1、第4章根轨迹法 第第4章根轨迹法章根轨迹法 4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则 4.3控制系统根轨迹分析控制系统根轨迹分析 4.4广义根轨迹广义根轨迹 第4章根轨迹法 4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.1.1基本概念基本概念所谓根轨迹，是指当系统开环传递函数某个参数由零变化到无穷大时，其对应系统闭环极点在s平面上移动的轨迹。在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。设控制系统如图41所示。第4章根轨迹法 图41控制系统的结构图 第4章根轨迹法 4.1.1基本概念基本概念所谓根轨迹，是指当系统开环传递函数某个参数由零变化
2、到无穷大时，其对应系统闭环极点在s平面上移动的轨迹。在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。设控制系统如图41所示。第4章根轨迹法 系统的闭环传递函数（41）系统特征方程（42）系统特征方程的根 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 图42图41的根轨迹 第4章根轨迹法 (4)1/4K0,系统闭环极点全部位于s平面的左半部，系统是稳定的；K=0,系统传递函数有s1=0的极点，这个极点也是开环极点，所以是型系统，在阶跃输入作用下,其稳态误差ess=0；0K1/4为欠阻尼状态，而且K越大，阻尼越小，超调量越大，而稳态误差越小，稳定性不变。(2)根据性能指标的要求，可以很快地确定出系统闭环
3、特征方程的根的位置，确定出可变参数的大小，便于设计和综合系统。第4章根轨迹法 4.1.3根轨迹方程根轨迹方程根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。就其实质来说，根轨迹方程就是闭环的特征方程式，其求取步骤如下：（1）写出反馈系统的特征方程，即（43）式中，G（s）为反馈系统前向通道传递函数；H（s）为反馈系统主反馈通道传递函数；G（s）H（s）为反馈系统的开环传递函数。第4章根轨迹法（2）绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即（4-4）绘制反馈系统根轨迹之前，需将根轨迹方程中的开环传递函数G G（s）H（s）化成通过极点与零点表达的标准形式，即 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法
4、(3)式（45）可进而表示幅值条件方程和相角条件方程，即第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 4.1.4根轨迹方程的应用根轨迹方程的应用1.用相角条件方程求根轨迹曲线用相角条件方程求根轨迹曲线根据相角条件方程可判断s平面上的点是否在根轨迹上，这样就可以用试探法来绘制根轨迹。选择若干次试验点，检查这些点是否满足相角条件方程，用那些满足相角条件方程的点连成根轨迹，这就是绘制根轨迹的试探法。第4章根轨迹法 2.用幅值条件方程确定用幅值条件方程确定K*的值的值应用幅值条件方程，可确定根轨迹上各点所对应的K*值。用试探法绘制根轨迹是很麻烦的。实际绘制根轨迹时，是根据一些基本规则描绘出近似的根轨迹，再利用试探法
5、在根轨迹的重要部分进行修正。第4章根轨迹法 4.2绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则 4.2.1根轨迹的分支数根轨迹的分支数反馈系统的根轨迹是其特征方程的根随系统参数的变化而改变其在s平面分布格局的曲线。显然，若系统的特征方程为n阶而有n个根，则必然存在反映这n个根随参变量K*的变化在s平面上描绘的n条轨迹线。绘制根轨迹的基本原则一：根轨迹的分支数等于反馈系统特征方程的阶数n，或者说根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。第4章根轨迹法 4.2.2根轨迹的连续性与对称性根轨迹的连续性与对称性从式（46）求得：第4章根轨迹法 4.2.3根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点根轨迹的起点是指参变量
6、K*=0时，闭环极点在s平面上的分布位置而言，而根轨迹的终点则是K*时闭环极点在s平面上的分布位置。基于式（43）和（45），系统的根轨迹方程可写成如下形式 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 图43例4.1图 第4章根轨迹法 4.2.4根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益K*,将有n-m条根轨迹趋于s平面上的无穷远处。绘制根轨迹的基本原则四：若反馈系统的开环零点数目m小于其开环极点数目n，则当K*时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)条，这(n-m)条根轨迹趋向无穷远处的方位可由渐近线确定。这些渐近线在实轴上共交于一点。第4章根轨迹法 渐近线与实轴正方
