1、高等应用数学高等应用数学第1页学习高等数学目标、作学习高等数学目标、作用、内容及方法用、内容及方法一、一、为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？二、二、高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？三、三、怎样才能学好高等数学？怎样才能学好高等数学？第2页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？高等数学是高等学校许多专业学生必修高等数学是高等学校许多专业学生必修主要基础理论课程。数学主要是研究现主要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中实世界中“数量关系数量关系”与与“空间形式空间形式”。世界上任何客观存在都有其世界上任何客观存在都有其“数数”与与“形形”属性特征，而且一切事物都发生改属性特征
2、，而且一切事物都发生改变，遵照量变到质变规律。变，遵照量变到质变规律。第3页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？凡是研究量大小、量改变、量与量之间凡是研究量大小、量改变、量与量之间关系以及这些关系改变，就少不了数学。关系以及这些关系改变，就少不了数学。一样，客观世界存在有各种不一样空间一样，客观世界存在有各种不一样空间形式。所以，宇宙之大，粒子之微，光形式。所以，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，速之快，世事之繁，无处不用数学。无处不用数学。第4页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？数学不但研究空间形式与数量关系，还数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中任何形式和关系，
3、只要研究现实世界中任何形式和关系，只要这种形式和关系能抽象出来，用清楚准这种形式和关系能抽象出来，用清楚准确方式表示，即所谓化为数学模型确方式表示，即所谓化为数学模型。第5页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学握数学恩格斯恩格斯 数学是打开科学大门钥匙数学是打开科学大门钥匙培根培根德国大数学家、天文学家、物理学家德国大数学家、天文学家、物理学家高高斯斯说：说：“数学是科学皇后，她经常屈尊数学是科学皇后，她经常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在去为天文学和其它自然科学效劳，但在全部关系中，她都堪称第一。全部关系中，
4、她都堪称第一。”第6页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？一个科学，只有当它成功地利用数课时，一个科学，只有当它成功地利用数课时，才能到达真正完善地步才能到达真正完善地步马克思马克思 培根培根曾说：曾说：“数学使人精细数学使人精细”伽里略、惠更斯、牛顿伽里略、惠更斯、牛顿都认为：都认为：“科学科学工作中演绎数学部分所起作用比试验部工作中演绎数学部分所起作用比试验部分所起作用要大分所起作用要大”第7页为何要学习高等数学？为何要学习高等数学？第一个诺贝尔物理奖得主第一个诺贝尔物理奖得主伦琴伦琴在回答在回答“科学家需要什么样涵养科学家需要什么样涵养”这一问题时，这一问题时，说：说：“第一是数学，
5、第二是数学，第三第一是数学，第二是数学，第三还是数学。还是数学。”被誉为被誉为“计算机之父计算机之父”冯冯诺伊曼诺伊曼认为认为“数学处于人类智慧中心领域数学处于人类智慧中心领域”第8页高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？广义地说，初等数学之外数学都是高等数学。普通认广义地说，初等数学之外数学都是高等数学。普通认为，为，16世纪以前发展起来各个数学学科总是属于初等世纪以前发展起来各个数学学科总是属于初等数学范围，因而，数学范围，因而，17世纪以后建立数学学科基本上都世纪以后建立数学学科基本上都是高等数学内容。是高等数学内容。初等数学：包含小学算术，中学代数，平面几何，立初等数学：包含小学
6、算术，中学代数，平面几何，立体几何，平面三角等。体几何，平面三角等。大学里开设高等数学课内容有微积分学和级数、常微大学里开设高等数学课内容有微积分学和级数、常微分方程，但主要部分是微积分学。分方程，但主要部分是微积分学。第9页高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？应用高等数学内容主要是微积分学。应用高等数学内容主要是微积分学。微积分学研究对象是函数，而极限则是微积分微积分学研究对象是函数，而极限则是微积分学基础，也是最主要推理方法。学基础，也是最主要推理方法。应用高等数学主要内容包含：函数、极限、连应用高等数学主要内容包含：函数、极限、连续、一元函数微分学和一元函数积分学。续、一元函数微
7、分学和一元函数积分学。第10页怎样才能学好数学？怎样才能学好数学？数学含有三个显著特点：数学含有三个显著特点：（1）高度抽象性）高度抽象性（2）严谨逻辑性）严谨逻辑性（3）广泛应用性）广泛应用性第11页怎样才能学好大学数学？怎样才能学好大学数学？大学数学教学与中学数学教学相比，有大学数学教学与中学数学教学相比，有以下三个显著差异：以下三个显著差异：1、课时少、课时少。每七天一次课，普通不可。每七天一次课，普通不可能课堂提问和课堂练习。能课堂提问和课堂练习。2、时间长、时间长。每一次课是连续讲授两节。每一次课是连续讲授两节课。课。3、进度快、进度快。因为高等数学内容极为丰。因为高等数学内容极为丰
8、富，而课时又有限，所以，每次上课内富，而课时又有限，所以，每次上课内容较多。容较多。第12页基本要求基本要求预习预习听课（适当记笔记）听课（适当记笔记）总结复习（做作业，看课外书）总结复习（做作业，看课外书）第13页预备知识预备知识函数函数第14页在某过程中数值保持不变量称为常量,通惯用字母a,b,c等表示常量,而数值改变量称为变量.用字母x,y,t等表示变量.预备知识预备知识函数函数常量与变量常量与变量常量与变量常量与变量一、函数相关概念一、函数相关概念逻辑符号逻辑符号逻辑符号逻辑符号第15页定义定义11、函数定义、函数定义记作记作一、函数相关概念一、函数相关概念第16页一、函数相关概念一、
