1、第8章 状态空间分析方法 第第8章章 状态空间分析方法状态空间分析方法 8.1状态空间的基本概念状态空间的基本概念 8.2系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 8.3传递矩阵、传递矩阵、特性方程和线性变换特性方程和线性变换 8.4线性离散系统的状态空间表达式线性离散系统的状态空间表达式 8.5状态方程的求解及状态转移矩阵状态方程的求解及状态转移矩阵 8.6线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性 8.7控制系统的状态空间综合法控制系统的状态空间综合法 第8章 状态空间分析方法 8.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念第8章 状态空间分析方法 图8-1 RL网络 第8章 状态空间
2、分析方法 时网络回路方程为（8-1）上式两边取拉氏变换，得 将上式进行拉氏反变换，得 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 从计算的角度来说，由于状态空间分析法是时域的方法，特别适合于用数字计算机来计算。采用计算机能使工程技术人员摆脱复杂的数字运算，而专心致力于解决问题的方案分析，这是状态空间分析法的一个优点。值得注意的一点是，状态变量并不一定是表示系统的物理量。不可测量和不可观察的物理量都可选作状态变量。选择状态变量的这种自由性是状态空间分析法的另一
3、个优点。第8章 状态空间分析方法 图8-2 RLC网络 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 可得：（8-2）第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-3 二阶液位系统第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法（8-3）第8章 状态空间分析方法 输入变量是人们按照控制的要求，通过控制元件作用于系统的变量，它可根据控制要求在规定范围内改变；扰动变量是外界对系统的一种干扰作用，是客观存在的变量。第8章 状态空间分析方法（2）输出变量，它是对象的被控变量，是系统对输入变量的响应，设有m个输出变量y1,y2,ym，若用向量形式表示，则构成维向量，记作 输出变量可以
4、通过仪器来测量。第8章 状态空间分析方法（3）状态变量：如前所述，是能完全表示系统状态的最少数目的一组变量，从数学上看，有时是一组中间变量x1,x2,xm。设有个状态变量，则构成维向量，记作 注意：注意：状态变量的选择并非是唯一的。例如在例8-1中也可以选择作为状态变量。由于状态变量是描述系统的最少数目的一组变量，因此，一组状态变量必须是线性无关的集合。第8章 状态空间分析方法 8.1.2状态方程和输出方程状态方程和输出方程1、状态方程、状态方程在状态空间分析法中，对于连续系统，是用状态变量构成的个一阶微分方程组来描述系统的，称为状态方程，而个一阶微分方程可以用一个一阶矩阵微分方程来表示，称为
5、矩阵状态方程。采用矩阵表示的方法，可大大简化系统的数学描述。对于全部由离散元件构成的离散系统，状态方程是个一阶差分方程组或一个一阶矩阵差分方程。第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-4 多输入/多输出系统第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 3.状态空间分析法的优越性状态空间分析法的优越性状态空间分析法归纳起来有如下优点：（1）对于连续系统，状态空间分析法把一个n阶微分方程化为n个一阶微分方程组来描述系统的动态特征，这有利于计算机求解。（2）由于状态空间分析法采用矩阵形式表示，可大为
6、简化系统的数学描述。也就是说，当状态变量、输入变量和输出变量的数目增加时，并不会增加状态方程在形式上的复杂性。实际上，用状态空间分析法分析一个复杂的多输入多输出系统，可采用类似于分析一个一阶纯量（标量）微分方程所描述的系统的方法来解决。（3）状态空间分析法能够考虑系统的初始条件的影响，而且可应用于某些非线性系统和时变系统。第8章 状态空间分析方法 8.2系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 8.2.1由高阶微分方程式导出系统的状态空间表达式由高阶微分方程式导出系统的状态空间表达式1.单输入单输入单输出的单输出的n阶线性定常系统，阶线性定常系统，输入不含导数项输入不含导数项设单变量线性定常n
