的分类:离散型,非离散型（以连续性为主）.1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的, 因此为了方便有力地研究随机现象, 就需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机事件用数字表示时, 就建立起了随机变量的概念. 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数. 4. 分布函数的性质3. 随机变量分布函数的概念
