1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.5 4.5 利用利用根轨迹法分析系统的暂态响应根轨迹法分析系统的暂态响应4.2 4.2 绘制绘制根轨迹的基本条件和基本规则根轨迹的基本条件和基本规则4.3 4.3 参数参数根轨迹根轨迹4.4 4.4 正反馈正反馈回路和零度根轨迹回路和零度根轨迹4.1根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念一、根轨迹的概念 从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确平面上的位置是密切相关的，
2、分析系统性能时往往要求确定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性能的影响能的影响.W.R.EVAOVS(W.R.EVAOVS(依万斯依万斯)于于19481948年首先提出了求解特征方程年首先提出了求解特征方程式根的图解法式根的图解法根轨迹法根轨迹法。根轨迹根轨迹简称根迹，它是简称根迹，它是开环开环开环开环系统某一参数从系统某一参数从零变到无穷零变到无穷时，闭环系统时，闭环系统特征方程的根特征方程的根在在 平面上变化的轨迹。平面上
3、变化的轨迹。一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。但在实际中，统的任意参量。但在实际中，最常用最常用的可变参量是系统的可变参量是系统的的开环增益开环增益 。以。以 为可变参量绘制的根轨迹称为为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹常规根轨迹常规根轨迹常规根轨迹。例例4-1：标准二阶系统根轨迹图。标准二阶系统根轨迹图。标准二阶系统根轨迹图。标准二阶系统根轨迹图。标准二阶系统开环传递函数为：标准二阶系统开环传递函数为：它有两个极点：它有两个极点：，无零点，无零点，为为根轨迹增益根轨迹增益。系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：闭环特
4、征方程：闭环特征方程：闭环闭环特征特征根根(极点极点)：当当 时，时，即开环极点；，即开环极点；时的根轨迹时的根轨迹(闭环闭环特征根随特征根随 变化的轨迹变化的轨迹)如右如右图所示。图所示。显然，显然，和和 都为正时，系统稳定。都为正时，系统稳定。当当 时，时，和和 为互不相等的两个为互不相等的两个负实根负实根，对应于系统对应于系统过阻尼过阻尼的情况；的情况；讨论讨论 一定时，一定时，根轨迹增益根轨迹增益 与与特征根特征根之间的关系：之间的关系：当当 时，两根相等，时，两根相等，对应于系统对应于系统临界阻尼临界阻尼的情况；的情况；当当 时，时，两根为两根为共轭复数根共轭复数根，这时，根轨迹，这
5、时，根轨迹 与实轴垂直，并相交于与实轴垂直，并相交于 ，对应于系统对应于系统欠阻尼欠阻尼的情况。的情况。规定：规定：表示开环表示开环极点极点；表示开环表示开环零点零点；箭头表示箭头表示 增大时，闭环极点的变化趋势。增大时，闭环极点的变化趋势。二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能 稳定性稳定性 稳态性能稳态性能 动态性能动态性能根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的 值就是值就是临界根轨迹增益临界根轨迹增益。稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如何变化，环极点是表现在根轨迹上的，而且，开环增益如
6、何变化，系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图系统的闭环极点位置也表现在根轨迹图上。可在根轨迹图上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以动态性能由闭环极点位置决定，在根轨迹图上，可以确定出满足系统性能的参数范围。确定出满足系统性能的参数范围。三、闭环零极点与开环零极点之间的关系三、闭环零极点与开环零极点之间的关系典型的控制系统结构图如右：典型的控制系统结构图如右：开环传递函数为：开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：开环增益：开环增益：影响系统输入影响系统输入 输出的幅值比输出的幅值比闭
7、环增益：闭环增益：根轨迹增益：根轨迹增益：闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。闭环极点与开环传递函数的零点、极点和增益有关。结论结论系统的特征方程系统的特征方程：影响系统影响系统 的稳态误差的稳态误差 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件l 闭环特征方程：闭环特征方程：即：即：l 幅值条件幅值条件：l 相角条件相角条件：凡是满足上述凡是满足上述幅值条件幅值条件和和相角