9、函数相关概念2 2、函数三要素、函数三要素定义域对应法则值域两个函数相同两个函数相同：定义域和对应法则都相同定义域和对应法则都相同两个基本要素第17页在考虑实际问题时，应依据问题实际意义来确定函数定义域。对于用函数解析式表示函数，它定义域应使函数表示式本身有意义.（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方根；（3）在对数式中，真数不能为零和负数；（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数定义域；（5）假如函数表示式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域交集.一、函数相关概念一、函数相关概念函数定义域求法函数定义域求法第18页一、函数相关概念一、函数相关概念
10、3 3、函数记号、函数记号第19页一、函数相关概念一、函数相关概念4 4、函数表示方法、函数表示方法表格法、图示法和解析法（公式法）表格法、图示法和解析法（公式法）.公式法（解析法）公式法（解析法）:抽象，简明，便于研究抽象，简明，便于研究函数性质函数性质图示法：形象、直观、粗略图示法：形象、直观、粗略表格法：便于查找函数值表格法：便于查找函数值第20页一、函数相关概念一、函数相关概念5 5、分段函数、分段函数定义定义2在自变量不一样取值范围内用不一样解在自变量不一样取值范围内用不一样解析式来表示函数称为析式来表示函数称为分段函数。分段函数。注意：注意：1.分段函数定义域是其各段子区间并集；分
11、段函数定义域是其各段子区间并集；2.分段函数在其整个定义域上是一个函数，而分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数不是几个函数.第21页一、函数相关概念一、函数相关概念6 6、显函数与隐函数、显函数与隐函数定义定义3比如：比如：注：不是任意方程都能确定隐函数注：不是任意方程都能确定隐函数第22页定义定义4且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:在在x=0有定义有定义,则当则当必有必有(1)奇、偶函数定义域必须对称于坐标原点奇、偶函数定义域必须对称于坐标原点.为奇函数时为奇函数时,二、函数基本性质二、函数基本性质1 1、奇偶性、奇
12、偶性第23页奇函数奇函数偶函数偶函数几何特征几何特征yxOyxO二、函数基本性质二、函数基本性质1 1、奇偶性、奇偶性奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。如图第24页二、函数基本性质二、函数基本性质2 2、周期性、周期性定义定义5注：(1)T为周期。(2)假如在全部周期中存在一个最小正数，那么就把这个正数称为最小正周期。第25页当当时时,称称为为D上上单调递增函数单调递增函数;称称为为D上上单调递减函数单调递减函数；单调增区间。单调增区间。区间区间D称为称为单调减区间。单调减区间。区间区间D称为称为二、函数基本性质二、函数基本性质3 3、单调性、单调性定义定义6单调递增函数与单调递
13、减函数统称为单调函数；单调增区间与单调减区间统称为单调区间。第26页二、函数基本性质二、函数基本性质4 4、有界性、有界性都有定义定义7(1)若使得则称函数在I上有界，或称函数是有界函数。使得(2)若都则称函数在I上无界，或称函数是无界函数。第27页几何特征几何特征二、函数基本性质二、函数基本性质4 4、有界性、有界性第28页三、反函数三、反函数1 1、反函数定义、反函数定义定义定义8习惯上将x作为自变量矫形反函数矫形反函数直接反函数直接反函数第29页三、反函数三、反函数2 2、反函数求法、反函数求法求反函数过程求反函数过程直接直接反函反函数数矫矫形形反反函函数数第30页三、反函数三、反函数3
14、 3、反函数性质、反函数性质性质1 反函数图形与原函数图形关于直线y=x对称。性质2 反函数定义域与原函数值域相同，反函数值域与原函数定义域相同。性质3 单调函数一定有反函数。注：不是全部函数都存在反函数。一一对应函数有反函数。第31页四、基本初等函数四、基本初等函数定义定义9以下六种函数统称为基本初等函数（2）幂函数（5）三角函数（3）指数函数（6）反三角函数（4）对数函数（1）常数函数第32页四、基本初等函数四、基本初等函数（1）常数函数第33页四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第34页四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第35页12/1/202436同一坐标系中幂函数图
15、象四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第36页四、基本初等函数四、基本初等函数（3）指数函数第37页四、基本初等函数四、基本初等函数指数运算性质第38页四、基本初等函数四、基本初等函数（4）对数函数第39页四、基本初等函数四、基本初等函数对数运算性质自然对数第40页正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第41页四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第42页四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第43页四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第44页四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第45页四、基本初等函数四、
16、基本初等函数（6）反三角函数第46页四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第47页五、复合函数五、复合函数1 1、复合函数、复合函数定义定义10由函数可组成复合函数例函数复合后普通应重新验证它定义域第48页五、复合函数五、复合函数1 1、复合函数、复合函数是由哪几个函数复合而成?函数 )1ln(arccos 2-=xy复合函数分解：分解到基本初等函数或基本初等函数四则运算为止.2 2、简单函数、简单函数定义定义11由基本初等函数经过有限次四则运算所得到函数，通常称为简单函数。第49页六、初等函数六、初等函数定义定义12由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所组成，且能用一个解析式表示函数，称为初等函数，不然就是非初等函数。注：注：分段函数一定不是初等函数。分段函数一定不是初等函数。都是初等函数都是初等函数第50页所以幂指函数也是初等函数所以幂指函数也是初等函数六、初等函数六、初等函数第51页
