1、第四章 图形的相似相似三角形的性质问:相似三角形的识别方法有哪些?证二组对应角相等证三组对应边成比例证二组对应边成比例,且夹角相等一、复习回顾问:你知道相似三角形的特征是什么吗?角:对应角相等边:对应边成比例问:什么是相似比?相似比=对应边的比值= 如右图,ABC ABC二、合作交流,探究新知探究相似三角形对应高的比与相似比的关系如图ABCDEF.B =E.又AMB =DNE =90 .AMBDNE.(两角对应相等的两个三角形相似).相似三角形对应高的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例).ABCMDEFN即,相似三角形对应高的比等于相似比.二、合作交流,探究新知探究相似三角形对应角
2、平分线的比与相似比的关系如图ABCDEF.B =E, BAC=EDF.又AM,DN分别是BAC和EDF的角平分线.BAM=EDN.AMBDNE.(两角对应相等的两个三角形相似)相似三角形对应角平分线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例)即:相似三角形对应角平分线的比等于相似比.二、合作交流,探究新知探究相似三角形对应中线的比与相似比的关系如图ABCDEF.B =E,相似三角形对应中线的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例)又AM, DN分别是ABC和DEF的中线.AMBDNE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)且B =E.即:相似三角形对应中线的比等于相似比.二、
3、合作交流,探究新知探究相似三角形周长的比与相似比的关系如图,在 ABC与 ABC中,ABCABC,且相似比为 k.相似三角形周长的比等于相似比.理由是:(相似三角形对应边成比例,对应边的比叫做相似比)即:相似三角形周长的比等于相似比.二、合作交流,探究新知l三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形.l相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.l相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的 比等于相似比.l相似比等于 1 的两个三角形全等.l注意:l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.l反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点.l由于相似三角
4、形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.二、合作交流,探究新知l判定两个三角形相似的方法:l两角对应相等的两个三角形相似.l三边对应成比例的两个三角形相似.l两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.l斜边直角边对应成比例的两个三角形相似.l平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似.ABCDEADEBCEDCBA二、合作交流,探究新知结论1: 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;如图, 已知ABC, DE BC, 交AB,AC或其延长线于D,E,则有如下结论:ABCDE如图: 在ABC中,如果DEB
5、C,那么ADEABC.结论2: 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所得的对应线段成比例.如图: 在ABC中,如果DEBC,ADEBCEDCBA二、合作交流,探究新知三、运用新知1. 如图所示,在等腰ABC 中,底边 BC = 60 cm, AD = 40 cm, 四边形PQRS是正方形.(1)ASR与ABC相似吗?为什么?(2)求正方形PQRSR的边长.解:(1) ASRABC.理由是:四边形PQRS是正方形RSBCASR= BARS= CASRABC.ABCSREPDQ三、运用新知(2)由(1)可知, ASR ABC.设正方形 PQRS 的边长为 x cm, 则 AE =(40
6、- x)cm,解得, x = 24.所以正方形 PQRS 的边长为 24 cm.(相似三角形对应高的比等于相似比)(2)求正方形PQRSR的边长.三、运用新知2. 问题:ABCABC,它们面积的比与相似比有什么关系?如图, ABCABC,相似比是k(如43).(1)ABC与ABC的面积如何表示?(2)ABC与ABC面积的比是多少?解:(1)分别作高CD,CD,则如果两个相似三角形的相似比是 k ,通过上面的活动,你得出了什么结论?三、运用新知相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图,如果ABCABC,且这个结论在今后的学习中作用很大,若能理解运用,则受益非浅.相似多边形的性质:相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.四、归纳小结敬请各位老师提出宝贵意见!