8、条件相角条件的的 值，就是系值，就是系统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在根轨迹上。根轨迹上。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、开环传递函数的两种表达式二、开环传递函数的两种表达式显然有：显然有：零极点形式：零极点形式：首首1型型 时间常数形式：时间常数形式：尾尾1型型根轨迹法中，其开环传递函数多采用根轨迹法中，其开环传递函数多采用零极点零极点形式：形式：u 绘制根轨迹的绘制根轨迹的幅值幅值(模值模值)条件条件为：为：u 绘制根轨迹的绘制根轨迹的相角条件相角条件为：为：或或l 模值方程不但与开环零、
9、极点有关，而且与开环根轨迹模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹 增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。l 相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要条件。条件。l 模值方程是根轨迹的必要条件模值方程是根轨迹的必要条件 平面上的某一点平面上的某一点 是根轨迹上的点，则幅值条件成立；是根轨迹上的点，则幅值条件成立；平面上的任一平面上的任一 点点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。l 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主在实际应用中，用相角方程绘制
10、根轨迹，而模值方程主 要用来确定已知根轨迹上某一点的要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。值。注意几点：注意几点：三、绘制根轨迹的基本规则三、绘制根轨迹的基本规则 规则规则1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：闭环特征方程可表示为证明：闭环特征方程可表示为上式同除上式同除 得：得：实际系统中，实际系统中，因此，有，因此，有 条根轨迹的终点条根轨迹的终点将在将在无穷远处无穷远处(无限零点无限零点；无限零点无限零点+有限零点有限零点=极点数极点数)。若若 ，则必有，则必有 条根轨迹的起点在无穷远处条根轨迹的起点在无穷
11、远处(无无限极点限极点)。幅值条件可以表示为：幅值条件可以表示为：上式表明：只有当上式表明：只有当 时时 ，故有，故有 条根轨迹分支，趋向条根轨迹分支，趋向无穷远处无穷远处。规则规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性 根轨迹的分支数根轨迹的分支数 ，它们是连续的，它们是连续的，并且对称于实轴。并且对称于实轴。证明：证明：根轨迹是开环系统某一参数从根轨迹是开环系统某一参数从 时，闭环特征时，闭环特征 方程的根在方程的根在 平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支分支 数数应该等于闭环特征方程的应该等于闭环特征方程的根的数目根的数目。一般物
12、理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭一般物理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭 环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴环特征方程的根只有实根和复根两种，实根位于实轴 上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹对对 称于实轴称于实轴。根据对称性，只需做出上半。根据对称性，只需做出上半 平面的根轨平面的根轨 迹，然后，利用对称性就可以画出下半迹，然后，利用对称性就可以画出下半 平面的根轨迹。平面的根轨迹。因为系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数因为系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数 连续变化时，根也连续变化，故根轨迹是连续变化
13、时，根也连续变化，故根轨迹是连续的连续的。规则规则3 根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线 当开环有限极点数当开环有限极点数 大于有限零点数时，有大于有限零点数时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为、交点为 的一组的一组渐近线渐近线趋向无穷远处，且有：趋向无穷远处，且有：证明：证明：式中，式中，当当 值很大时，值很大时，由由 得渐近线方程为：得渐近线方程为：即：即：二项展开式：二项展开式：根据二项式定理有：根据二项式定理有：代入渐近线方程得：代入渐近线方程得：设设 ，则：，则：令令 可得：可得：解得：解得：式中：式中：规则规则4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上