7、向的夹角（410）渐近线与实轴的交点（411）第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 或 渐近线与实轴的交点为 第4章根轨迹法 4.2.5实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹绘制根轨迹的基本原则五：在实轴上任取一点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段构成实轴上的根轨迹。此结论可用相角条件方程来说明。若开环零、极点分布如图44所示。在实轴上任取一点s1，连接所有的开环零、极点。由于复数零点、复数极点都对称于实轴，因此，复数零点、复数极点的相角大小相等，符号相反。可见，它们对于相角条件没有影响，即复数零、极点对实轴上的根轨迹没有影响。因此只要分析位于实轴上的开环零、极点情况即可。由于位
8、于s1点左侧的零、极点到s1点的向量，总是指向坐标原点，故它们所引起的相角总为零。只有s1右侧零、极点构成的相角才为-180,故根据相角条件，说明只有实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为奇数时，才能满足相角条件。第4章根轨迹法 图44 开环零、极点分布图第4章根轨迹法 例例4.3已知单位负反馈系统的开环传递函数，式中T，试大致画出其根轨迹图。解解首先将G（s）化成标准形式 式中，第4章根轨迹法 由标准形式可知，开环有两个极点p1=0，p2=-1/T，开环有一个零点z1=-1/，亦即n=2，m=1。故应有两条根轨迹。当K=0时，两条根轨迹从开环极点开始；当K时，由于nm，其中一条根轨迹终
9、止于开环零点z1，另一条趋于无穷远处。实轴上，（p1，z1），（p2，-）为根轨迹区段。根轨迹如图45所示。第4章根轨迹法 图45例4.3根轨迹 第4章根轨迹法 4.2.6根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇，然后又立即分开的点，叫作根轨迹的分离点（或会合点）。它对应于特征方程中的二重根。由于根轨迹具有共轭对称性，分离点与会合点必须是实数或共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点位于实轴上。可用下式确定根轨迹的分离点。（412）第4章根轨迹法 在一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开
10、环零点之间（其中一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点之间至少存在一个会合点。绘制根轨迹的基本原则六：根轨迹与实轴的交点坐标是方程的根。注意：根轨迹与实轴的交点包括根轨迹部分分支离开实轴伸向复平面时的分离点以及根轨迹部分分支由复平面进入实轴时的会合点。在会合点处，根轨迹分支与实轴像在分离点那样，也是互相垂直的。第4章根轨迹法 例例4.4已知单位负反馈系统的开环传递函数为 确定根轨迹的分离点并大致绘出其根轨迹图。解解（1）开环零点：无；开环极点：0，-1，-2。（2）系统有3条根轨迹分支，起点为开环极点0，-1，-2。（3）0-1和-2-是实轴上的根轨迹。（4）渐近线。第4章根轨迹法 与实轴
11、的夹角：与实轴的交点：第4章根轨迹法（5）分离点。系统的特征方程式为 解之，可得分离点1=-0.423和2=-1.577。因为实轴上0-1和-2-是根轨迹段,可确定分离点坐标为-0.423，舍去2。如图46所示。第4章根轨迹法 图46例4.4根轨迹 第4章根轨迹法 4.2.7出射角与入射角出射角与入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，称为出射角。根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角，称为入射角。以图47所示开环极点与零点分布为例，计算开环复极点处根轨迹的出射角。为此，在无限靠近开环复极点p1的根轨迹上取一点A，对根轨迹上的点A可写出：第4章根轨迹法 图47根轨迹出
12、射角 第4章根轨迹法 根据同样的分析法，可写出在一般情况下计算根轨迹入射角的表达式 绘制根轨迹的基本原则七：始于开环复极点处的根轨迹的出射角按式(413)计算；止于开环复零点的根轨迹的入射角按式(414)计算。根据上述基本原则七，在绘制根轨迹图时，可以确定那些进出开环复零点与开环复极点的根轨迹分支的方向。第4章根轨迹法 例例4.5设单位负反馈的开环传递函数 求该系统的起始角和终止角。解解起始角 第4章根轨迹法 而z3=-149.5。第4章根轨迹法 4.2.8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中的一部分位于虚轴上，亦即反馈系统特征方程含有纯虚根s=j。因此，将s
