1、2.3 2.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.3.1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数2.3.2.3.常见连续型随机变量常见连续型随机变量1/41 连续型随机变量连续型随机变量X全部可能取值充满全部可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型随机变量对这种类型随机变量,不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样,以指定它取每以指定它取每个值概率方式个值概率方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而而是经过给出所谓是经过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”方式方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量
2、描述方法描述方法.2/412.3.1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数定义：定义：设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f(x)(x)使得使得其中其中 F(x)是它分布函数是它分布函数则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f(x)是它是它概率概率密度函数密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密概率密度度3/41x xf(x)x xF F(x )分布函数分布函数 F(x)F(x)与密度函数与密度函数 f(x)(x)几何意义几何意义4/41概率密度函数
3、概率密度函数f(x)(x)性质性质3 3、在在 f(x)f(x)连续点处，连续点处，f(x)f(x)描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度区间内取值概附近单位长度区间内取值概率率.12这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 概率密度函数充要条件概率密度函数充要条件.f(x)xo面积为面积为15/41注意注意:对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X,P P(X=aX=a)=0)=0这里这里 a 能够是随机变量能够是随机变量 X X 一个可能一个可能取值取值.命题命题:连续型随机变量取任一常数概率为零连续型随机变量取任一常数概率为零.实际上
4、实际上6/41对于连续型随机变量对于连续型随机变量X Xb bx xf(x)a a7/41xf(x)a8/41例例2.3.12.3.1 设随机变量设随机变量 含有概率密度函数含有概率密度函数 试确定常数试确定常数A A，以及以及 分布函数分布函数.解解:由由知知A A=3=3，即，即 而而 分布函数为分布函数为 9/41解解 Step1:利用密度函数性质求出利用密度函数性质求出 a例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率 Step2:密度函数在区间积分得到此区间概率密度函数在区间积分得到此区间概率10/41例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数（2)X2)X 密度函数密度函数
5、（2 2）密度函数为密度函数为解解 11/41解解 当当 x 1 时时01 2 3 4 5yxx当当1 x 0 0 为常数为常数17/41对于任意对于任意 0 a b,0 a b,应用场所应用场所:用指数分布描述实例有：用指数分布描述实例有：随机服务系统中服务时间随机服务系统中服务时间电话问题中通话时间电话问题中通话时间无线电元件寿命无线电元件寿命动物寿命动物寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布近似分布近似18/41例例2.3.2令：令：B=B=等候时间为等候时间为10-2010-20分钟分钟 19/41 2.3.2.3 2.3.2.3 正态分布正态分布若若X X 密度函数
6、为密度函数为则称则称 X X 服从服从参数为参数为 ,2 2 正态分布正态分布记作记作 X X N N(,2 2 )为为常数，常数，20/41 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛一个连续型分布广泛一个连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发觉了二项概德莫佛最早发觉了二项概率一个近似公式，这一公式被率一个近似公式，这一公式被认为是正态分布首次露面认为是正态分布首次露面.21/41 正态分布密度函数性质与图形正态分布密度函数性质与图形关于关于 x=x=对称对称（-，）升升，（，（，
7、+）降降n单调性单调性n对称性对称性n拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+x22/412，对密度曲线影响对密度曲线影响 23/41 正态分布密度曲线是一条关于正态分布密度曲线是一条关于 对称钟对称钟形曲线。特点是形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对两头小，中间大，左右对称称”。决定了图形中心位置，决定了图形中心位置，决定了图形决定了图形中峰陡峭程度。中峰陡峭程度。24/41应用场所应用场所:若随机变量若随机变量 X X 受到众多相互独立随机原因受到众多相互独立随机原因影响，而每一个别原因影响都是微小，且这些影响能影响，而每一个别原因影响都是微小，且这些影响能够叠加够叠加,则则 X X 服从
8、正态分布服从正态分布.可用正态变量描述实例非常之多：可用正态变量描述实例非常之多：各种测量误差；各种测量误差；人生理特征；人生理特征；工厂产品尺寸；工厂产品尺寸；农作物收获量；农作物收获量；海洋波浪高度；海洋波浪高度；金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生们考试成绩；学生们考试成绩；25/41 正态分布是概率论中最主要分布，这能够由以正态分布是概率论中最主要分布，这能够由以下情形加以说明：下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见分布之一，大量随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量随机现象都是服从或近似服从正态分
9、布能够证实，假如一个随机指标受到很多原因影响，能够证实，假如一个随机指标受到很多原因影响，但其中任何一个原因都不起决定性作用，则该随机但其中任何一个原因都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好性质，这些性质是其它许多分布所不具备多分布所不具备 正态分布能够作为许多分布近似分布正态分布能够作为许多分布近似分布正态分布主要性正态分布主要性:26/41正态分布分布函数正态分布分布函数F(x)1 x27/41 标准正态分布标准正态分布n定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布分布称为标准正态分
10、布 n密度函数密度函数n分布函数分布函数Standard Normal distributionStandard Normal distribution偶函数偶函数 28/41标准正态分布概率计算标准正态分布概率计算n分布函数分布函数X-x 29/41标准正态分布概率计算标准正态分布概率计算n公式公式n查表查表n例例 X N（0，1）30/41普通正态分布标准化普通正态分布标准化n定理定理查标准正态查标准正态分布表分布表n概率计算概率计算 标准正态分布主要性在于，任何一个普标准正态分布主要性在于，任何一个普通正态分布都能够经过线性变换转化为标准通正态分布都能够经过线性变换转化为标准正态分布正态
11、分布.31/41普通正态分布区间概率普通正态分布区间概率n。n。n。32/41设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解例例33/41正态分正态分布实际应用布实际应用 已知已知90分以上分以上12人，人，60分以下分以下83人，若从高分到低人，若从高分到低分依次录用，某人成绩为分依次录用，某人成绩为78分，问此人能否被录用？分，问此人能否被录用？某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者考试成绩人报名，假设报名者考试成绩n分析分析 首先求出首先求出和和然后依据录用率或者分数线确定能否录用然后依据录用率或者分数线确定能否
12、录用34/41解解 成绩成绩X服从服从 录用率为录用率为 可得可得 得得 查表得查表得 35/41解解 查表得查表得 .解得解得 故故 设录用最低分为设录用最低分为 则应有则应有 某人某人78分，可分，可被录用。被录用。36/413 3 准则准则由标准正态分布查表计算能够求得，由标准正态分布查表计算能够求得，这说明，这说明，X取值几乎全部集中在取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围可能性仅占不到内，超出这个范围可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)
13、=2 (3)-)-1=0.997437/41将上述结论推广到普通正态分布将上述结论推广到普通正态分布,时，时，能够认为，能够认为，Y 取值几乎全部集中在取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差标准）（三倍标准差标准）.38/41 例例 公共汽车车门高度是按男子与车门公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计以下来设计.设男子设男子身高身高XN(170,62),),问车门高度应怎样确定问车门高度应怎样确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.
14、99，下面我们来求满足上式最小下面我们来求满足上式最小 h.再看一个应用正态分布例子再看一个应用正态分布例子:39/41因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超出机会不超出0.01.P(X h)0.99求满足求满足最小最小 h.40/41 这一讲，我们介绍了正态分布，它应这一讲，我们介绍了正态分布，它应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道打交道.后面第五章中，我们还将介绍为何这后面第五章中，我们还将介绍为何这么多随机现象都近似服从正态分布么多随机现象都近似服从正态分布.41/41
