1、专题15：递推型规律问题-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1下表中的数字是按一定规律填写的，则的值是（）1235813342358132134A55B66C76D110【答案】C【解析】根据表格可以得到每行数字的排列规律，然后算出a、b的值，最后代入求出a+b的值，即可判断选项【详解】观察可得：第一行从第三个数开始，每个数都等于前面两个数的和，第二行的规律与第一行相同本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感， 故选C【点评】此题为数字型规律探索问题，解题关键是发现数字的变化规律2如图，下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图中有2个黑色正方形，图中有5个黑色正方形，图
2、中有8个黑色正方形，图中有11个黑色正方形，依此规律，图中黑色正方形的个数是（）ABCD【答案】D【解析】观察图中黑色正方形的个数，对应的个数为；对应的个数为；对应的个数为；对应的个数为；进而可推导出一般性规律【详解】解：图中有个黑色正方形；图中有个黑色正方形；图中有个黑色正方形；图中有个黑色正方形；依此规律，图n中有个黑色正方形故选D【点评】本题考查了图形规律的探究解题的关键在于推导规律3下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有4个小圆圈，第个图形中一共有10个小圆圈，第个图形中一共有19个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（）A31B46C64D
3、85【答案】C【解析】先分别观察给出的四个图形中，小圆圈的个数，找到规律：第n个图形小圆圈个数为：+n2，即可求解本题【详解】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第图形小圆圈个数为：+124，第个图形小圆圈个数为：+2210，第个图形小圆圈个数为：+3219，第个图形小圆圈个数为：+4231，所以第n个图形小圆圈个数为：+n2，第个图形小圆圈个数为+6264；故选：C【点评】本题考查的是图形与规律，从图形中读取我们需要的数据，并进行规律的探寻是解题的关键4观察下列三行数：第一行：2、4、6、8、10、12第二行：3、5、7、9、11、13第三行：1、4、9、16、25、36设x、y、z分别为
4、第一、第二、第三行的第100个数，则的值为（）A9999B10001C20199D20001【答案】C【解析】总结第，第，第行的变化规律，分别求出x，y，z的值即可计算【详解】解：观察第行：2、4、6、8、10、12、第100个数为1002200，即x200，观察第行：3、5、7、9、11、13、第100个数为1002+1201，观察第行：1、4、9、16、25、36、第100个数是100210000，即x200、y201、z10000，2xy+2z20199，故选：C【点评】本题主要考查的是数字的变化规律，总结归纳出变化规律是解题的关键5如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白两种颜色
5、的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2021个黑色小正方形，则这个图案是（）A第505个B第506个C第507个D第508个【答案】A【解析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有黑色的小正方形，然后写出第n个图案的涂有黑色的小正方形的个数，列出方程求解即可【详解】解：由图可得，第1个图案涂有黑色的小正方形的个数为5，第2个图案涂有黑色的小正方形的个数为52-1=9，第3个图案涂有黑色的小正方形的个数为53-2=13，第n个图案涂有黑色的小正方形的个数为 ， 解得， ，故选A【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用得到的规律求
6、解问题即可6按一定的规律排列的一组数：，（其中a，b为整数）则的值为（）A212B222C232D182【答案】B【解析】根据已知数的分母发现变化规律：两个相邻的正整数相乘，依次求出a与b的值即可得解【详解】解：，a=90，b=132，=90+132=222，故选：B【点评】此题考查了数的变化规律并解决问题，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是发现并总结得到的规律及应用规律解决问题7设（的自然数），如果是整数，n的值有（）A2个B3个C4个D5个【答案】C【解析】将式子化简后可得到 ，则，可得出是整数，即可求解【详解】解：，是整数，的自然数，应是12的约数，即可以为3，4，6，12，因此的值
7、可以为2，3，5，11，满足条件的的值一共有4个故选：C【点评】本题考查数字的规律，通过观察所给式子，找到规律，并运用是解题的关键8如果一个等腰三角形的顶角为36，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在ABC中，ABAC1，A36，ABC看作第一个黄金三角形；作ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（）A（）2018B（）2019C（）2018D（）2019【答案】B【解析】由黄金三角形的定义得BCAB，同理：BCD是第二个黄金三角形
8、，CDE看作第三个黄金三角形，则CDBC（）2，得出规律，即可得出结论【详解】解：ABAC1，A36，ABC是第一个黄金三角形，底边与腰之比等于，即，BCAB，同理：BCD是第二个黄金三角形，CDE是第三个黄金三角形，则CDBC（）2，即第一个黄金三角形的腰长为1（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，第2020个黄金三角形的腰长是（）20201，即（）2019，故选：B【点评】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键二、填空题9如图，条直线将平面分成两个部分，条直线最多可以将平