7、阶系统的微分方程为（8-8）式中,y(t)为输出变量，u(t)为输入变量。第8章 状态空间分析方法（8-9）第8章 状态空间分析方法 则式（8-8）可化为n个一阶微分方程组，也就是状态方程 由于输出变量为y(t)，所以其输出方程为 y=x1 第8章 状态空间分析方法 将上式写成向量矩阵形式为（8-10）第8章 状态空间分析方法 例例8-3设系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式。解解选取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 用矩阵方程表示，则其状态方程和输出方程为 或 第8章 状态空间分析方法 式中 第8章 状态空间分析方法 例例8-4如图8-5所示的闭环控制系统，其开环传递函数为，试求其
8、闭环控制系统的状态空间表达式。图8-5例8-4闭环系统 第8章 状态空间分析方法 解解由图可得系统的闭环传递函数 其相应的微分方程为 取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 则闭环控制系统的状态方程和输出方程为 于是矩阵形式为 式中 第8章 状态空间分析方法 2.单输入单输入单输出单输出n阶线性定常系统，阶线性定常系统，输入函数含有输入函数含有导数项导数项以二阶系统为例，设其微分方程为（8-11）由微分方程可知，输入函数项出现导数，若仍按上述方法简单地取x1=y，x2=y作为状态变量，则状态方程为 第8章 状态空间分析方法 显然，在状态方程中，u也出现导数项，这是不利于求解的，所以应考虑选择新
9、的状态变量，而且使得到的状态方程仍为标准形式。若要求得到的状态方程和输出方程的形式为（8-12）（8-13）第8章 状态空间分析方法 那么，现在的问题就是如何确定常数0，1，2。将式（8-13）取导数并将式（8-12）代入可得（8-14）（8-15）将式（8-13）、（8-14）和（8-15）代入式（8-11），可得 第8章 状态空间分析方法 比较上式各项导数项系数，并分别相等，可得 则 则 第8章 状态空间分析方法 所以，新的状态变量应取为 其初始条件可由下式确定 其状态方程和输出方程可由（8-12）和（8-13）式得到 第8章 状态空间分析方法 以此类推，将上述方法推广到n阶系统的情况，设
10、n阶系统的微分方程为（8-16）同理，可取状态变量为（8-17）第8章 状态空间分析方法 其中，（8-18）则n阶系统的状态方程和输出方程为（8-19）第8章 状态空间分析方法 其中，第8章 状态空间分析方法（8-20）其初始条件事由式（8-17）确定。第8章 状态空间分析方法 例例8-5设系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式。解解根据上述原则，选取状态变量为 第8章 状态空间分析方法 式中各待定系数为 则系统的状态方程为输出方程为 第8章 状态空间分析方法 3.多变量系统的状态空间表达式多变量系统的状态空间表达式前面讨论的都局限于单输入单输出的情况，这样的系统称为单变量系统（SISO）
11、。若输入和输出有两个或两个以上时，这样的系统称为多输入多输出系统（MIMO）。这时，输入和输出亦应该用向量形式表示，下面介绍输入函数不含导数项的情况，关于输入函数含有导数的情况请参阅其他文献。设两变量系统的微分方程为（8-21）第8章 状态空间分析方法 初始条件为 该系统为两个输入和两个输出的多变量系统，并且输出y1、y2均为二阶，所以各需要两个状态变量，设其状态变量为（8-22）第8章 状态空间分析方法 则 其状态方程为（8-23）第8章 状态空间分析方法 输出方程为（8-24）第8章 状态空间分析方法 8.2.2由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间
12、表达式有多种方法，其一是先将传递函数化为微分方程形式，然后按上述的方法再导出状态空间表达式；其二是由传递函数的分解方法导出状态空间表达式；其三是可用下面所介绍的由传递函数转化为状态变量图，再由状态变量图求出状态空间表达式。第8章 状态空间分析方法 1.状态变量图状态变量图状态变量图是由加法器、积分器和比值器等组成，如图8-6所示。因而可进行相加、积分和相乘运算，它可以用方块图和信号流图两种形式表示。其中方块图形式和计算机的模拟图相似。图8-6状态变量图 第8章 状态空间分析方法 在状态变量图中，积分器是处理微分和积分关系的基本元件，其输出表示状态变量，当求解状态的转移问题时，对积分的运算应引入
