1、复数的加、减运算及其几何意义教学设计 教材分析复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性、通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合课时分配1课时 教学目标1掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义2培
2、养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力3培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神 教学重难点重点：复数代数形式的加法、减法的运算法则难点：复数加法、减法的几何意义 教学过程我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案是肯定的，这节课我们就来研究复数的加减运算我们规定，复数的加法法则如下：设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i.提出问题：问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2：当b0，d0时，与
3、实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？活动设计：学生独立思考，口答活动成果：1.仍然是个复数，且是一个确定的复数；2.一致；3.实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项设计意图加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性 提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明活动设计：学生先独立思考，然后小组交流活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)证明：设z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，z2z1(ca)(db
4、)i，显然，z1z2z2z1.同理可得(z1z2)z3z1(z2z3)设计意图引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力 下面我们根据复数的几何意义，探究一下复数加法的几何意义提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决设向量，分别与复数z1abi，z2cdi对应，则OZ1(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐标运算，
5、有OZ1OZ2(ac，bd)这说明两个向量与的和就是与复数(ac)(bd)i对应的向量活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义设计意图既训练了学生的类比思想，也训练了学生的数形结合思想 下面我们来研究复数的减法提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义活动设计：学生独立完成，口述，教师板书活动成果：1.我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(cdi)(xyi)abi的复数xyi叫做复数abi减去复数cdi的差，记做(abi)(cdi)2复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的设计意图考查学生的类比思想，提高学生主动发现问题，探究
6、问题的能力 提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(abi)(cdi)(abi)(1)(cdi)(abi)(cdi)(ac)(bd)i.活动成果：证明：根据复数相等的定义，有cxa，dyb，因此xac，ybd，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.设计意图让学生自己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯提出问题：问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？问题2：复数的加(减)法实质是什么？问题3：多个复数相加减怎样运
7、算？活动设计：学生独立完成，口述，教师完善活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来；2实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减；3可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减设计意图加深对复数加(减)法法则的理解，并为例题打下基础 例1计算(56i)(2i)(34i)思路分析：根据复数的加减运算法则即可得出解法一：(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i.解法二：(56i)(2i)(34i)(52)(61)i(34i)(37i)(34i)11i.点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，考查了学生对公式把握的准确性解法一是
8、直接将它们的实部与虚部分别相加(减)，解法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，解法一更好变式练习计算(12i)(23i)(34i)(45i)(99100i)(100101i)思路分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加解：原式(123499100)(2345100101)i5050i.点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性变练演编教师：我们知道，在复数减法的几何意义中，复数z1z2与向量一一对应，那么，z1z2的模长呢？显然，|z1z2|Z1Z2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离提出问题：设动点Z与复数zxyi对应，定点P
9、与复数pabi对应根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果活动成果：解：设定点P为圆心，r为半径，如图，由圆的定义，得复平面内圆的方程|zp|r.提出问题：1复平面内满足_的点Z的集合表示的图形是以P为圆心，r为半径的不含边界的圆面部分2由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内点的轨迹方程活动设计：学生分组完成，教师完善活动成果：1.|zp|r2(1)复数等式|zi|zi|3在复平面上表示一个椭圆(2)复数等式|zi|zi|1在复平面上表示双曲线的一支(3)复数等式|zz1|zz2|(z1z2)在复平面上表示线段的中垂线(4)复数等式|zi|zi
10、|2在复平面上表示一条线段(5)复数等式|z1z2|z1z2|在复平面上表示平行四边形对角线相等，即表示矩形设计意图设置本组题目，意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增加问题的多样性、趣味性，训练学生思维的发散性、深刻性 达标检测1计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)2复数65i与34i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，对应的复数3求复数2i，3i所对应的两点之间的距离答案：1.(1)5；(2)22i.2.9i；9i.3.(提示：两复数所对应的点分别是(2,1)，(3，1)，求这两点距离即可)知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)1若干个复数相
11、加(减)，可以将它们的实部与虚部分别相加(减)，复数的加(减)法则与多项式的加(减)法是类似的2复数加(减)法的几何意义可以按照向量的加(减)法来进行3两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离课本对应习题基础练习1如果复数abi与cdi的和是一个纯虚数，则有()Abd0且ac0 Bac0且bd0Cad0且bc0 Dbc0且ad02当1m时，复数m(2i)(1i)在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2i，向量对应的复数为12i，向量对应的复数为3i，求点C对应的复数4在平行四边形OABC中(其中O为
12、原点)，点A、B、C所对应的复数分别是z14ai、z268i、z3abi(a，bR)，求复数z1，z3，并求出z1z3的值答案：1.B2.B3.42i.4.z142i；z326i；z1z324i.拓展练习5在复平面内，求满足方程|zi|zi|4的复数z所对应的点的轨迹6复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.答案：5.提示：方程可以变形为|z(i)|zi|4，表示到两个定点(0，1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆6提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线的长度为，则所求的另一条对角线的长度也等于.法二：(向量法
13、)设z1，z2所对应的向量分别是a，b，将|z1z2|两边平方得ab0，则(z1z2)22，所以|z1z2|.本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题入手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生