14、的某一区域，若其实轴上的某一区域，若其右边右边开环零、极点的数目开环零、极点的数目之和为之和为奇数奇数，则该区域必定是根轨迹。，则该区域必定是根轨迹。由图可见，在由图可见，在 右右边边的每个开环零点的每个开环零点或极点提供的相角或极点提供的相角为为180，在，在 点点左左边边的每个开环零点的每个开环零点或极点提供的相角或极点提供的相角为为0，一对，一对共轭开共轭开环极点或零点环极点或零点对提对提供的相角互相抵消，供的相角互相抵消，其其和为零和为零。注：注：箭头指向箭头指向 。所以当所以当所以当所以当 右侧实轴上有右侧实轴上有右侧实轴上有右侧实轴上有奇数个奇数个奇数个奇数个零极点时，零极点时，零
15、极点时，零极点时，是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。是根轨迹上的点。相角条件变为：相角条件变为：右边的开环零点数；右边的开环零点数；右边的开环极点数。右边的开环极点数。即：即：例例4-2：试绘制开环传递函数为试绘制开环传递函数为 的单位的单位 反馈系统的根轨迹。反馈系统的根轨迹。解：解：为根轨迹的为根轨迹的起点起点；开环无零点，开环无零点，故三个分支故三个分支终点终点均趋向均趋向无穷远无穷远。实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：问题：问题：点坐标如何求取？点坐标如何求取？规则规则5 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角l 分离角：分离角：根轨迹进入分离点的根轨迹进入分离点的切线切
16、线方向与离开分离点的方向与离开分离点的 切线切线方向之间的夹角。方向之间的夹角。l 分离点：分离点：两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在S平面上平面上相遇相遇相遇相遇又又 立即分开立即分开立即分开立即分开的点，称为根轨迹的的点，称为根轨迹的分离点。分离点。复平面上根轨迹的分离点必须满足方程：复平面上根轨迹的分离点必须满足方程：必要非充分条件！必要非充分条件！对于实轴上对于实轴上0至至 线段的实数根而言，其对应的线段的实数根而言，其对应的 值在值在 点为点为极大值极大值。可以证明，当可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角为分
17、离角为例例4-3：求上例中求上例中 点的坐标。点的坐标。解：解：系统的特征方程为系统的特征方程为令令 得：得：为分离点为分离点 的坐标。的坐标。或：或：若若则则 为分离点为分离点则则 不是分离点不是分离点分离点的坐标分离点的坐标 还可以由以下方程求得：还可以由以下方程求得：证明：闭环特征方程可表示为证明：闭环特征方程可表示为根轨迹在根轨迹在 平面相遇，说明平面相遇，说明 有重根，有重根，即：即：下式除以上式得：下式除以上式得：即：即：证毕。证毕。规则规则6 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角在开环复数极点处，根轨迹的在开环复数极点处，根轨迹的出射角出射角为：为：在开环复数零点处，根轨
18、迹的在开环复数零点处，根轨迹的入射角入射角为：为：式中，式中，是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角出射角出射角(起始角起始角)：根轨迹根轨迹离开离开复数极点处的复数极点处的切线切线与与正实轴正实轴 的夹角。的夹角。入射角入射角(终止角终止角)：根轨迹根轨迹进入进入复数零点处的复数零点处的切线切线与与正实轴正实轴 的夹角。的夹角。举例：如图，设举例：如图，设 为距为距 很近的根轨迹上的一点，很近的根轨迹上的一点，。因为因为 位于根轨迹上，应满足位于根轨迹上，应满足相角条件，即：相角条件，即：规则规则7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 若根
19、轨迹与虚轴相交，则交点上的若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和值和 值可用值可用劳斯判据劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的确定，也可令闭环特征方程中的 ，然后，然后分别令其实部和虚部为零而求得分别令其实部和虚部为零而求得。例例4-4：设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。解：解：标出零极点标出零极点 确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹四个开环极点，无开环零点，四条根轨迹趋向无穷零点。四个开环极点，无开环零点，四条根轨迹趋向无穷零点。实轴上，实轴上，区域为根轨迹。区域为根轨迹。确定根轨迹的渐近线确定根轨迹的渐近线 确定分离点和分离角确定