13、初始条件。1）状态变量图的模拟图形式现以二阶系统为例来说明，设该二阶系统的状态方程和输出方程为（8-25）第8章 状态空间分析方法 化为积分方程形式为（8-26）由式（8-26）即可绘出状态变量图的模拟图，如图8-7所示。第8章 状态空间分析方法 图8-7二阶系统的状态变量图的模拟图第8章 状态空间分析方法 2）状态变量图的信号流图形式如果取各状态变量的拉氏变换式作为节点，而把积分和比值运算都看成各支路的增益，则可作出状态变量图的信号流图形式。设 拉氏变换得 整理得 其信号流图如图8-8所示。第8章 状态空间分析方法 图8-8 信号流图形式第8章 状态空间分析方法 同理，将式（8-25）取拉氏
14、变换并整理得 其二阶系统的状态变量图的信号流图形式如图8-9所示。第8章 状态空间分析方法 图8-9二阶系统状态变量图的信号流图 第8章 状态空间分析方法 将各节点写成时间域的形式，则由信号流图各节点之间的相互关系同样可直接写出该系统的状态空间表达式。将上述情况推广到一般情况，对于r个输入变量、m个输出变量和n个状态变量的系统，其状态空间表达式为 式中X，u，y均为多维向量，A，B，C，D为相应的系数矩阵，其状态变量图的模拟图形式和信号流图形式如图8-10(a)、(b)所示，图中双线箭头表示向量。第8章 状态空间分析方法 图8-10多变量系统的向量状态变量图(a)模拟图；(b)信号流图 第8章
15、 状态空间分析方法 状态变量图的重要性在于它和状态方程、计算机模拟、微分方程以及传递函数之间有着紧密的联系，主要表现在以下几个方面：（1）由系统的微分方程能直接构成状态变量图。（2）由系统的传递函数也能构成状态变量图。（3）状态变量图能用于构成模拟计算机的系统程序，也能用于数字模拟。（4）在拉氏变换域上，由状态变量图借助信号流图公式，可以得到状态转移方程。（5）由状态变量图能够得到系统的传递函数。（6）由状态变量图能够求出状态方程和输出方程。第8章 状态空间分析方法 2.由传递函数导出状态空间表达式由传递函数导出状态空间表达式用状态变量图可以很容易地由传递函数导出状态空间表达式。其方法是先由传
16、递函数构成状态变量图，即所谓传递函数的分解，然后再由状态变量图导出状态方程和输出方程。常用的传递函数分解方法有如下三种：1）直接分解法直接分解法适用于传递函数不是因式分解的形式。设系统的微分方程形式为 第8章 状态空间分析方法 其传递函数为（8-27）首先，由传递函数导出状态变量图，其步骤如下：（i）先将传递函数转换成积分形式，即用分母最高次项s3除以式（8-27）的分子、分母可得（8-28）（ii）再将上式的分子、分母乘以E（s）第8章 状态空间分析方法（iii）令上式等式两边分子、分母分别相等可得（8-29）（8-30）（iv）将式（8-30）改写成（8-31）（v）利用积分器的积分作用，
17、即输出与输入之间有s-1的关系，因此，可用三个积分器得到s-1E（s），s-2E（s），s-3E（s）信号，再按式（8-29）和（8-31）的关系即可画出状态变量图，如图8-11所示。第8章 状态空间分析方法 图8-11直接分解的状态变量图第8章 状态空间分析方法 其次，由状态变量图导出状态空间表达式。将各节点写成时间域的变量，三个积分器的输出分别设为三个状态变量x1(t)、x2(t)、x3(t)，那么从状态变量图即可得到状态方程和输出方程 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为（8-32）第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 图8-12直接分解的信号流图 第8章 状态空间分析
18、方法 同理，由信号流图可以直接得出系统的状态空间表达式。由此可知，直接分解可以用来将输入函数具有导数项的高阶微分方程化为状态空间表达式，该方法比前述方法更加方便。第8章 状态空间分析方法 2）并联分解法并联分解法适用于传递函数的分母是因式分解的形式，而分子仍是多项式的情况。其方法是先将传递函数分解成部分分式；然后再画出状态变量图；最后从状态变量图导出状态空间表达式。部分分式的基本单元为（8-33）利用直接分解的方法，由基本单元画出状态变量图和信号流图。其具体做法是由式（8-33）可得 第8章 状态空间分析方法 所以 即其图形如图8-13（a），(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-13并