13、=j代入系统特征方程1+G(s)H(s)=0，得到 由上式写出实部方程与虚部方程有 第4章根轨迹法 例例4.6设控制系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。解解（1）系统的开环极点为0，-3，-1j,它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点-2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线。渐近线的倾斜角为 第4章根轨迹法 取式中的l=0，1，2，得：a=/3，5/3或60,180。三条渐近线如图48中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点-2之间以及极点-3的左边。从复数极点-1j出发的两条根轨迹分支沿6
14、0渐近线趋向无穷远处。（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点。第4章根轨迹法 系统的特征方程式为 即第4章根轨迹法 方法一：方法一：利用劳斯判据确定。劳斯行列表 第4章根轨迹法 若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）-150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程 确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为=1.614。第4章根轨迹法 方法二:令s=j代入特征方程 得 第4章根轨迹法（6）确定根轨迹的出射角。根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p3=-1+j出发的根轨迹的出射角为 将图
15、中测得的各向量相角的数值代入并取K=0，则得p3=-26.6，同理可得p4=26.6。系统的根轨迹如图48所示。第4章根轨迹法 图48 例4.6系统的根轨迹第4章根轨迹法 4.2.9闭环极点的和与积闭环极点的和与积设反馈系统的特征方程为 方程的根为s1，s2，sn，则由 第4章根轨迹法 根据代数方程根与系统间的关系，可写出对于稳定反馈系统,上式中的第二式可写成 可利用此性质判别闭环极点si的分布情况（418）第4章根轨迹法 这表明，在开环系统极点确定的情况下，系统n个开环极点和等于n个闭环极点和，其和为常值。当K*由0变化时，闭环极点之和保持不变，且等于n个开环极点之和。这意味着一部分闭环极点
16、增大时，另外一部分闭环极点必然变小。也即，如果一部分闭环根轨迹随着K*增加而向右移动时，另外一部分根轨迹必将随着K*的增加而向左移动，始终保持闭环极点的重心不变。绘制根轨迹的基本原则九：在已知反馈系统的部分闭环极点情况下，可确定闭环极点在s平面上的分布位置,还可以计算出与系统闭环极点对应的参变量。第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 求得特征方程为 根据式（418）可写出 第4章根轨迹法 4.2.10开环增益开环增益K*的求取的求取设参变量K是由开环增益K*决定的变量。对于根轨迹分支上的某一点sl，其所对应的参变量Kl可按式(45)计算为 因为参变量K为非负变量,所以上式可改写成 式(419)说明，
17、与根轨迹上一点sl对应的参变量值Kl可通过该点至全部开环极点与开环零点的几何长度|sl-pi|（i=1，2，n）、|sl-pj|（j=1，2，m）来计算。第4章根轨迹法 假若根轨迹的参变量由系统的开环增益来决定时，则式（45）中的参变量K*与开环位置增益Kp、开环速度增益Kv及开环加速度增益Ka间的关系分别是（420）（421）第4章根轨迹法（422）绘制180根轨迹的基本原则十：根据Kl和反馈系统的型别及其开环极点与零点,应用式(420)(422)可求取根轨迹分支上点sl对应的开环增益K*。第4章根轨迹法 第4章根轨迹法（2）确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为 取式中的l=0,1,2,3，得
18、：四条渐近线如图49中的虚线所示。第4章根轨迹法 图49例4.8根轨迹图 第4章根轨迹法 渐近线与实轴的交点为（3）实轴上的根轨迹位于0,-3之间。（4）根轨迹与实轴的交点。第4章根轨迹法（5）出射角，入射角。根据相角条件，由于会合角为0，180，故不难判断分离角为90；根轨迹在p3的起始角 第4章根轨迹法（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程式为 即 利用劳斯判据确定劳斯行列表 第4章根轨迹法 第4章根轨迹法 若阵列中的s1行等于零，系统临界稳定。解之可得K*=8.16。根据表中s2的系数写出辅助方程(34/5)s2+K*=0。将s=j,K*=8.16，代入上式,求得=1.1。K*变化