20、分离点和分离角由由 可得：可得：解得：解得：(用二分法求近似解用二分法求近似解)。分离角。分离角 确定出射角确定出射角 确定根轨迹与虚轴的交点确定根轨迹与虚轴的交点方法一：方法一：劳斯判据劳斯判据系统的特征方程为：系统的特征方程为：令令 可得：可得：根据根据 的系数构建辅助方程的系数构建辅助方程：绘制根轨迹绘制根轨迹方法二：方法二：把把 代入特征方程代入特征方程 得得(2)(1)由式由式(2)可得：可得：代入式代入式(1)得：得：规则规则8 根之和根之和 当当 时，特征方程第二项系数与时，特征方程第二项系数与 无关，无关，无论无论 取何值，取何值，开环开环 个个极点极点之和总是等于闭环特征之和
21、总是等于闭环特征方程方程 个根之和，即：个根之和，即：在开环极点确定的情况下，这是一个不变的在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数常数。一个重要推论：一个重要推论：由于根之和不变，由于根之和不变，增大，一些根轨迹分支向左移增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。小结：绘制根轨迹的步骤小结：绘制根轨迹的步骤 标出零极点；标出零极点；确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；确定分离点和分离角；确定分离点和分离角；确定出射角；确定出射角；确定根轨迹与虚轴的交点；确定根轨迹与虚轴的
22、交点；绘制根轨迹。绘制根轨迹。例例4-5：设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为 ，试绘制闭环系统的根轨迹。试绘制闭环系统的根轨迹。确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；标出零极点；标出零极点；解：解：实轴上，实轴上，区域为根轨迹。区域为根轨迹。确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；确定分离点和分离角；确定分离点和分离角；确定出射角；确定出射角；由由 可得：可得：即：即：(舍去！舍去！)确定根轨迹与虚轴的交点；确定根轨迹与虚轴的交点；绘制根轨迹。绘制根轨迹。系统的特征方程为：系统的特征方程为：故根轨迹与虚轴不相交。故根轨迹与虚轴不相交。四、闭环极点的确定四、闭环极点的
23、确定 以上我们用以上我们用相角条件相角条件介绍了绘制根轨迹的基本规则，介绍了绘制根轨迹的基本规则，根据根据幅值条件幅值条件，可以求出对应根轨迹的点，可以求出对应根轨迹的点(闭环极点闭环极点)的的增益增益 (或或 )。例例4-6:给定闭环主导极点的阻尼比为给定闭环主导极点的阻尼比为 ，试利用，试利用例例4-4 绘制的根轨迹图，求增益绘制的根轨迹图，求增益 以及其他闭环极点。以及其他闭环极点。解：解：1.1.绘制绘制 (即即 )线线 根据它与根轨迹的交点求得闭环共轭极点为：根据它与根轨迹的交点求得闭环共轭极点为：用用相角条件相角条件验证验证确实是根轨迹上的点。确实是根轨迹上的点。2.2.求其它闭环
24、极点求其它闭环极点方法一：方法一：试探法试探法 在根轨迹上任选一点；在根轨迹上任选一点；由零极点向选定点作直线；由零极点向选定点作直线；量出各线段长度；量出各线段长度；在其他条根轨迹上，重复上述步骤，求出所有极点。在其他条根轨迹上，重复上述步骤，求出所有极点。若上式成立，则该选定点为闭环极点，否则，另选一点若上式成立，则该选定点为闭环极点，否则，另选一点 重试；重试；验证：验证：？已求得闭环共轭极点：已求得闭环共轭极点：方法二：方法二：由由 可解得：可解得：验证：验证：一、参数根轨迹一、参数根轨迹 前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以根轨迹增益根轨迹增益 为为可变参
25、量，这种根轨迹称为可变参量，这种根轨迹称为常规根轨迹常规根轨迹常规根轨迹常规根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如如开环零点开环零点、极点极点，时间常数时间常数和和反馈系数反馈系数等，这种根轨迹等，这种根轨迹称为称为参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹，或，或广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹广义根轨迹。等效变换等效变换等效变换等效变换 前面介绍的前面介绍的相角条件相角条件、幅值条件幅值条件及及绘制绘制根轨迹的各种根轨迹的各种规则规则都依然有效。都依然有效。4.3参数根轨迹参数根轨迹例例4-7:控制系统开环传递函数为控制系统开环传