19、联分解基本单元图形(a)基本单元状态变量图；(b)基本单元信号流图 第8章 状态空间分析方法 仍利用前面的例子来说明，其传递函数为 首先，将上式化为部分分式形式，再利用基本单元导出变量图或信号流图。该系统的状态变量图或信号流图是由三个基本单元并联而成的。如图8-14（a）、(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-14(a)状态变量图；(b)信号流图第8章 状态空间分析方法 其次，由状态变量图（或信号流图）可导出系统的状态空间表达式。选取积分器的输出为状态变量，如图所示，则其状态方程为 输出方程为 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为（8-34）以上是传递函数具有彼此不等的极点情况。若传
20、递函数中具有重极点，应该如何处理呢？第8章 状态空间分析方法 下面我们就讨论具有重极点的情况。假设传递函数为（8-35）第8章 状态空间分析方法 图8-15式（8-35）的信号流图 第8章 状态空间分析方法 由以上状态变量图可得状态方程和输出方程 即 第8章 状态空间分析方法 具有以上形式的系数矩阵A称为约当矩阵。通过上面的具体分析，可以得出并联分解的两个优点。（1）当由部分分式分解后传递函数只有相异极点时，其状态方程的系数矩阵A总是对角线矩阵，因此并联分解法能用于矩阵的对角线化。（2）当传递函数具有多重极点时，用并联分解得到的状态变量图，其积分器数目是最少的。如在式（8-35）的分解中，它是
21、一个三阶的传递函数，化为因式分解形式后，需要的积分器总阶数是4。采用并联分解的方法，可以使一个积分器公用，所以只需要三个积分器，三阶传递函数用三个积分器来构成状态变量图，其积分器数目是最少的，这种分解方法，称为系统的最小实现。第8章 状态空间分析方法 3）串联分解法串联分解法是将传递函数化成因式分解的形式，即基本因子的连乘形式，然后再画出状态变量图，最后由状态变量图求出状态空间表达式。连乘形式的基本单元为（8-36）用直接分解法可将此基本单元画成状态变量图。将上式右边分子、分母同乘以E（s）可得 第8章 状态空间分析方法 所以 其基本单元的状态变量图和信号流图如图8-16所示。仍利用前面的例子
22、来说明。其传递函数为（8-37）这样就可按以上基本单元串联而构成状态变量图和信号流图，如图8-17（a）、(b)所示。第8章 状态空间分析方法 图8-16串联分解的基本单元(a)状态变量图；(b)信号流图第8章 状态空间分析方法 图8-17式（8-37）的状态变量图和信号流图(a)状态变量图；(b)信号流图 第8章 状态空间分析方法 取积分器的输出为状态变量，如图8-17（a）所示，则状态方程和输出方程为 其矩阵形式为（8-38）第8章 状态空间分析方法 8.3传递矩阵、特征方程和线性变换传递矩阵、特征方程和线性变换8.3.1传递矩阵的概念传递矩阵的概念在单输入单输出系统中常用传递函数来描述系
23、统的动态特性，把传递函数概念推广到多变量系统中，输入和输出拉氏变换之间的关系可用传递矩阵来表示。以两变量系统为例来说明。如图8-18所示的两变量系统，当初始条件为零时，其输出的拉氏变换可表示为 第8章 状态空间分析方法 写成矩阵形式为（8-39）即：（8-40）式中 称为传递矩阵，它反映了初始条件为零时，输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的关系。将这一概念推广到r个输入，m个输出的系统，即可得到一般情况下多变量系统的输入、输出关系。第8章 状态空间分析方法 图8-18多变量系统 第8章 状态空间分析方法 对于r个输入，m个输出的系统，其关系为（8-41）或 这时G(s)是mr维矩阵，其
24、中元素Gij(s)表示第j个输入对第i个输出的传递函数。第8章 状态空间分析方法 1.由状态方程导出传递矩阵由状态方程导出传递矩阵设多变量系统的状态方程和输出方程为 当初始条件为零时，对上述两式取拉氏变换得 将式（8-42）移项得 第8章 状态空间分析方法 用（sI-A）-1左乘上式两边，可得 所以 这样，由状态空间表达式得出的传递矩阵为（8-44）注意：单变量系统相当于多变量系统的一种特殊情况，所以式（8-44）也适用于单变量系统，由该式求得的就是传递函数。第8章 状态空间分析方法 2.闭环系统的传递矩阵闭环系统的传递矩阵 如图8-19所示的多输入多输出闭环系统，其传递矩阵G（s）的推导如下
