1、函数的应用环节一 函数的零点与方程的根复习引入问题1我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数根，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数请回忆相关内容，说说借助二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数根？答案：从二次函数的观点来看，一元二次方程ax2bxc0的实数根就是相应二次函数yax2bxc的零点，也就是二次函数yax2bxc的图象与x轴的公共点的横坐标探究新知问题2类比一元二次方程的实数根和相应的二次函数的零点的关系，像lnx2x60这样没有求根公式的方程，你能用类似的方法研究它的解的情况吗？答案：类比二次函数的零点，也可以考虑函数
2、ylnx2x6的零点，通过判断函数ylnx2x6图象与x轴是否有公共点，来判断方程lnx2x60是否有实数解探究新知问题3通过上面的讨论，你能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？答案：可以将这种方法推广到研究一般方程的解为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义 定义：对于一般函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）这样，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解，也就是函数yf(x)的图象与x轴的公共点的横坐标探究新知追问1在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？答案：根据函数零点的定义，可以得到如
3、下的等价关系：方程f(x)0有实数解函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有公共点即对于函数yf(x)的零点，其代数意义就是f(x)0的实数解，其几何意义就是函数yf(x)的图象与x轴的公共点探究新知追问2函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们探寻方程的解，尤其是对于那些不能用公式求解的方程，提供了哪些思路？ 答案：求方程f(x)0的实数解，就是确定函数yf(x)的零点所以，对于不能用公式求解的方程f(x)0的实数解问题，我们可以把它与相应的函数yf(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解探究新知追问3这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含
4、着怎样的数学思想？答案：这其中蕴含着数形结合、化归与转化、函数与方程结合的数学思想探究新知问题4为了探究函数在定义域内的某一区间存在零点的条件，我们借助信息技术，列举了一些存在零点的函数，如图1请你观察图中函数在零点附近图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，并尝试概括这一类零点存在的条件探究新知答案：在图，中，零点左侧的图象在x轴下方，零点右侧的图象在x轴上方相应的函数f(x)的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0在图，中，零点左侧的图象在x轴上方，零点右侧的图象在x轴下方相应的函数f(x)的取值在零点左侧大于0，在零点右侧小于0探究新知追问1 你能将上面两种情况加以概括，说说它们的共性
5、吗？答案：在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x轴，零点两侧的函数值符号相反探究新知追问2 若将函数yf(x)零点存在的区间记为(a，b)，你能用符号语言表示零点两侧的函数值符号相反吗？答案：f(a)f(b)0.探究新知追问3 如果函数yf(x)在区间a，b上满足f(a)f(b)0，是不是一定能得到函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点？为什么？答案：不一定，比如 ，f(1)1，f(1)1，f(1)f(1)0，但是该函数在区间1，1内没有零点因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”x轴探究新知追问4 除了函数yf(x)在区间a，b上满足f(a)f(b)0，根
6、据追问3的讨论，我们可以追加什么条件就能保证函数yf(x)在区间a，b内存在零点？答案：函数在给定区间a，b上的图象连续不断探究新知结论函数零点存在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解探究新知追问5答案：函数零点存在定理的条件是：p：函数yf(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0结论是：q：函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点其逆命题是：如果函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，那么函
7、数yf(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？探究新知追问5考虑函数f(x)x2，该函数在区间(2，2)内明显有零点x0，但是因为f(2)4，f(2)4，所以f(2)f(2)0所以其逆命题为假，即由函数零点存在定理的结论q不能推出其条件p所以函数零点存在定理的判定条件是充分但不必要条件考虑函数 ，该函数在区间(1，2)内明显有零点x1，但是因为在x=0处函数无定义，所以在区间1，2上的图象不是连续不断的探究新知追问6答案 函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定
8、只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数例如三次函数f(x)(x1)(x2)(x3)，在区间0，4上的图象连续不断，且f(0)f(4)(6)60，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点x1，x2和x3零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究 函数零点存在定理的结论是：函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点这是否说明，如果满足判定条件，那么函数yf(x)在区间(a，b)内就只有一个零点？请说明理由，或举例说明求方程lnx2x60的实数解的个数知识应用例1追问1 方程与函数的关系，方程解的问题等价于什么问题？答案 可以等价转化为函数f(x)lnx2x6的零点是否存在以及
9、零点个数问题追问2 零点的存在性判定可以借助函数零点存在定理，该定理的使用需要哪些先决条件？答案 函数图象连续不断和特定区间的端点函数值异号求方程lnx2x60的实数解的个数知识应用例1追问3 除了用计算工具计算函数值，还有什么办法可以判断函数值的符号？答案 可以仿照比较大小，通过比较函数值与0的大小确定解法一：设函数f(x)lnx2x6，利用计算工具，列出函数yf(x)的对应值表如表1，并画出图象如图2知识应用例1一方面，由表1和图2可知，f(2)0，f(3)0，则f(2)f(3)0，并且其图象在(0，)内连续由函数零点存在定理可知，函数f(x)lnx2x6在区间(2，3)内至少有一个零点知
10、识应用例1另一方面，对于函数f(x)lnx2x6，x(0，)，可以先将其转化为两个基本函数g(x)lnx与h(x)2x6，由于它们在(0，)内都单调递增，所以函数f(x)g(x)h(x)在(0，)内是增函数两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程lnx2x60只有一个实数解解法二：因为 f(2)ln22lne210，f(3)ln30，所以在区间2，3上，有 f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知，函数 f(x)lnx2x6在区间(2，3)内至少有一个零点知识应用例1（1）回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？（2）在例1中，观察函数f(x)lnx2x6的图象，借助计
11、算器，你能进一步缩小函数零点所在的范围吗？知识应用问题5答案：（1）运用函数零点存在定理时，需要注意：函数零点存在定理的两个判定条件：1o在给定区间a，b上的图象连续不断；2o f(a)f(b)0二者缺一不可答案：（1）函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论知识应用问题5函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定要确定零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究（2）能进一步缩小范围，但具体的缩小方式以及最终的范围保持开放性敬请各位老师提出宝贵意见！
