1、复数的加、减运算及其几何意义教学设计（一）教学内容复数的加法运算及其几何意义，复数的减法运算及其几何意义.（二）教学目标掌握复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，了解复数加、减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点重点：复数代数形式的加、减运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.法（四）教学过程设计1.引入新课问题1：我们为了解决类似x2+1=0在实数范围无解的问题，引入了虚数单位i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.依据我们研究实数的经验，接下来我们要研究复数的哪些问题？答：接下来要研究讨论复数集中的运算问题.追问：还记的复数的概念吗？答：对于形如：z=a
2、+bi（a，bR）的数叫做复数.其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.设计意图：通过复习回顾数集的扩展、复数概念为探究本节课的新知识作铺垫.2.课堂探究问题2：我们希望在扩充到复数集后加法、乘法运算与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且复数的加法和乘法都满足交换律和结合律，设z1=a+bi, z2=c+di（a，b，c，dR）是任意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？答：z1+z2=a+bi+c+di，由于期望加法结合律成立，故z1+z2=(a+c)+(bi+di);由于期望乘法对加法满足分配率，故z1+z2=(a+c)+(b+d)i，所以我们规定：设z1=a+b
3、i, z2=c+di（a，b，c，dR），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.追问1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加；追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？答：当b=0，d =0时，复数的加法与实数加法法则一致；追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答：实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性.将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣.问题3：实数的加法有交换律、结合律
4、，复数的加法满足这些运算律吗？答：对任意的z1，z2，z3C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明：设z1=a+bi, z2=c+di（a，b，c，dR），则z1+z2=(a+c)+(b+d)i.z2+z1=(c+a)+(d+b)i.因为a+c= c+a，b+d=d+b，所以z1+z2=z2+z1.证明: 设z1=a+bi, z2=c+di, z3=e+fi（a，b，c，d,e,fR），(z1+z2)+z3=(a+c)+(b+d)i+ e+fi=a+c+e+b+d+fi,z1+(z2+z3)=a+bi+(c+e)+(d+f)i =(c+e)+a+(d+f)
5、+bi所以(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题4：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？答：类比实数减法的意义，我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(c+di) +(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y）R叫做复数a+bi（a，b）R减去复数c+di（c，d）R的差，记作a+bi-(c+di) .根据复数相等的含义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.追问1：两个复数的差是个什么数，它的值唯一确定吗？答：两个复数
6、的差与和相同，仍然是个复数,且是一个确定的复数.追问2：上述用什么方法来推导两个复数减法的运算法则的？答：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.追问3：复数的加法类似于两个多项式相加，复数的减法类似于实数的哪种运算方法呢？答：两个复数的差实质是实部与实部相减作为实部, 虚部与虚部相减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项.设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,进行必要铺垫.问题5：我们知道，复数与复平面内以
7、原点为起点的向量有一一对应的关系。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？答: 设OZ1，OZ2分别与复数a+bi,c+di对应，则OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d).由平面向量的坐标运算法则，得OZ1+OZ2=(a+c,b+d).而z1+z2=(a+c)+(b+d)i.这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 问题6：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？答：设OZ1，OZ2分别与复数a+bi,c+di对应，则OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d).OZ1+OZ2=(a-c,b-d)，而z1-z2=(a-
8、c)+(b-d)i.这说明两个向量OZ1与OZ2的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量. 设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了化归与转化的数学思想方法.3.知识应用例1.(1)已知复数z1=1+2i, z2=3-4i，求它们的和z1+z2与差z1-z2;(2) (5+6i)+-2-i-(3+4i)解：(1)z1+z2=4-2i, z1-z2=-2+6i；(2) (5+6i)+-2-i-3+4i=5-2-3+-6-1-
9、4i=-11i例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1(x1，y1) ，Z2(x2，y2)之间的距离.分析：由于复平面内的点Z1x1，y1 ，Z2x2，y2对应的复数分别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 由复数减法的几何意义知，复数z2-z1对应的向量为Z1Z2，从而点Z1，Z2之间的距离为Z1Z2=z2-z1解：由于复平面内的点Z1x1，y1 ，Z2x2，y2对应的复数分别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 所以点Z1，Z2之间的距离为Z1Z2=Z1Z2=z2-z1=x2+y2i-(x1+y1i)=x2-x1+(y2-y1)i=x2-x12+(y2-y1)
10、2.设计意图：通过运算巩固复数加、减运算，利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点Z1，Z2之间的距离转化为Z1Z2=z2-z1,使得几何问题代数化. 4.归纳总结 （1）复数代数形式的加法、减法的运算法则.复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; （2）复数加法减法的几何意义.复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行.设计意图：通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解, 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.