25、。图8-19多输入多输出闭环系统第8章 状态空间分析方法 因 而 所以 移项后得 再用I+GK（s）H（s）-1左乘上式两边，可得 第8章 状态空间分析方法 这样闭环系统的传递矩阵为（8-45）若取H（s）=1，可得（8-46）下面举例说明传递矩阵的求法。第8章 状态空间分析方法 例例8-6设系统的状态空间表达式为 试求该系统的传递矩阵。第8章 状态空间分析方法 解解由上式可知，利用式（8-43）即可求出系统的传递矩阵。首先确定 第8章 状态空间分析方法 再求 第8章 状态空间分析方法 所以，其传递矩阵为 第8章 状态空间分析方法 例例8-7设系统的状态空间表达式为 试求该系统的传递矩阵。解解
26、由状态空间表达式可知 第8章 状态空间分析方法 所以 那么 第8章 状态空间分析方法 综上所述，借助于状态变量图等手段可从传递函数导出状态空间表达式；反之，已知状态空间表达式，可利用传递矩阵公式或借助状态变量图导出传递函数，这就是传递函数和状态空间表达式的相互关系。第8章 状态空间分析方法 8.3.2特征方程和特征值特征方程和特征值1.特征方程特征方程特征方程在线性系统的研究中起着重要作用，它可以用微分方程、传递矩阵（或传递函数）或状态空间表达式来定义，特征方程就是微分方程的齐次式或传递矩阵分母等于零的表达式。从前面的学习已经知道，状态空间表达式可化为传递矩阵形式，即 第8章 状态空间分析方法
27、 所以由式（8-44）可得（8-47）式中分母sI-A为（8-48）sI-A称为方阵A的特征方阵。行列式|sI-A|称为特征多项式。根据上述特征方程的定义，令传递矩阵分母等于零，可得特征方程为（8-49）第8章 状态空间分析方法 2.特征值特征值特征方程的根，常被称为矩阵A的特征值，用1,2，n表示，若状态方程是向变量规范形式，则特征方程就可以很容易地用矩阵最后一行元素来表示，即当 时，特征方程就是由其最后一行各元素所构成，第8章 状态空间分析方法 3.特征向量特征向量设矩阵A有各不相同的特征值i；若n1向量Pi满足下列矩阵方程（8-50）时，则称向量Pi为与矩阵A的特征值i相对应的特征向量。
28、第8章 状态空间分析方法 8.3.3状态变量的非惟一性状态变量的非惟一性如上所述，同一个系统，状态变量的选取并非惟一。由于状态变量选取的不同，所得到的状态变量图、状态方程和输出方程也不同。输出变量的选取是由系统所决定的，是不能随意改变的，而输出变量又是由状态变量的线性组合来表示的。所以，当选取的状态变量不同时，其输出的线性组合形式也当然不同。第8章 状态空间分析方法 对于状态变量的选取，归纳起来，我们应注意以下几点：(1)系统的状态变量的选取不是惟一的。状态变量的选取，从数学意义上看，是状态变量的一种线性变换，或坐标变换；从物理意义上看，它所对应的状态变量图不同，也就是结构形式不同；而从控制理
29、论的角度来看，就是其实现方式不同，传递函数的并联分解就是一种最小实现。第8章 状态空间分析方法(2)状态变量不一定是可测量的。从数学上说，选择y(t),y(t)，,y(n-1)(t)作为状态变量是很自然的事;而从工程上说，二阶或二阶以上的导数项是难以测量的。所以通常总是选取易于测量或可观测的量作为状态变量，因为在实现最优控制时，常要求所有状态变量都用来作为反馈。(3)有时为了方便起见，可将输入变量（包括操纵变量和扰动变量）也当作状态变量来处理，这时总体的状态变量称为广义的状态变量。.第8章 状态空间分析方法 8.3.4系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量 首先讨论利
30、用前述传递函数不同的分解法得出的状态方程。用直接分解法时，由式（8-32）可知 其特征方程为 第8章 状态空间分析方法 那么，特征方程的根，即矩阵A的特征值为 用并联分解法时，由式（8-34）已知：其特征方程为 第8章 状态空间分析方法 特征值为 用串联分解时，由式（8-38）已知：其特征方程为 第8章 状态空间分析方法 特征值为 由此可见，用不同分解方法得到的状态方程虽然不同，但方阵A的特征值却是相同的，这一点很重要。下面对一般的情况加以证明。设原有一组状态变量为X，现选取另一组新的状态变量为Z，若有（8-51）假设矩阵P为非奇异矩阵，则新的一组状态变量为（8-52）第8章 状态空间分析方法
31、 设原状态方程为（8-53）则新状态方程为 第8章 状态空间分析方法 由此可知，新的特征方程与原状态方程的特征方程是相同的。换句话说，同一系统，虽然状态变量的选取是非惟一的，但其特征方程和特征值是不变的。所以特征方程反映了系统本质的内在联系。如果式（8-53）所示的系统的特征方程为（8-58）第8章 状态空间分析方法 8.3.5矩阵的对角线化矩阵的对角线化相似变换相似变换在采用并联分解法导出的状态方程中，A是一个对角线方阵，其主对角线上的元素就是它的特征值。这在数学上处理起来就很方便，而从物理意义上来看，其各个状态变量之间是相互独立的。因此常需要将一般的状态方程，经过相似变换后，化为对角线矩阵