26、递函数为 ，试绘制以试绘制以 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。以以 为参变量的根轨迹方程：为参变量的根轨迹方程：解：解：系统的闭环特征方程为：系统的闭环特征方程为：不同不同 值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇。值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇。根轨迹与虚轴交点：根轨迹与虚轴交点：二、开环零点和极点对根轨迹的影响二、开环零点和极点对根轨迹的影响开环传递函数上增加开环传递函数上增加零点零点提高了系统的相对稳定性提高了系统的相对稳定性提高了系统的相对稳定性提高了系统的相对稳定性根轨迹根轨迹向左向左方向弯曲方向弯曲 渐近线与实轴倾角随渐近线与实轴倾角随着着 数的增大而数的增大而增加增加。
27、渐近线与实轴交点随渐近线与实轴交点随着着 的增大的增大(点在实点在实轴轴上向右移上向右移)而左移。而左移。增加一个零点增加一个零点右移零点右移零点开环传递函数上增加开环传递函数上增加极点极点降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性根轨迹根轨迹向右向右方向弯曲方向弯曲 渐近线与实轴倾角随渐近线与实轴倾角随着着 数的增大而减小。数的增大而减小。渐近线与实轴交点随渐近线与实轴交点随着着 的增大的增大(点在实轴点在实轴上向右移上向右移)而右移。而右移。向右向右弯曲趋势随着所增加弯曲趋势随着所增加的极点的极点移近原点移近原点而而加剧加剧增加一个极点增加一个
28、极点右移极点右移极点三、多回路系统的根轨迹三、多回路系统的根轨迹例例4-8:设控制系统的结构如图所示，其中参量设控制系统的结构如图所示，其中参量 均已确定，要求绘制以均已确定，要求绘制以 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。解：解：要绘制以要绘制以 为参数变量的根轨迹，必须首先知道系统为参数变量的根轨迹，必须首先知道系统的开环零、极点，今已知两个的开环零、极点，今已知两个开环零点开环零点为：为：一个一个开环极点开环极点为：为：，其他的开环极点可由以下，其他的开环极点可由以下方程求得：方程求得：内环系统的开环传函为：内环系统的开环传函为：实际上，上述方程的根即是实际上，上述方程的根即是内环系统的
29、闭环特征根内环系统的闭环特征根，因此，可由内环系统的因此，可由内环系统的根轨迹求得根轨迹求得。设在给定参数设在给定参数 下，从内环根轨迹求得的三个极点下，从内环根轨迹求得的三个极点如图如图红色极点红色极点所示。所示。绘制多回路反馈控制系统根轨迹的绘制多回路反馈控制系统根轨迹的方法：方法：从从内环内环开始，开始，分层分层绘制，逐步扩展到整个系统。绘制，逐步扩展到整个系统。有些系统，内回路为正反馈，如上图所示，当用根轨有些系统，内回路为正反馈，如上图所示，当用根轨迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反馈系统迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反馈系统的根轨迹。的根轨迹。内回路系统的闭环
30、传递函数：内回路系统的闭环传递函数：4.4正反馈回路和零度根轨迹正反馈回路和零度根轨迹根轨迹方程：根轨迹方程：表明，对于正反馈回路，表明，对于正反馈回路，相角条件相角条件变成变成 。人们通常将这种根轨迹称为人们通常将这种根轨迹称为零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹零度根轨迹，绘制时应调整的，绘制时应调整的规则有：规则有：规则规则3 渐进线与实轴的交角应改为：渐进线与实轴的交角应改为：规则规则4 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其实轴上的某一区域，若其右边右边开环零、极点的数目开环零、极点的数目之和为之和为偶数偶数，则该区域必定是根轨迹。，则该区域必定是根轨迹。规则规则6 根轨迹的
31、出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角在开环复数极点处，根轨迹的在开环复数极点处，根轨迹的出射角出射角为：为：在开环复数零点处，根轨迹的在开环复数零点处，根轨迹的入射角入射角为：为：式中，式中，是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角例例4-8:已知某正反馈系统的开环传递函数为：已知某正反馈系统的开环传递函数为：试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹。解：解：确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；实轴上，实轴上，、区域为根轨迹。区域为根轨迹。确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；(渐近线为实轴渐近线为实轴)确定分离点和分离角；确定分离点和分
