1、 网络课程 内部讲义 函数及其图像函数及其图像 教 师：崔莉 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 1 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 第第 2 讲讲 函数及其图象函数及其图象 第一部分第一部分 一次函数一次函数 【知识整理】【知识整理】 知识点知识点 1一次函数与正比例函数的概念一次函数与正比例函数的概念 重点：掌握一次函数与正比例函数的概念 难点：熟练判断一次函数与正比例函数 知识
2、点知识点 2一次函数的图象和性质一次函数的图象和性质 重点：掌握一次函数与正比例函数图像和性质 难点：运用一次函数与正比例函数图像和性质解决问题 知识点知识点 3一次函数与正比例函数的关系一次函数与正比例函数的关系来源来源:Z&xx&k.Com 重点：掌握一次函数与正比例函数的关系 难点：正确区分一次函数与正比例函数 知识点知识点 4待定系数法确定一次函数解析式待定系数法确定一次函数解析式 重点：待定系数法确定一次函数解析式 难点：确定一次函数解析式 知识点知识点 5用函数的观点看方程（组）与不等式用函数的观点看方程（组）与不等式 重点：理解一次函数与方程（组）与不等式的联系 难点：用函数观点
3、解决方程（组）与不等式 例近海处有一疑船只 B 正向公海方向行驶，我边防局接到情报后速派出快艇 A 追赶，图中 l1，l2分别表示 A 艇和 B 船相对于海岸的距离 y（海里）与追赶时间 x（min）之间的一次函数的关系，根据图像， （1）分别求出 l1，l2的函数关系式； （2）当 B 船逃到离海岸 12 海里的公海时，A 艇将无法对其进行检查，问 A 艇能否在 B 船逃入公海前将其拦截（A，B 速度均保持不变） www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 2 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有
4、 北京天地精华教育科技有限公司 【最新考题】最新考题】 中考要求及命题趋势中考要求及命题趋势 1一次函数的图像及性质一次函数的图像及性质 2确定关系式确定关系式 3一次函数与面积一次函数与面积 4一次函数方案问题一次函数方案问题 5一次函数图表信息一次函数图表信息 一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容.中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义， 根据已知条件确定一次函数的表达式； 会画一次函数的图象， 根据图象与表达式探索并理解其性质； 根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用一次函数解决实际问题. 利用一次函数解决实际问题，题型多样化
5、，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力 例 1 （广西钦州）一次函数的图象过点（0，2） ，且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式： 例2 已知直线111:lyk xb=+经过点 （1，6） 和 （1，2） ， 它和x轴、y轴分别交于B和A； 直线222:lyk xb=+经过点（2，4）和（0，3） ，它和x轴、y轴的交点分别是D和C。 （1）求直线1l和2l的解析式； （2）求四边形ABCD的面积； （3）设直线1l与2l交于点P，求PBC的面积。 例3 （衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步
6、行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h） ，两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2 (km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系 （1）甲、乙两地之间的距离为_km，乙、丙两地之间的距离为_km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 2468S(km) 2 0 t(h) A B www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 3 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650
7、-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 xo yBDACy=kx+by=k1x+b1A C O B x y O x y A B 1 yx= 2 【过关测试】【过关测试】 一、选择题一、选择题 1若一次函数ykxb=+的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那（ ） A0k ，0b B0k ，0b C0k D0k ，0b 2如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数yx= 的图象交于点B， 则该一次函数的表达式为（ ） A2yx= + B2yx=+ C2yx= D2yx= 3.一次函数1ykxb=+与2yxa=+的图象如图，则下列结论 0k；当
8、3x时，12yy） 图 象 上 的 两 点 ， 若120 xy，则有（ ） A120yy B210yy C120yy D210yy 2矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ） 知识点知识点 2反比例函数的图象及性质反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 知识点知识点 3反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定 重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 知识点知识点 4用反比例函数解决实际问题用反比例函数解决实际问题 知识知识点点 5反比例函数综合反比例函数综合 www.J“在线名师”
9、 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 5 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 例1如下左图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为（203，5） ，D是AB边上的一点，将ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_ 例2 两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图像如上右图所示， 点P在y=kx的图像上，PCx 轴于点C，交y=1x的图像于点A，PDy轴于点D，交y=1x的图像于点B，当点