19、时系统的根轨迹如图49所示。第4章根轨迹法 4.3控制系统根轨迹分析控制系统根轨迹分析4.3.1闭环零、极点与系统的阶跃响应闭环零、极点与系统的阶跃响应1.闭环零、极点的分布闭环零、极点的分布一个控制系统，绘制出根轨迹后，就可利用幅值条件方程，通过试探法在根轨迹图上求出对应K值的全部闭环极点。试探时，一般先找实数极点，再用综合除法找出共轭复数极点。应该注意，对于非单位反馈系统来说，若反馈通道上的零点与前向通道的极点抵消时，必须将G（s）H（s）中抵消的开环极点作为闭环极点的一部分追加到由G（s）H（s）绘制的根轨迹图得到的闭环极点中去。第4章根轨迹法 闭环零点由开环前向通道传递函数G（s）的零
20、点和反馈通路传递函数H（s）的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环的零点。离虚轴最近且附近又无闭环零点的闭环极点，对系统的动态过程起主导作用，称之为主导极点。一般情况下，离虚轴最近的定义是：其它的闭环零、极点的实部比主导极点的实部大6倍以上。如果闭环零、极点之间的距离比它本身的模值小一个数量极，则称这一对零、极点为偶极子。远离原点的偶极子对系统的动态性能影响可以忽略，这就是零、极点的对消作用。在系统设计中，可以加入零点，使其与对系统影响较大的不利极点形成偶极子，使系统的性能得到改善。第4章根轨迹法 2.闭环零、极点的分布与系统阶跃响应的关系闭环零、极点的分布与系统阶跃响应的关系绘制出一
21、个系统的根轨迹，如增益K确定，就可求出所有的闭环极点。由时域分析方法可知，如给系统输入一个单位阶跃函数，其输出的一般表达式为 由上式我们可以得出闭环零、极点与阶跃响应的定性关系。（1）要求系统稳定，则系统的全部闭环极点均应位于s平面左半部。（2）要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便阶跃响应中的每个分量都衰减得快。第4章根轨迹法（3）由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于45线上时，其对应的阻尼比=cos450.707称为最佳阻尼比，这时系统的平稳性与快速性都较理想。超过45线，则阻尼比减小，振荡加剧。（4）离虚轴最近的闭环极点对系统的动态过程的性能影响最大，起着决定性的主导作用，故称
22、它为主导极点。通常，若主导极点离虚轴的距离比其它极点离虚轴距离的六分之一还小，而且附近又没有闭环零点存在，则其它极点便可以忽略。工程上往往只用闭环主导极点去估算系统的性能，而将系统近似地看成是由共轭主导极点决定的二阶系统或实数主导极点确定的一阶系统。第4章根轨迹法（5）闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近的闭环极点的作用。当某零点zj与其极点pi靠得很近时，它们便称为偶极子。它们靠得越近，则zj对pi的抵消作用就越强。这时，由pi所对应的暂态分量很小，可以忽略。单位反馈系统的开环零点与闭环零点是相同的，在设计时可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态
23、性能获得改善。以上几点结论，为我们利用根轨迹分析或设计系统提供了主要的依据。第4章根轨迹法 4.3.2利用主导极点估算系统的性能指标利用主导极点估算系统的性能指标由于主导极点在动态过程中起主要作用，因此，计算性能指标时，在一定的条件下，就可以只考虑主导极点所对应的暂态分量，忽略其余的暂态分量。将高阶系统近似看做一阶或二阶系统，直接应用第3章中计算性能指标的公式和曲线。第4章根轨迹法 例例4.9如下式为系统的闭环传递函数，应用闭环主导极点的概念估算系统性能。解解系统存在一对共轭复数极点s1,2=-0.33j0.58，一个负实数极点s3=-3.53，因为|s3|5|Re(s1，2)，且s1，2没有
24、与其它零点构成偶极子（此例不存在闭环零点），所以s1，2被视为闭环主导极点，忽略非主导极点后，闭环传递函数为 第4章根轨迹法 可见原三阶系统近似为二阶系统，与典型二阶系统相比得 则特征参数=0.49 单位阶跃响应时的超调量和调节时间为 第4章根轨迹法 4.3.3通过改造根轨迹改善系统的品质通过改造根轨迹改善系统的品质1.开环零点对根轨迹的影响开环零点对根轨迹的影响比较例4.6和例4.8的根轨迹图可知,增加一个开环零点，对系统根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布；（2）改变了渐近线的条数、倾角和分离点；（3）若增加的开环零点和某个极点距离很近，构成开环偶极子。若两者重合则相互抵消，
25、因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点；（4）根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统的动态性能。第4章根轨迹法 2.开环极点对根轨迹的影响开环极点对根轨迹的影响比较例4.1和例4.4的根轨迹图可知,增加一个开环极点，对系统根轨迹有以下影响：（1）改变了根轨迹在实轴上的分布；（2）改变了根轨迹的分支数；（3）改变了渐近线的条数、倾角和分离点；（4）根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统的动态性能。第4章根轨迹法 4.4广义根轨迹广义根轨迹 4.4.1参数根轨迹参数根轨迹除根轨迹增益K*外，把开环系统的其它参数从零变化到无穷或在某一范围内变化时，闭环系统特征根的轨迹叫参数根轨迹。绘制参数根轨迹的法