9、面分成个部分，条直线最多可以将平面分成个部分，条直线最多可以将平面分成个部分现有条直线最多可以将平面分成个部分，则的值为_【答案】63【解析】条直线最多可将平面分成，依此可得等量关系：条直线最多可将平面分成个部分，列出方程求解即可【详解】解：依题意有：，整理得，所以，解得不合题意舍去，答：的值为，故答案为：【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点10如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下
10、去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离不小于17，那么n的最小值是_【答案】11【解析】当n为奇数时，An对应的数是，当n为偶数时，An对应的数是，有题意可得或，即可求n的最小值【详解】解：当n为奇数时，A1，A3，A5，An，对应的数是-2，-5，-8，当n为偶数时，A2，A4，A6，An，对应的数是4，7，10，点An与原点的距离不小于17，或，n11，n的最小值为11，故答案为：11【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键11用棱长相同的小正方体摆成如图所示的几何体，第1层有1个正方体，第2层有3个正方体，第3层有6个正方体，按图
11、中摆放的方法类推，第20层有_个正方体【答案】210【解析】根据层数与正方体个数推导一般规律，第层有个正方体，代值计算求解即可【详解】解：第1层有1个正方体；第2层有个正方体；第3层有个正方体；依次类推，可知第层有=个正方体；第20层有个正方体故答案为：210【点评】本题考查了图形下的数字类规律的探究解题的关键在于总结一般规律12观察下面一列单项式：，根据你发现的规律写出第100个单项式_【答案】【解析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，单项式为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的单项式的系数的绝对值是2n1；指数的规律：第n个对应的单项式的x指数是n，据此解答即可【详解
12、】解：根据题干单项式，可知：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号，所以第100个单项式为正号；系数的绝对值的规律：第n个对应的单项式的系数的绝对值是2n1，所以第100个单项式对应的系数的绝对值是299；指数的规律：第n个对应的单项式的x指数是n，所以第100个单项式对应的x指数是100，故第100个单项式是299x100故答案为：299x100【点评】本题考查了单项式表示规律，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键13将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的
13、个数依次为：1，3，6，10，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为_，第55个数为_【答案】 120 3486【解析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第10和55个能被3整除的数所在组为原数列中的个数，代入计算即可【详解】第个图形中的黑色圆点的个数为：1，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第个图形中的黑色圆点的个数为：，第n个图形中的黑色圆点的个数为，这列数为1，3，6，10，15，21，28，
14、36，45，55，66，78，91，.，其中每3个数中，都有2个能被3整除，102=5（组），第10个能被3整除的数为原数列中的个数为53=15（个），=120，552=27（组）1，第55个能被3整除的数为原数列中的个数为273+2=83（个）=3486，故答案为：120，3486【点评】此题考查了图形类的规律变化，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键14如图，将一个边长为3的正方形纸片进行分割，部分的面积是边长为3的正方形纸片的一半，部分的面积是部分的一半，部分的面积是部分的一半，以此类推，n部分的面积是_（用含的式子表示）【答案】【解析】根据图形和题意，求出、的面积从而可以推出n部分
15、的面积；【详解】解： 以此类推可知n部分的面积为故答案为：【点评】本题考查图形的变化规律、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值15如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 _【答案】【解析】首先根据图形的变化得出OAn的变化规律，判断出点A2021的所在象限，再求出其坐标即可【详解】解：由已知，点A每次旋转转动45，则转动一周需转动(次)，而，(n为正整数)，即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，点的在第三象限的角平
16、分线上，设点A2021(x,x)，其中x0，点A2021的坐标是【点评】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号16在直角坐标系中，等腰直角三角形、按如图所示的方式放置，其中点、均在一次函数的图象上，点、均在x轴上若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_【答案】（22021-1，22021）【解析】首先，根据等腰直角三角形的性质求得点A1、A2的坐标；然后，将点A1、A2的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点Bn-1的坐标，然后将其横坐标代入直线方程y=x+1求得相应的
