1、1.5.3 定积分的概念 1.定积分的概念 （1）定积分的定义式 (2)积分下限_，积分上限_，积分区间_，被积函 数_,积分变量x,被积式_. aba,b f(x)f(x)dx 积分上限 积分号 积分下限被积函数 2.定积分的几何意义 如果在区间a,b上函数f(x)连续且恒有_，那么定 积分 表示由直线_和曲线_所围 成的曲边梯形的面积. f(x)0 x=a,x=b,y=0y=f(x) 3.定积分的性质 （1） （k为常数). （2） （3） 二、定积分的运算性质 正确理解定积分的性质，思考下列问题： 探究1:定积分的性质（2）能推广到多个函数和或差的定积分 运算吗？ 提示:能.推广公式为
2、探究2:定积分的性质（3）能推广到有限个区间上的积分和 吗？ 提示:能.推广公式为 【探究提升】定积分的运算性质的关注点 （1）线性运算：定积分的性质（1）（2）称为定积分的线性 运算，等式两边积分区间保持不变. (2)区间可加性：定积分的性质（3），称为定积分对积分区 间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集， 各个积分区间的并集等于左边的积分区间. 类型 一 利用定义求定积分 1.利用定积分的定义求 的值. 【技法点拨】用定义法求积分的步骤 （1）分割：将积分区间a,bn等分. （2）近似代替：取点ixi-1,xi，可取i=xi-1或者 i=xi. （3）求和： （4）求极限：
3、【变式训练】利用定积分的定义计算 的值. 【解析】把区间1,2分成n等份, 每个小区间的长度为 在 上取 所以 作积求和 所以 类型 二 定积分几何意义的应用 根据定积分的几何意义结合函数图象求解定积分的值， 并总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤. 1.利用定积分的几何意义填空. (1) (2) 2.定积分 的几何意义是什么？ 【解题指南】1.根据定积分的几何意义,通过求相应图形的面 积求定积分的值. 2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答. 【解析】1.（1） 表示的是图（1）中阴影所示长方形的 面积，由于这个长方形的面积为2，所以 答案:2 (2) 表示的是图（2）中
4、阴影所示梯形的面积，由于这个 梯形的面积为 所以 答案: 2.被积函数 的图象是以原点为圆心，半径r=3的圆 位于x轴上方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的几何意 义可知，定积分 表示此半圆的面积. 【互动探究】本题2若改为“求定积分 的值”， 结果怎样？ 【解题指南】根据定积分的几何意义，通过求规则图形的面 积求定积分的值. 【解析】被积函数 的图象是以原点为圆心，半径 r=3的圆位于x轴下方的部分（包括与x轴的交点）. 由积分的 几何意义可知，定积分 表示此半圆的面积S= 的相反数，故 【技法点拨】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步 骤 （1）准确画出各曲线围成的平面区域. （2
5、）把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下 方有没有区域. （3）解曲线组成的方程组确定积分的上、下限. （4）根据积分的性质写出结果. 类型 三 定积分性质的应用 熟练根据定积分的性质进行相关的运算，并总结利用定 积分的性质求定积分的策略. 1.已知 则 ( ) 2.已知 【解题指南】1.根据定积分的运算性质把所求定积分转化成 两个定积分的和. 2.直接利用定积分的运算性质把所求定积分转化成两个定积 分的差,然后再根据定积分的几何意义求解. 【解析】1.选C.由定积分的性质可知, 2. 因为 表示x=0,x=2,y=0,y=2x围成的图形的面积， 所以 所以 =84=4. 答案:4
6、【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于 每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所 求定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再 相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解. 【拓展延伸】奇函数、偶函数在对称区间上的积分 （1）若f（x）为偶函数，且在-a,a上图象连续不断， 则 （2）若f（x）为奇函数，且在-a,a上图象连续不断， 则 【变式训练】已知函数f(x)为偶函数.证明 【证明】由定积分的性质可知 由定积分的几何意义及偶函数的图象特征可知 所以 1.若在区间1,2上,f(x)
7、0恒成立,则 的符号( ) A.一定为正 B.一定为负 C.可能为正,也可能为负 D.不能判断 【解析】选A.由定积分的概念可知, 的值为曲边梯形 的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正. 2.求曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为 积分变量,则积分区间为( ) A.0,e2 B.0,2 C.1,2 D.0,1 【解析】选B.因为y=1时，由1=ex，所以x=0，所以根据围成 图形的形状及积分变量可知,积分区间为0,2. 3.已知 则( ) 【解析】选D.由定积分的性质可知 4.计算 【解析】 答案:4 5.由 所围成的图形的面积写成定积 分的形式为_. 【解析】由定积分的定义和几何意义可知 答案: 6.已知 求：（1） （2） （3） 【解析】（1） （2） （3）