26、则与绘制常规根轨迹的法则完全相同，但绘图之前，要对系统的闭环特征方程进行简单处理。第4章根轨迹法 设系统的闭环特征方程为 1+G(s)H(s)=0（423）对式（423）进行等效变换，可写成（424）式中，A为除K*以外系统任意的变化参数；P(s)、Q(s)为不含参数A的多项式。显然式（423）和式（424）相等，即 1+G(s)H(s)=Q(s)+AP(s)=0（425）第4章根轨迹法 根据开环传递函数的具体形式，可得等效单位反馈系统，其等效开环传递函数为（426）根据等效开环传递函数G1（s）H1（s）的零点、极点分布，可以绘出A变化时等效系统的根轨迹。这里“等效”的含义仅限闭环极点相同，
27、而闭环零点一般不同。如果通过闭环极点、零点分析系统时，可以采用参数根轨迹上的闭环极点，但闭环零点则必须采用原来的闭环系统。第4章根轨迹法 例例4.10 已知某负反馈系统的开环传递函数为，试绘制参数a由零连续变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。解解 系统的闭环特征方程为 也可写成第4章根轨迹法 上式和根轨迹方程具有相同的形式，其左边部分相当于某一系统开环传递函数，我们称其为等效系统开环传递函数，参数a称为等效根轨迹增益。利用根轨迹绘制法则，可以绘出a由零变化到无穷大时，等效系统的根轨迹。（1）起点：。（2）终点：三条根轨迹都趋向于无限零点。（3）实轴上的根轨迹：含坐标原点在内的整个负实轴。第4章根
28、轨迹法（4）分离点：分离点的计算公式为 代入上式得 第4章根轨迹法（5）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角 渐近线的交点 为根轨迹与虚轴的交点。第4章根轨迹法 系统的闭环特征方程为 劳斯阵如下：第4章根轨迹法 当a=1时，劳斯阵中s1行为全零行，辅助方程为 解得 根据以上计算结果，可绘制系统根轨迹如图410所示。第4章根轨迹法 通过上例，可将一般绘制参数根轨迹的步骤归纳如下：（1）写出原系统的特征方程。（2）以特征方程式中不含参量的各项除特征方程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益。（3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。第4章根轨迹法 图410例4.1
29、0根轨迹 第4章根轨迹法 4.4.2零度根轨迹零度根轨迹如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。因为其相角遵循0+i360条件，故一般称之为零度根轨迹。这里所谓的非最小相位系统，是指在s右半平面具有开环零点j极点的控制系统。此外，如果有必要绘制正反馈系统的根轨迹，那么也必然会产生0+i360的相角条件。第4章根轨迹法 因此，一般来说，零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是
30、由于某种性能指标要求，使得在复杂系统设计中，必须包含正反馈回路所致。第4章根轨迹法 图411正反馈系统 第4章根轨迹法 零度根轨迹的绘制方法与180根轨迹的绘制方法略有不同。以正反馈为例，设某个系统结构图如图411所示。其闭环传递函数为 特征方程为 或写成 第4章根轨迹法 与负反馈系统的幅值条件式和相角条件式比较可知，幅值条件相同，而相角条件不同。负反馈系统的相角条件是180等相角条件，正反馈系统则是0等相角条件。我们称根轨迹方程的相角条件是180等相角条件的根轨迹为常规根轨迹或180根轨迹，根轨迹方程的相角条件是0等相角条件的根轨迹为零度根轨迹。因此负反馈系统根轨迹是常规根轨迹，正反馈系统的
31、根轨迹是零度根轨迹。零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。第4章根轨迹法 绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则有：（1）实轴上根轨迹存在的区间应改为其右侧实轴上的开环零、极点个数之和为偶数。（2）渐近线的倾角应改为 第4章根轨迹法（3）根轨迹的出射角和入射角计算公式应改为 出射角 入射角 除了上述三个法则外，其它法则不变。第4章根轨迹法 例4.11设单位正反馈系统的开环传递函数为G，试绘制根轨迹。解解绘制步骤如下：（1）起点：s1=0,s2=-1,s3=-5。（2）终点：三条根轨迹都趋向无穷远处。（3）实轴上根轨迹存在的区间为-5，-1，0，)。（4）计算分离点：N（s)=1,D(s)=s(s+1)(s+5)代入式 解得 由于-0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为-3.52。第4章根轨迹法（5）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角为 渐近线的交点为 根据以上几点，可绘出系统的零度根轨迹如图412所示。第4章根轨迹法 图412例4.11零度根轨迹