17、y值，从而得到点An的坐标，继而得到结果【详解】解：如图，点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），OB1=1，OB2=3，则B1B2=2A1B1O是等腰直角三角形，A1OB1=90，OA1=OB1=1点A1的坐标是（0，1）同理，在等腰直角A2B2B1中，A2B1B2=90，A2B1=B1B2=2，则A2（1，2）点A1、A2均在一次函数y=kx+b的图象上，解得：，该直线方程是y=x+1点A3，B2的横坐标相同，都是3，当x=3时，y=4，即A3（3，4），则A3B2=4，B3（7，0）同理，B4（15，0），Bn（2n-1，0），当x=2n-1-1时，y=2n-1-1+1=2n
18、-1，即点An的坐标为（2n-1-1，2n-1），A2022的坐标为（22021-1，22021）故答案为：（22021-1，22021）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质解答该题的难点是找出点Bn的坐标的规律三、解答题17规律探究：151512100+25225；252523100+25625；353534100+251225；(1)第4行为 ；(2)用含n的式子表示规律并证明【答案】(1)4545=45100+25=2025(2)（10n+5）2=100n（n+1）+25，证明见解析【
19、解析】（1）从给出的数据分析得，这些得出的结果最后两位都为25，百位以上2=12，6=23，12=34，依此类推得出规律：百位为n（n+1）（2）直接利用已知数据变化规律进而得出符合题意的公式(1)解：根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n（n+1），第4个算式应为4545=45100+25=2025(2)规律：（10n+5）2=100n（n+1）+25，证明：左边=100n2+100n+25，右边=100n2+100n+25，左边=右边，（10n+5）2=100n（n+1）+25【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，本题的规律为个位数位
20、5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n（n+1），难度一般18将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有 个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该
21、面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果计算（直接写出答案即可）【答案】（1）401；（2）；（3）不能，理由见解析；（4）1【解析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；（2）根据（1）中规律即可解决问题；（3）假设可以将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形，再构建方程进行求解，最后根据方程的解进行判断；（4）利用数形结合的思想解决问题，将所求表达式中的数字转化为图形的面积求解即可【详解】解：（1）第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，从第二次开始，每一次都比上一次多4个正方形，第n
22、次可得（4n1）个正方形，第100次可得正方形：41001401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n1）个正方形，故答案为：；（3）不能，理由如下：假设可以将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形，则4n12018，解得：n504.25，n不是整数，不能将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形；（4）原正方形的边长为1，原正方形的面积为1，第1次划分后每个小正方形的面积为，第2次划分后每个小正方形的面积为，第n次划分后每个小正方形的面积为，第次划分后每个小正方形的面积为，相当于原正方形面积去掉第1次划分后的左上角的小正方形面积，相当于原正方形面积去掉第2次划
23、分后的左上角的小正方形面积，相当于原正方形面积去掉第次划分后的左上角的小正方形面积，即，1【点评】本题考查图形类规律探索，掌握从特殊到一般的思想是解题关键19观察下面三行有规律的数：-2，4，-8，16，- 32，64，-4，2，-10，14，- 34，62，4，-8，16，- 32，64，-128，（1）第一行数的第10个数是_ ；（2）请联系第一行数的规律，直接写出第二行数的第10个数是_；直接写出第三行数的第n个数是_；（3）取每行的第100个数，计算这三个数和【答案】（1）1024；（2）1022，；（3）2【解析】（1）通过观察可知第一行数据的规律是，进而可以得出答案；（2）通过观察
24、可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以2，便可得出答案；（3）根据得出的规律将每一行第100个数字相加即可【详解】解：（1）-2，4，-8，16，- 32，64，该组数据的规律是：，第一行数的第10个数是；（2）通过观察可知第二行的数字的规律是：第一行的数字减去2，第三行的数字的规律是：第一行的数字乘以2，则第二行的第10个数是，第三行的第n个数是，（3）第一行数的第100个数是，第二行的第100个数是，第三行的第100个数是，即这三个数的和为2【点评】本题考查了数字的规律探究，找出数字的规律是解题的关键20观察下列等式：，将以上三个等式的两边分别相加，得：（1）直接写出计算结果：_（2）计算：（3）猜想并直接写出：_（n为正整数）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根据所给等式对进行拆分，然后计算即可；（2）按照（1）的思路对拆分计算即可；（3）由（2）的结论，可以推出，然后运用该规律解答即可【详解】解：（1）=1-=；故答案为；（2）=；（3）=【点评】本题主要考查了探究数字规律和有理数的混合运算，分析已知等式、找出规律是解答本题的关键
