1、向量基本定理（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？问题1阅读教材相应内容，思考下列问题：整体概览（1）本节主要研究共线向量基本定理和平面向量基本定理（2）共线向量基本定理和共面向量基本定理这实际上是将一维的情况和二维的情况进行了展示，呈现渗透了以低维研究高维的思想三维的情况（即空间向量基本定理）将在选择性必修的内容中出现向量基本定理是引入向量坐标的基础，因此这一内容非常重要，这一小节的关键在于怎样理解“基本”这两个字新知探究问题2前面我们已经看到，当存在实数，使得 时，那么，这个结论反过来是否成立呢？结论是成立的新知探究例1如图所示，判断向量 是否可以写成数与
2、向量 相乘如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由abcde解：对于因为 与 的方向相同，而且| |2 | | ，所以 2 ；因为 与 的方向相同，而且| | | |，所以 ，因为 与 的方向相反，而且| | | |，所以 因为 与 不平行，所以 不能写成数与向量 相乘新知探究共线向量基本定理：如果 且 ，则存在唯一的实数，使得 （1） 时，通常称为 能用 表示（2）其中的“唯一”指的是，如果还有，则有假设 可知，如果0，则 ，与已知矛盾，所以0即新知探究由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得 新知探究对于共线向量基本
3、定理的理解，要注意以下三点：（1）定理的前提：给定一个非零向量 ；（2）定理的结论：所有与非零向量 平行的向量 均可以表示成 的形式，且表示方法唯一；（3）定理的本质：构建了向量 与实数之间的一一对应关系新知探究问题3如果 且 ，求实数，使得 ？解：（1）当 时才存在实数，使得，而且这样的可以是任意实数（2）当 时不存在这样的实数新知探究问题4共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来、那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？给定了向量 ， 向量 可以表示成 ，可以表示成，但它们都不能单独用 ， 表示出来，也就是说，要表示平面内任
4、意一个向量，只选定一个向量是不能实现的baABCD新知探究问题5已知 的始点相同，你能分别将 写成向量的线性运算吗？abcdef新知探究平面向量基本定理：对于平面内两个向量 ， 不共线，和非零向量 ，将向量 ， 的始点平移到一起，假设，将向量 的始点也平移到O点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCEabcabcOABCDE新知探究因为 ， 不共线，所以 且又因为，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得 ；同理，存在唯一的y，使得 又由向量加法的平行四边形法则可知 ，从而 新知探究例2用 表示 e1e2abcdf解：由图不难看出， ， ， 新知探究平面向量
5、基本定理中，当 与 不共线时，“唯一的实数对”指的是 用 与 表示时，表达式唯一，即如果 ，那么xu且yv新知探究问题5对于上述表达，为什么xu且yv？这是因为由 可知 ，如果xu0，则 从而可知 与 共线，与已知矛盾，因此xu0即xu同理可得yv 新知探究特别地，当 与 不共线时，因为 ，所以对于 来说，当x0或y0时，必定有 0也就是说，当 与 不共线时， 0的充要条件是x与y中至少有一个不为0新知探究例3已知 与 不共线，而且 与 共线，求x的值因此由已知可得存在实数t，解：因为 与 不共线，所以0，使得 ，即从而解得新知探究例4如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线上给定
6、的两点，求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得 OlABP证明：先证必要性设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，实数t，使因此所以再证充分性则因此P、A、B三点共线，即P在直线l上从而如果 ，即新知探究例5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若，试用基底 ， 分别表示下列向量：（1） ； （2） 从而 ，于是OABCDEFab解：（1）由已知有 ，从而（2）因为DEFBEA，而且巩固练习练习1如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为（）解析：a2e1e2Ae1e2
7、 B2e1e2 C2e1e2 D2e1e2 e2e1aB巩固练习练习2若k1ak2b0，则k1k20，那么下面对a，b的判断正确的是（）解析：由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1k20，故选B BAa与b一定共线Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直Da与b中至少有一个为0归纳小结（2）共面向量基本定理的内容是什么？问题5（1）共线向量基本定理的内容是什么？（1）如果 且 ，则存在唯一的实数，使得 （2）如果平面内两个向量 ， 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对（x，y），使得 目标检测解析：因为6e18e22（3e14e2），所以（6e18e2）（3e14e2），测试
8、1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2 Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2 所以3e14e2和6e18e2不能作为基底B目标检测解析：由条件得2e13e2（e1e2）（e1e2），测试2向量a在基底e1，e2下可以表示为a2e13e2，若a在基底e1e2，e1e2下可表示为a(e1e2)(e1e2)，则_，_所以解得目标检测解：测试3如图所示，在OAB中， a， b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求 OBAMPNa b因为 与 共线，故可设 t a b又 与 共线，可设 s ，a sb，目标检测测试3如图所示，在OAB中， a， b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求 OBAMPN所以解得所以 a b敬请各位老师提出宝贵意见！