10、P在y=kx的图像 上运动时，以下结论： ODB与OCA的面积相等； 四边形PAOB的面积不会发生变化； PA与PB始终相等； 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分） 【最新考题】【最新考题】 中考要求及命题趋势中考要求及命题趋势 1反比例函数的基本题反比例函数的基本题 2反比例函数的图象反比例函数的图象 3反比例函数图象的面积与反比例函数图象的面积与 k 问题问题 4利用图象，比较大小利用图象，比较大小 5反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系 综观近几年年
11、全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。” 例1 （浙江台州）反比例函数6yx= 图象上一个点的坐标是 。 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 6 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday）
12、 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 例2 （湖北省十堰市）根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pvk(k为常数，k0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（ ） 例3已知反比例函数(0)kykx=的图像上有两点A（11,x y） ，B（22,xy） ，且12xx，则12yy的值是（ ） A正数 B负数 C非正数 D不能确定 例4 （08山东潍坊）设P是函数4Px=在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P，过P作PA平行于y轴，过P作P A平行于x轴，PA与P A交于A点，则PAP
13、的面积（ ）来源:学科网ZXXK A等于2 B等于4 C等于8 D随P点的变化而变化 例5 （08泰安市） 已知三点111( ,)P x y，222(,)P xy，3(1, 2)P都在反比例函数kyx=的图象上， 若10 x，则下列式子正确的是（ ） A120yy B120yy D120yy 例6 （扬州）如图，二次函数21(1)44myxxm=+（m 4）的图象与x轴相交于点A、B两点 （1）求点A、B的坐标（可用含字母m的代数式表示） ； （2）如果这个二次函数的图象与反比例函数9yx=的图象相交于点C，且BAC的余弦值为45，求这个二次函数的解析式 pvOpv OpvOpvOAB CDD
14、O A C x y B www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 7 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 【过关测试】【过关测试】 一、选择题一、选择题 1若反比例函数22) 12(=mxmy的图像在第二、四象限，则m的值是（ ） A1或1 B小于21的任意实数 C1 D不能确定 2在同一直角坐标平面内，如果直线xky1=与双曲线xky2=没有交点，那么1k和2k的关系一定是 （ ）来源:Zxxk.Com A1k0 B1k0，2k时，y的取值范围是_y_；当2x 时
15、且0 x 时，y的取值范围是y _1，或y _。 三、解答题三、解答题 1如图，一次函数ykxb=+的图象与反比例函数myx=的图象相交于A、B两点 （1）根据图象，分别写出A、B的坐标； （2）求出两函数解析式； （3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 2如图，已知点A（4，m） ，B（1，n）在反比例函数8yx=的图象上，直线AB与x轴交于点C， （1）求n值 （2）如果点D在x轴上，且DADC，求点D的坐标. CBO4-1Ayx www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 8 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-77
16、66（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 第三部分第三部分 二次函数二次函数 一、数学知识及要求层次数学知识及要求层次 1、 二次函数的意义 了解 2、 二次函数表达式 掌握 3、 二次函数图象及其性质 灵活应用 4、 根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴 灵活应用 二次函数 5、用二次函数及其图象解决简单的实际问题 灵活应用 二次函数与一元二次方程 6、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解 灵活应用 二、近年二次函数考题及分值分布情况二、近年二次函数考题及分值分布情况 知识模块 考察知识点 分值 题型 命题预计 二次函数表达式、顶点坐标、开
17、口方向、最值、对成型等 2-3分选择、填空 二次函数 图像与 性质 二次函数图像的平移、二次函数、二次方程、不等式等综合运用 5-8分解答题继续考察二次函数的图形与基本性质、 利用待定系数法求解二次函数解析式； 可能会更注重二次函数与方程、不等式、 图形的相似、 圆等知识点的综合考查 二 次 函 数的应用 二次函数解决简单实际问题、 二次函数与几何、三角函数的综合应用 10分 解答题可能仍重视对二次函数的建模应用、 二次函数中的动态问题与存在性问题探索性研究 纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点： 1综合性强，初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起
18、来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。 2分值较重，而且二次函数的分值逐年加大。 3覆盖面广。二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。 【知识整理】【知识整理】 知识点知识点 1二次函数的解析式三种形式二次函数的解析式三种形式 一般式 y=ax2 +bx+c(a 0) 顶点式 2()ya xhk=+ 224()24bacbya xaa=+ 交点式 12()()ya xxxx= 知识点知识点 2二次函数图像与性质及画法二次函数图像与性质及画法 勾画草图关键点：开口方向 对称轴 顶点 与x轴交点 与y轴交点 图像平移步骤图像平移步骤 （1）配方2()ya xhk=+，
