1、牛吃草问题 小教普通 胡蒙洁 1 导入：“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可 供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们 一下就可求出：31065（天）。如果我 们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问 题就不那么简单了，因为草每天都在生长， 草的数量在不断变化。这类工作总量不固定 （均匀变化）的问题就是牛吃草问题，牛吃 草问题是牛顿问题的俗称。 2 英国大数学家牛顿曾编过这样一道数 学题：牧场上一片青草，每天牧草都 匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20 天，或者可供15头牛吃10天。问：可 供25头牛吃几天？ 3 设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份 ，草被吃完；15头
2、牛10天吃150份，草也被吃完。前者 的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原 有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新 长出的草。 20015050（份），201010（天）， 说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头 牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草 就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l05） 20100（份）或（155）10100（ 份）。 现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有 25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头 吃原有的草，吃完需100205（天）。 所以，这片草地可供25头牛吃5天。 4
3、 在例1的解法中要注意三点： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情 况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中 几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草， 根据吃的天数可以计算出原有的草量。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草 ，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算 出能吃几天。 5 练习： 1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青 草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么 ，可供21头牛吃几周？ 6 例2：由于天气逐渐冷起来，牧场上的 草不仅不长大，反而以固定的速度在减 少。已知某块草地上的草可供20头牛吃 5天，
4、或可供15头牛吃6天。照此计算， 可供多少头牛吃10天？ 7 :设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15 头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧 场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头 牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加 上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有 草 （2010）5150（份）。 由 1501015知，牧场原有草可供15头牛吃 10天 ，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。 8 变式训练-1： 一个水池装一个进水管和三个同样 的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水 后，再打开出水管。如果同时打开2个出水
5、管， 那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管 ，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚 开多少分钟？ 9 分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量 在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当 于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所 以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。 出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水 管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排 空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是 不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排 水量入手解决问题。 10 设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个 出水管8分钟所排的水是2816（份），3 个出水管
6、5分钟所排的水是3515（份）， 这两次排出的水量都包括原有水量和从开始 排水至排空这段时间内的进水量。两者相减 就是在8-5=3（份）内所放进的水量，所以每 分钟的进水量是 1/3（份）原有水的水量为 :(2-1/3)8=40/3(份) 11 解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进 水量(28-35)/(8-5)=1/3(份) 进水管提前开了(2-1/3)81/3=40(分) 答：出水管比进水管晚开40分钟。 12 变式训练2： 自动扶梯以均匀速度由下往上 行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已 知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15 级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩 用了6
7、分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级 ？ 13 分析：上楼的速度可以分为两部分：一部分 是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶 梯的速度。 男孩5分钟走了205 100（级）， 女孩6分钟走了15690（级）， 女孩比男孩少走了1009010（级），多 用了651（分），说明电梯1分钟走10级 。所以扶梯共有（2010）5150（级） 。 14 解：自动扶梯每分钟走 （205156）（65）10（级）， 自动扶梯共有（2010）5150（级）。 答：扶梯共有150级。 15 解：自动扶梯每分钟走 （205156）（65）10（级）， 自动扶梯共有（2010）5150（级）。 答：扶梯共有150级
8、。 16 变式训练3：某车站在检票前若干分钟就开始 排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票 口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 17 分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅 客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用 牛吃草问题的解法求解。 旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票 前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始 检票后新来的旅客。 18 设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票 口30分钟通过（430）份，5个检票口20分钟通过 （520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（ 430-520）份，所以每分钟新来旅客 （430-520）（30-20）=2（份）。 假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消 ，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅 客为 （4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。 60（7-2）=12（分）。 19 小结： 通常思路： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量- 生长 的草量= 消耗原有草量)； 4、最后求出可吃天数 20 谢 谢 大 家！ 21