32、状态方程。由数学知识可知，要将一个矩阵A化为对角线矩阵的条件是A矩阵的n个特征值必须各不相同，否则就不能化为对角线矩阵。第8章 状态空间分析方法 设线性系统的状态方程为（8-59）其中，A的特征值为1，2，n共有n个各不相同的值，现在的问题是要找出一个非奇异矩阵P，通过线性变换 将式（8-59）变换为（8-60）式中是以1，2，n为主对角线的对角矩阵，式（8-60）称为对角规范形式。第8章 状态空间分析方法 现在的问题是如何确定P矩阵，以便A矩阵变换为矩阵，下面介绍两种求P的方法。（1）特征向量法。若令Pi(i=1,2,，n）表示与特征值i相对应的特征向量，特征向量可由式（8-50）表示。也可
33、写为 若用矩阵形式表示，可写成nn矩阵 第8章 状态空间分析方法 或改写为 若令 则 可见，利用矩阵A的特征向量组成的变换矩阵P，可将A矩阵对角线化。第8章 状态空间分析方法（2）假如矩阵A具有如下的向变量规范形式，即（8-61）可按上述及原理证明变换矩阵P为（8-62）第8章 状态空间分析方法 例8-8若已知 试求变换矩阵P，使解解：特征方程为所以特征值为 第8章 状态空间分析方法 因矩阵P的某一列向量P1是对应特征值i的一个特征向量，由式（8-50）得 对于1有 即 第8章 状态空间分析方法 用1=-1代入后得 解之得 即 同理可解得当2=-2，3=-3时所对应的P2，P3 第8章 状态空
34、间分析方法 即 则 第8章 状态空间分析方法 所以 这就证明了在A的n个特征值各不相同时，总可以求得一个非奇异矩阵P，经相似变换后，使A矩阵变为对角线矩阵，而且主对角线元素就是1，2，n。第8章 状态空间分析方法 当A矩阵具有相同的特征值时，经相似变换后，A矩阵一般不能化为对角线矩阵，而是接近于对角线矩阵的形式。如当1为三重重根的5阶系统则有（8-63）上式称为约当规范形式或者约当矩阵，矩阵中的虚线框称为约当块。第8章 状态空间分析方法 8.4线性离散系统的状态空间表达式线性离散系统的状态空间表达式线性定常离散系统的状态空间表达式与连续系统的状态空间表达式很相似。最一般的形式为 式中，X（k）
35、为n维状态向量，u（k）为r维输入向量，y（k）为m维输出向量，它们都是在时间t=kt时刻所确定的向量，k表示第k个采样时刻，T为采样周期，G，H，C，D分别为nn,nr,mn,mr维系数矩阵。第8章 状态空间分析方法 离散系统通常有两种情况。一种情况是系统所有环节对时间都是离散的，它们所接收和发送的都是离散的数据，例如数字控制器或数字计算机。这种系统的动态行为可用差分方程或脉冲传递函数来描述，因此，可从差分方程或脉冲传递函数出发来导出离散系统的状态空间表达式。另一种情况是系统的各个组成部分是连续的，而在系统的某些点上对时间是离散的，例如在某些点上存在着采样器和零阶保持器。在这种情况下，系统各
36、环节仍用微分方程描述，但因数据是离散的，所以要从原有微分方程化为差分方程来导出离散状态方程，这就称为连续系统的离散化。第8章 状态空间分析方法 8.4.1从高阶差分方程导出离散状态空间表达式从高阶差分方程导出离散状态空间表达式对于全部是由数字环节构成的离散系统，可用差分方程来描述，此时只要将高阶差分方程变换为一阶差分方程组，就可化出离散的状态空间表达式。设单变量高阶差分方程为 （866）式中，k表示第k个采样瞬时，y（k）为第k个采样瞬时的系统输出，u（k）为第k个采样瞬时的输入。像前面的连续系统一样，首先是确定状态变量，最方便的方法是定义状态变量为 第8章 状态空间分析方法（8-67）这样，
37、可得离散状态方程为（8-68）第8章 状态空间分析方法 输出方程为（8-69）写成向量形式（8-70）式中，第8章 状态空间分析方法 上式（870）称为离散系统的相变量规范形式，其形式和连续系统的相变量规范形式相同。第8章 状态空间分析方法 以上属于高阶差分方程右边输入项为非高阶的情况。当输入项含有高阶项时，可作如下处理。设输入含有高阶项的差分方程为（871）仿照连续系统处理的方法，设状态变量为 第8章 状态空间分析方法 于是其状态方程为第8章 状态空间分析方法 输出方程为 写成矩阵形式 第8章 状态空间分析方法 其初始条件x1(0),x2(0),xn(0)可由下式确定 第8章 状态空间分析方
