1、向量基本定理教学设计 教学目标1理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题培养数学运算和逻辑推理素养2知道平面向量基本定理的含义和基底的含义，会用平面向量基本定理，用基底表示向量，提升数学运算及逻辑推理核心素养 教学重难点教学重点：理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题教学难点：会用平面向量基本定理，用基底表示向量 课前准备PPT课件 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容预设的答案：（1）本节主要研究
2、向量基本定理（2）本节的向量基本定理包括两个，即共线向量基本定理和共面向量基本定理这实际上是将一维的情况和二维的情况进行了展示，教材的呈现渗透了以低维研究高维的思想三维的情况（即空间向量基本定理）将在选择性必修的内容中出现向量基本定理是引入向量坐标的基础，因此这一内容务必要让学生掌握好因为学生在前面已经学习了向量的概念及其线性运算，因此知识的储备已经足够，这一小节的关键在于怎样理解“基本”这两个字设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知1、形成定义问题2：前面我们已经看到，当存在实数，使得时，那么，这个结论反过来是否成立呢？师生活动：要解
3、决上述问题，教师提出下面的例1来解决，并要求学生带着上述疑问进行例1的解答预设的答案：结论是成立的设计意图：提出问题，让学生思考，并由此引出解决此问题的例题引语：而本节要讲的内容即为向量基本定理（板书：向量基本定理）例1 如图所示，判断向量是否可以写成数与向量相乘如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由师生活动：观察图形，初步判断答案，教师给出与的关系，其余由学生自己得出预设的答案：一般地，对于因为与的方向相同，而且|2，所以2；因为与的方向相同，而且，所以，因为与的方向相反，而且，所以因为与不平行，所以不能写成数与向量相乘设计意图：为归纳和总结出共线向量基本定理提供素材例1的图中利用网格的
4、形式给出向量，使学生不但能清晰地看出所涉及向量的方向，还能快速地得到它们模之间的关系，这有利于培养学生的观察能力教师讲解：一般地，有如下共线向量基本定理：如果且，则存在唯一的实数，使得在共线向量基本定理中（1）时，通常称为能用表示（2）其中的“唯一”指的是，如果还有，则有这是因为：由可知，如果，则，与已知矛盾，所以即由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得对于共线向量基本定理的理解，在教学中要注意以下三点：（1）定理的前提：给定一个非零向量；（2）定理的结论：所有与非零向量平行的向量均可以表示成的形式，且表示方法唯一；（3
5、）定理的本质：构建了向量与实数之间的一一对应关系问题3：如果且，什么时候存在实数，使得？这样的有多少个？什么时候不存在这样的实数？师生活动：学生比较容易忽略的地方，估计学生出错率较高，教师根据学生情况作出解答预设的答案：可以看出，此时只有时才存在实数，使得，而且这样的可以是任意实数设计意图：旨在强调共线向量基本定理中的是一个非零向量，这是定理成立的前提条件问题4：共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来、那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？师生活动：教师借助图形向学生展示预设的答案：给定了向量，向量可以表示成，可以表示成，但
6、它们都不能单独用，表示出来也就是说，要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量是不能实现的设计意图：为后续平面向量基本定理的引入做准备，注重培养学生对数学内容的直观理解，从而培养学生的数学抽象和直观想象等素养问题5：已知的始点相同，你能分别将写成向量的线性运算吗？师生活动：学生自行完成解答预设的答案：设计意图：培养学生的概括、总结等能力还要注意提醒学生，其中使用了向量加法的平行四边形法则教师讲解：一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面内两个向量，不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对（x，y），使得上述实数对（x，y）可以用如下方式找到：如图624所示，将向量，的始点平移到一起，假
7、设将向量的始点也平移到O点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE因为，不共线，所以且又因为因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得；同理，存在唯一的y，使得又由向量加法的平行四边形法则可知，从而三、初步应用例2 用表示师生活动：引导学生表示向量，学生自己尝试解答问题预设的答案：由图不难看出，设计意图：通过实际例子让学生理解如何将平面内的一个向量表示成给定的两个不共线向量的线性运算，是想让学生对定理的“存在性”加深理解教师讲解：平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用与表示时，表达式唯一，即如果，那么xu且yv问题4：对于上述表达，为什么x
8、u且yv？师生活动：学生自己做出证明，教师指导证明预设的答案：这是因为由可知，如果，则从而可知与共线，与已知矛盾，因此xu0即xu同理可得yv设计意图：“唯一性”的证明有一定的难度，相对比较抽象，特别是证明的过程中还用到了反证法，且最后的矛盾与共线向量基本定理有关，但是仍然建议教师一定要讲这个内容，因为从共线到共面最后回到共线的思维过程，体现了从“低维推广到高维、高维问题转化为低维问题”的思想，这有助于加深学生对定理本质的认识，且有利于培养学生的逻辑推理能力教师讲解：特别地，当与不共线时，因为，所以对于来说，当x0或y0时，必定有也就是说，当与不共线时，的充要条件是x与y中至少有一个不为0平面
9、向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与不共线时，任意一个向量都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量），而且表达式唯一因此，平面内不共线的两个向量与组成的集合，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果，则称为在基底，下的分解式例3：已知与不共线，而且与共线，求x的值师生活动：学生根据学习，自己进行运算预设的答案：因为与不共线，所以，因此由已知可得存在实数t，使得即从而解得设计意图：利用向量相等求解等式，巩固所学的知识例4 如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线上给定的两点，求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得师生活动：学生充分思考，教师给出解答预设的
10、答案：证明：先证必要性设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使，因此，所以再证充分性，如果，则，从而，即，因此P、A、B三点共线，即P在直线l上设计意图：本题可作为重要结论，在证明过程中从充分性和必要性作出证明，学生需要理解例5 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F若试用基底分别表示下列向量：（1）；（2）师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答预设的答案：（1）由已知有，从而（2）因为，而且，从而，于是设计意图：对平面向量基本定理的应用巩固练习1如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e
11、1，e2表示为（ ）Ae1e2 B2e1e2C2e1e2 D2e1e22若k1ak2b0，则k1k20，那么下面对a，b的判断正确的是（ ）Aa与b一定共线 Ba与b一定不共线Ca与b一定垂直 Da与b中至少有一个为0师生活动：学生自己做，教师给出答案预设的答案：（1）B a2e1e2（2）B 由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1k20，故选B设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用四、归纳小结，布置作业问题5：（1）共线向量基本定理的内容是什么？（2）共面向量基本定理的内容是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充预设的答案：（1）如果且，则存在唯一的实数，使得（2）如
12、果平面内两个向量不共线，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对（x，y），使得设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解本节内容五、目标检测设计1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2设计意图：考查学生对基底的理解2向量a在基底e1，e2下可以表示为a2e13e2，若a在基底e1e2，e1e2下可表示为a（e1e2）（e1e2），则_，_设计意图：考查学生对基底及平面向量基本定理的理解与应用3如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求设计意图：考查学生对平面向量基本定理的应用参考答案：1B解析：因为6e18e22（3e14e2），所以（6e18e2）（3e14e2），所以3e14e2和6e18e2不能作为基底2 解析：由条件得2e13e2（e1e2）（e1e2），所以解得3解：（）ab因为与共线，故可设tab又与共线，可设s，ss（）（1s）asb，所以解得所以ab
