1、导数的概念及其意义变化变化率问题率问题微积分的创立 物体的运动 曲线的切线 函数的最大（小）值 长度、面积、体积和重心引言 牛顿（Isaac Newton，1643年 1727年），英国物理学家、数学家. 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家.引言 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t24.8t11如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h（单位：m）与
2、起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t24.8t11如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？问题1 我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度 近似描述他的运动状态答案高台跳水运动员的速度如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？追问1两段时间分别为0t0.5和1t2.平均速度分别是：答案高台跳水运动员的速度如何求运动员起跳后 t1 秒到 t2 秒这段时间的平均速度？追问2答案高台跳水运动员的速度计算运动员在 0t 这段时间的平均速度，你发现了什么？追问3答案高台跳水运动员的速度你认为用0t 这段时间的平均速度近似描
3、述运动员在这段时间内的运动状态有什么问题吗？ 追问4运动员的平均速度，只关注了这个时间段的整体情况，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态. 答案 如果需要研究清楚运动员在某时间段的运动状态，我们还需要了解运动员在每一个时刻的速度，也就是瞬时速度.高台跳水运动员的速度平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在 t1 s 时的瞬时速度吗？问题2答案如果不断缩短时间段的长度，那么平均速度 将越来越趋近于运动员在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0) .高台跳水运动员的速度瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在 t
4、1 s 时的瞬时速度吗？问题2答案 为了求运动员在 t1 时的瞬时速度，我们在 t1之后或之前，任意取一个时刻 1t，其中 t 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为 0. 高台跳水运动员的速度t0时，1，1tt0时，1t，1 当 t 趋近于 0 时，平均速度趋近于5.高台跳水运动员的速度给出更多 t 的值，利用信息技术工具计算更多的平均速度 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，平均速度 有什么变化趋势？追问1无论 t 的正负，只要无限趋近于 0，平均速度都无限趋近于5.答案EXCEL演示高台跳水运动员的速度你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？追问2计算是有限的，不能断定平均速
5、度是否永远具有这种特征，需要从更加理性的角度加以说明.答案高台跳水运动员的速度 因为h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间段1，1t（或 1t ，1）的平均速度为高台跳水运动员的速度 当 t 无限趋近于 0 时，4.9t 也无限趋近于0，所以 无限趋近于5. 我们把5叫做“当 t 无限趋近于 0 时，的极限”，记为高台跳水运动员的速度你能用上述方法，计算当 t2s 时的瞬时速度吗？追问3答案 因为 h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间段2，2t（或 2t ，2）的平均速度为所以高台跳水运动员的速度你能推导出任意时刻 t0 时瞬时速度的表达式吗？问题3答案 因为 h(t)4
6、.9t24.8t11，所以运动员在时间段 t0，t0t（或 t0t ，t0）的平均速度为所以高台跳水运动员的速度 通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近得到了瞬时速度. 瞬时速度是平均速度当时间间隔无限趋近于 0 时的极限. 无限逼近的极限思想，是微积分学的基础.总 结高台跳水运动员的速度 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切P0抛物线的切线的斜率问题4对于一般的曲线 C，如抛物线 f (x)x2，如何定义它在某一点，如 P0 (1，1) 处的切线呢？如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？例如，二次函数 f (x)x2 的图象和
7、直线 x1只有一个交点，但它们显然不相切.追问1yx2x1答案不一定. 抛物线的切线的斜率如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？追问2不一定. 例如，正弦函数 f (x)sinx 的图象和直线 y1相切，但它们显然不止一个交点.答案xyOf(x)sinx11y1抛物线的切线的斜率对于抛物线 f (x)x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？追问3几何画板演示xyOf (x)x2112234P0答案与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线 f (x)x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况.P抛
8、物线的切线的斜率对于抛物线 f (x)x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？追问3xyOf (x)x2112234P0PT当点 P 无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为抛物线 f (x)x2 在点 P0(1，1) 处的切线.定义：抛物线的切线的斜率如何求抛物线 f (x)x2 在点 P0(1，1) 处的切线 P0T 的斜率呢？切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近 取极限追问4分析：抛物线的切线的斜率记点 P 的横坐标 x1x，x 0，则点 P 的坐标为(1x，(1x)2). 于是，割线 P0P 的斜率答案xyO
9、f (x)x2112234P0PT抛物线的切线的斜率xyOf (x)x2112234P0PT 我们可以用割线 P0P 的斜率 k 近似地表示切线 P0T 的斜率 k0，并且通过不断缩短横坐标间隔 | x | 来提高近似表示的精确度. 割线 P0P 的斜率答案EXCEL演示抛物线的切线的斜率 当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于1时，割线 P0P 的斜率 k 都无限趋近于2.抛物线的切线的斜率 我们把 2 叫做“当 x 无限趋近于 0 时， 的极限”，记为抛物线的切线的斜率观察函数h(t)4.9t24.8t11的图象，平均速度的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？思考答案P0PT抛物线的切线的斜率回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 高台跳水运动员的速度(1) 平均速度：(2) 瞬时速度：(3) 极限的含义.问题6抛物线的切线斜率(1) 切线的定义；(2) 割线和切线的斜率；(3) 瞬时速度的几何意义.切线斜率割线斜率无限逼近 研究方法无限逼近的极限思想小结反思敬请各位老师提出宝贵意见！