38、法 例例8-9求y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k+1)+2u(k)所描述的系统状态空间表达式。解解设状态变量为 而第8章 状态空间分析方法 所以，状态方程和输出方程为 其矩阵形式为 第8章 状态空间分析方法 初始条件为 第8章 状态空间分析方法 8.4.2从脉冲传递函数导出离散状态空间表达式从脉冲传递函数导出离散状态空间表达式与连续系统由传递函数化为状态方程方法相似，从脉冲传递函数导出离散状态方程时，也可采用离散状态变量图的方法。1.离散系统的状态变量图离散系统的状态变量图离散系统状态变量图是由加法器、比值器和单位延迟元件Z-1等组成,以实现下面三种基本运算。（1）加法运算
39、。如图8-20（a）所示，或 第8章 状态空间分析方法 图8-20离散系统状态变量图的基本形式 第8章 状态空间分析方法 （2）比值运算，即乘常数。如图8-20（b）所示 或 第8章 状态空间分析方法 例例8-10设系统的离散状态空间表达式为 试求离散状态变量图。解解利用x（k+1）与x(k)的关系，可用单位延迟单元Z-1来表示，这样可应用与连续状态变量图的同样原理画出该系统的离散状态变量图，如图8-21所示。第8章 状态空间分析方法 图8-21 例8-10的离散状态变量图 第8章 状态空间分析方法 2.脉冲传递函数的分解脉冲传递函数的分解离散系统的脉冲传递函数分解与连续系统的传递函数的三种分
40、解类同。这里我们仅举例说明。假设某离散系统的脉冲传递函数为（872）下面我们用三种分解方法来确定离散系统的状态变量图。1）直接分解将式（8-72）的脉冲传递函数用z-2乘以分子、分母，然后分子、分母各乘以x（z），可得 第8章 状态空间分析方法 由式（8-73）和（8-74）即可构成如图8-22所示的状态变量图。第8章 状态空间分析方法 其状态方程和输出方程为（875）第8章 状态空间分析方法 图8-22直接分解的状态变量图 第8章 状态空间分析方法 2）并联分解法将式（8-72）的脉冲传递函数化为部分分式，即 其中每个基本单元的形式为 第8章 状态空间分析方法 图8-23并联分解法的状态变量
41、图第8章 状态空间分析方法 同理可得出状态方程和输出方程 (876)第8章 状态空间分析方法 3）串联分解法将式（8-72）化为因式相乘的形式 其中每个基本单元的形式为 第8章 状态空间分析方法 图8-24串联分解法的状态变量图 第8章 状态空间分析方法 其状态方程和输出方程为（8-77）由式（8-75）、（8-76）、（8-77）可知，同一个系统，由于状态变量的选取不同，即实现方式不同，可以得到不同的状态变量图和状态空间表达式。第8章 状态空间分析方法 8.4.3连续状态方程的离散化连续状态方程的离散化如果希望采用数字计算机来计算状态x(t)，那么必须将连续状态方程化为离散状态方程。下面阐述
42、这样的计算步骤。设连续系统的状态方程为（8-78）为了分析方法更为清晰，采用符号KT和（K+1）T代替K和（K+1）。这时式（8-78）的离散表达式将取为下列形式（8-79）注意，这里的矩阵G和H与采样周期T有关。（一旦采样周期T固定不变，那么G和H就是常系数矩阵）。第8章 状态空间分析方法 为了确定G（T）和H（T），利用式（8-78）的解，即（8-80）假设u（t）的所有分量在任意两个依次相连的采样瞬时之间为常值，即对第k个采样周期，u（t）=u（kT）。现在研究两个采样时刻的状态。若令t0=kT，t=（k+1）T，由于在采样时刻kT和（k+1）T之间的采样周期内，输入是零阶保持器的输出，
43、其值为u（kT）并保持不变，因此，可以把u（）项移至积分外面，则式（8-80）变为 第8章 状态空间分析方法 再令 则（8-81）将式（8-81）和（8-79）比较，可得（8-82）（8-83）这里，由于离散化时所用的G和H与采样周期有关，因此采用符号G（T）和H（T）代替G和H。在规定了采样周期T后，就可按式（8-82）和式（8-83）求出G（T）和H（T）的具体数值，再按式（8-81）就可得到离散化后的状态方程。但是我们应该注意，离散状态方程仅仅是描述采样时刻系统的行为，即只提供了系统在采样时刻的信息。第8章 状态空间分析方法 现在的问题就是要确定G（T）和H（T），根据式（8-82）和（
44、8-83）即可确定。第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 所以，离散状态方程为 如果采样周期T=1秒，则离散状态方程为 第8章 状态空间分析方法 8.5状态方程的求解及状态转移矩阵状态方程的求解及状态转移矩阵 第8章 状态空间分析方法（8-86）的解。在解这个方程时，可假设其解x（t）为（8-87）将所设的解代入式（8-86）中可得（8-88）1.矩阵指数法矩阵指数法 在求解矩阵微分方程之前，首先来观察纯量微分方程第8章 状态空间分析方法 如果所设的解是式（8-86）的真实解，那么式（8-88）对任意t都成立。因此，使t的幂次项的各个系数分别相等，可得 第8章 状态空间分析方法