32、离角；由由 ，得：，得：令令 得：得：解得：解得：二分法二分法分离角分离角 确定出射角；确定出射角；绘制根轨迹。绘制根轨迹。例例4-9:设具有纯滞后环节的系统开环传递函数为：设具有纯滞后环节的系统开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。当系统所有当系统所有开环零开环零、极点极点都位于都位于S平面平面左半部左半部时，系统时，系统称为称为最小相位系统最小相位系统最小相位系统最小相位系统；如果系统具有；如果系统具有S平面平面右半部右半部的的开环零开环零、极点极点，则称该系统为，则称该系统为非最小相位系统非最小相位系统。有。有纯滞后环节纯滞后环节的系的系统就是一种统就是一种非最小相位系
33、统非最小相位系统。最小相位系统最小相位系统和和非最小相位系统非最小相位系统的定义：的定义：解：解：(设设 )系统的特征方程为：系统的特征方程为：可见，它具有可见，它具有正反馈正反馈回路特征方程的性质。因此，绘回路特征方程的性质。因此，绘制制零度根轨迹零度根轨迹。确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；(渐近线为实轴渐近线为实轴)确定分离点和分离角；确定分离点和分离角；实轴上，实轴上，、区域为根轨迹。区域为根轨迹。由由 ，得：，得：分离角分离角令令 得：得：与虚轴交点；与虚轴交点；绘制根轨迹。绘制根轨迹。滞后环节的存在对系统滞后环节的存在对系统稳定性稳定性
34、带来带来不利不利影响。影响。如何证明本题实轴以外的根轨迹是圆如何证明本题实轴以外的根轨迹是圆如何证明本题实轴以外的根轨迹是圆如何证明本题实轴以外的根轨迹是圆？证明：证明：系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为令：令：，则有，则有(1)代入式代入式(1)并整理得：并整理得：圆心是圆心是 ，半径为，半径为 。闭环系统暂态响应的性能由闭环传递函数的零、极点闭环系统暂态响应的性能由闭环传递函数的零、极点所决定，而闭环系统的零、极点可由根轨迹法确定。如何所决定，而闭环系统的零、极点可由根轨迹法确定。如何根据已知的闭环零、极点去定性分析系统的性能呢？根据已知的闭环零、极点去定性分析系统的性能呢？闭环系统
35、的零、极点的位置对系统时间响应性能的影响：闭环系统的零、极点的位置对系统时间响应性能的影响：稳定性：稳定性：若闭环极点全部位于若闭环极点全部位于S S左半平面左半平面，则系统一定，则系统一定 是是稳定稳定的。的。运动形式：运动形式：若闭环系统若闭环系统无零点无零点，且闭环极点均为实数极，且闭环极点均为实数极 点，则时间响应一定是单调的；若闭环极点点，则时间响应一定是单调的；若闭环极点 均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。超调量：超调量：取决于闭环复数主导极点的取决于闭环复数主导极点的衰减率衰减率 ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。并与其它闭环
36、零、极点接近坐标原点的程度有关。4.5利用根轨迹法分析系统的暂态响应利用根轨迹法分析系统的暂态响应 调节时间：调节时间：主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部 的绝对值的绝对值 (近似成反比近似成反比)；若实数极点；若实数极点 距虚轴最近且其周围没有实数零点，则调节时距虚轴最近且其周围没有实数零点，则调节时 间主要取决于该实数极点的幅值。间主要取决于该实数极点的幅值。实数零、极点的影响：实数零、极点的影响：零点零点减小减小系统的系统的阻尼阻尼，使，使峰值时间峰值时间 减小减小，超调量增大超调量增大；极点反之。它们的作用随；极点反之。它们的作用随 着其本
37、身接近坐标原点的程度而加剧。着其本身接近坐标原点的程度而加剧。偶极子偶极子(距离很近的闭环零、极点常称为偶极子距离很近的闭环零、极点常称为偶极子)及其处理：及其处理：若零、极点间的距离比它们本身的幅值若零、极点间的距离比它们本身的幅值(模值模值)小一个数量级，则它们就构成了小一个数量级，则它们就构成了偶极子偶极子。在对。在对 系统进行分析时，其影响可以忽略不计。系统进行分析时，其影响可以忽略不计。主导极点：主导极点：在在S S平面上，最靠近虚轴而附近又没有闭环零点平面上，最靠近虚轴而附近又没有闭环零点 的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为 主导极点。凡比主导极点的实部大主导极点。凡比主导极点的实部大6 6倍倍以上的其以上的其 它闭环零、极点，其影响均可忽略。它闭环零、极点，其影响均可忽略。谢谢！谢谢！