19、确定顶点（h，k） www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 9 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 （2）对x轴 左加右减；对y轴上加下减 二次函数的对称性二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1，x2其对应的纵坐标相等那么对称轴122xxx+= 根据图像判断根据图像判断 a、b、c 的符号的符号 （1）a 开口方向 （2）b 对称轴与a 左同右异 （3）c 抛物线与y轴交点的纵坐标 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程
20、的关系 知识点知识点 3二次函数的应用二次函数的应用 如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等 【典型例题】【典型例题】 题型题型 1二次函数的概念二次函数的概念 例1 （基础）二次函数2365yxx= +的图像的顶点坐标是（ ） A （1，8） B.（1，8） C（1，2） D（1，4） 例2 （拓展，武汉市中考题12）下列命题中正确的是_ 若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。 当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一
21、定过y轴上一定点。 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。 若抛物线y=ax2+bx+c（a 0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 若抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。 若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a 0）必过一定点。 若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。 若一元二次方程
22、ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。 若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。 题型题型 2二次函数的性质二次函数的性质 例3若二次函数24yaxbx=+的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0） ， （2，0） ，知此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx= =时，对应的y1与y2的大小关系是（ ） Ay1 y2 D不确定 题型题型 3二次函数的图像二次函数的图像 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 10 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-65
23、0-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 题型题型 4二次函数图像性质（共存问题、符号问题）二次函数图像性质（共存问题、符号问题） 例4 （湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a 0）的图象可能是（ ） 例5已知二次函数yax2+bx+c的图象如图则下列5个代数式： ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 题型题型 5二次函数的平移二次函数的平移 题型题型 6二次函数应用销售利润类问题二次函数应用销售利润类问题 例6某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每
24、星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元） ，那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍） ，每周销售量为y件。 （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 （2）如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？ 题型题型 7二次函数与几何图形综合二次函数与几何图形综合(面积、动点面积、动点) 例7已知二次函数2yaxbxc=+（0a）的图象经过点A（1，0） ，B（2，0） ，C（0，2） ，直线xm=（2m ）与x轴交于点D （1）求二次函数的解析式； （2）在直线xm=（2m ）上有一点E（点E在第四象限） ，
25、使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在， 请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由 A B C D 1111xo yyo xyo xxo yyx O www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 11 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 【过关测试】【过关测试】 一、选择题一、选择题 1 （上海市）抛物线
26、22()yxmn=+（m、n是常数）的顶点坐标是（ ） A （m，n） B （m，n） C （m，n） D （m，n） 2已知二次函数2yaxbxc=+（0a ）的图象如图所示，则下列结论： 0ac ；方程20axbxc+=的两根之和大于0； y 随x的增大而增大；0abc+时，y随x的增大而减小；当自变量的值为2时，函数值小于2 2 （包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 3 （兰州）二次函数223yx=的图象如图12所示，点0A位于坐标原点，点1A，2A，3A，2008A在y轴的正半轴上，点1B，2B，
27、3B，2008B在二次函数223yx=位于第一象限的图象上，若011A B A，122AB A，233A B A，200720082008ABA都为等边三角形，则200720082008ABA的边长_ yxOy xO BC y x O AyxOD1 1 O x y x y O 1 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 12 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 三、解答题三、解答题 1 （仙桃）如图，已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2） ，AB4 （1）求抛物线的解析式； （2）若SAPO32，求矩形ABCD的面积