45、而b0的值可将t=0代入式（8-87）求得，即 因此，齐次方程式（8-86）的解为 现在我们来解矩阵微分方程（8-89）式中，X（t）为n维向量，A为nn的常系数矩阵。第8章 状态空间分析方法 与纯量微分方程的解法相似，设方程的解为t的向量幂级数形式，即（8-90）将所得的解代入式（8-89）中可得（891）第8章 状态空间分析方法 若所得的解是方程的真实解，那么对所有t，式（8-91）都成立。因此，要求t的同次幂项系数分别相等,即 将t=0代入式（8-90）可得b0 第8章 状态空间分析方法 因此，矩阵微分方程的解为（8-92）方程右边括号里的展开式是一个nn矩阵，由于它类似于纯量指数的无穷
46、级数，因此称其为矩阵指数，并记为（8-93）那么，利用矩阵指数，式（8-89）的解可写为（8-94）第8章 状态空间分析方法 2.拉氏变换法拉氏变换法将式（8-85）两边取拉氏变换可得 移项后 上式两边各乘以（sI-A）-1，则 第8章 状态空间分析方法 假设矩阵sI-A是非奇异的，则对上式取拉氏反变换可得状态方程式（8-85）的解为（8-95）比较式（8-94）和（8-95）可得 第8章 状态空间分析方法 8.5.2状态转移矩阵状态转移矩阵1.状态转移矩阵的概念状态转移矩阵的概念齐次状态方程的解表示状态向量X(t)由初始值x(0)向任一时刻的状态X(t)转移的内在特征。所以上述连续线性定常系
47、统的齐次解可表示为(8-96)式中（8-97）(t)是一个nn的矩阵，称为状态转移矩阵。从数学上来说，它代表线性齐次状态方程的解；从物理意思上说，它是描述系统的自由运动；从状态空间的角度来看，式（8-96）表示的齐次状态方程的解仅仅是初始状态的转移。因此我们称这个特殊的矩阵(t)为状态转移矩阵。第8章 状态空间分析方法 2.状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质现在扼要阐明状态转移矩阵（t）的几个重要性质。对于线性定常系统 其状态转移矩阵为 于是我们有如下性质:(1)自身性。(2)反逆性。利用此性质，求状态转移的逆是很方便的。第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 3.状态转移矩阵状
48、态转移矩阵（t）的计算）的计算状态转移矩阵的计算方法很多，下面介绍几种常用的方法。1）矩阵指数法 将矩阵展开成泰勒级数，直接按矩阵指数的定义计算。由式（8-93）可得（8-98）式中每项括号内的值就是前一项的整个值，这样便于计算机递推计算。虽然上式是一个无穷级数，但计算时只要按计算精度要求算至某一项即可，其余高次项可以略去。第8章 状态空间分析方法 2）拉氏变换法由式（8-97）可得 式中，（sI-A）-1为nn矩阵，利用求逆公式 求出（sI-A）-1，再取拉氏反变换即可得到（t）。利用上式求逆时，要计算伴随矩阵adj（sI-A）和行列式|sI-A|的值，才能得到逆矩阵（sI-A）-1。这样，
49、当n3时，这种方法手算就很麻烦，然而利用计算机求逆就相当简单。第8章 状态空间分析方法 3）利用凯利-哈密顿（Cayley-hamilton）定理根据此定理，nn方阵满足它本身的特征方程，若特征方程为 则矩阵A亦满足即 所以 第8章 状态空间分析方法（8-99）式中，系数a0(t),a1(t),an-1(t)都是时间t的函数。当A具有n个各不相同的特征值时，可利用以下方法求解。第8章 状态空间分析方法 由于A满足它本身的特征方程，因此，特征值和A是可以互换的，所以i也必定满足式（8-99），从而有（8-100）式（8-100）共有n个方程，n个未知数，所以可惟一地确定系数a0,a1,，an-1
50、。当A有多重特征值时，必须对上式进行修改后再计算。关于这种情况，请读者参阅其他文献。第8章 状态空间分析方法 第8章 状态空间分析方法 这说明A满足它本身的特征方程。所以，将以上式子代入下式的相应项中，即可消去A的2次及2次以上的各次幂。第8章 状态空间分析方法 所以 第8章 状态空间分析方法 例例8-13设齐次状态方程为 试用各种方法求状态转移矩阵。解解（1）用指数方法，由泰勒级数展开式可得 第8章 状态空间分析方法（2）应用拉氏变换法，可得 第8章 状态空间分析方法（3）应用凯利-哈密顿定理。首先，求A的特征值1，2。其特征方程为 第8章 状态空间分析方法 8.5.3连续线性定常系统状态方
