1、解直角三角形中考要求内容基本要求略高要求较高要求解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题例题精讲板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： 三边之间的关系： (勾股定理)； 锐角之间的关系：； 边角之间的关系：，.三、 解直角三角形的四种基本类型 已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则，； 已知
2、斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，； 已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，； 已知两直角边(如和)，求出，由，得.具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在中，故，.利用这些关系式，可在
3、解题时进行等量代换，以方便解题（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：作垂线构成直角三角形；利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形中，则的长度为（ ）A B C D【例2】 已知中，根据下列条件解直角三角形：，；【例3】 已知中，根据下列条件解直角三角形：，；【例4】 已知中，根据下列条件解直角三角
4、形：，.【例5】 如图，在中，已知，如果求的长度【例6】 如图，在中，已知，如果，求的长度【例7】 如图所示，在中，是边上的一点，且，求和的值【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球，是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度（精确到0.1米，=1.732） 【例9】 在中，若，求的值.【例10】 在中，若，求的值.【例11】 在三角形中，分别是的对边，已知，求【例12】 如图，在中，已知，求中各内角的度数【例13】 如图，已知：是等腰直角三角形，过的中点作，垂足为，连接，求的值.【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为45
5、，从地面点测得的仰角为60已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）【例15】 如图，两条宽都为的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）【例16】 已知：如图，中，是上一点，求的度数及的长 板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡如图 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的
6、位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）度.如图2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义； 找出要求解的直角三角形有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面
7、下米点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行米后再次在点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米）【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【例19】 某旅游区有一个
8、景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处在同一平面内，若测得斜坡的长为米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为1 求的度数；2 求索道的长（结果保留根号）ACDEFB ACDEFBG【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角求的度数；求这棵大树折断前的高度（结果精确到个位，参考数据：）C6038BDE23AF【例21】 一次数学活动中，小迪利用自
9、己制作的测角器测量小山的高度已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在处测量时，测角器中的(量角器零度线和铅垂线的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点处(点在同一直线上)，这时测角器中的，那么小山的高度约为()68米70米121米123米(注：数据，供计算时选用)【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角为，设台阶的起点为，斜坡的起点为，求的长度（精确到）【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A处用测角仪(离地高度米)测得旗杆顶端的仰角为，朝旗杆方向前进23米到处，再次测得旗杆顶端的仰角为，
10、求旗杆的高度.【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点 ，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度(参考数值：，)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度(见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用，表示，角用，表示，测倾器高度忽略不计)； 根据你所
11、测量的数据，计算凉亭到湖面的高度(用字母表示)【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲乙两人分别在相距8米的、两处测得点和点的仰角分别为和，且、三点在一条直线上，若米，求这块广告牌的高度(取，计算结果保留整数)【例27】 由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，求山高. 【例28】 如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，沿着坡度为的斜坡前进400米到处(即)，测得的仰角为，求山的高度.【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从点看点，仰角为；从点看点，俯角为，解决下列问题：1 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)
12、若冬日上午太阳光的入射角最低为(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：)【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方处准备盖一幢高的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到）【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点到点悬挂
13、了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼点测得条幅端点的仰角为，测得条幅端点的俯角为；小雯在三楼C点测得条幅端点的仰角为，测得条幅端点的俯角为若设楼层高度为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅的长(结果精确到个位，参考数据) 【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的两层，甲在层测得电视塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，乙在层测得塔顶的仰角为，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知之间的高度差为，求电视塔高（用含的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽，使坡度由原来的
14、变成，如图所示，已知原来背水坡长，堤长，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据1.7，2.7)【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角为55，外口宽为180 mm，燕尾槽的深度为70 mm，求它的里口宽（精确到1 mm）【例36】 创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点请你帮助小王在下图中把图形补画完整；由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值【例37】 一座建于若干年
15、前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下： 将背水坡的坡度由改为； 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 . 求整修后背水坡面的面积； 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【例38】 城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图所示，已知距电线杆水平距离14m的处有一大坝，背水坡的坡度为2，坝高为2m，在坝顶处测得杆顶的仰角为，、之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地
16、面上，以点为圆心.以的长为半径的圆形区域为危险区域) 【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为，从乙的顶部测得甲的顶部的仰角为，测得甲的底部的俯角为，求两建筑物的高. 【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角，一般情况下，倾角愈小，楼梯的安全程度愈高如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由减至，这样楼梯占用地板的长度由增加到，已知，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m 参考数据：tan36=0.7256， tan40=0.8391） 【例41】 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到
17、达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由减至，已知原台阶的长为米(所在地面为水平面)1 改善后的台阶会加长多少？(精确到米)2 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到米) 【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？ （三）、方位角【例43】 如图，是某市环城路的一段，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是经测量花卉世界位于点的北偏东45方向、点的北偏东30方向上，
18、（1）求之间的距离； （2）求之间的距离 【例44】 如图所示，某轮船以30海里时的速度航行，在点处测得海面上的哨所在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得哨所在南偏东，轮船改变为北偏东的航向再航行2小时到达点，若在上存在一点，点在点的南偏东处，且在点的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从点到点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中的长（精确到）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航
19、行，在点测得某岛在北偏东60方向上，航行半小时后到点，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（1）试说明点是否在暗礁区域外（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由 【例47】 如图，公路和公路在处交会，且，点处有一所学校，假设拖拉机行使时，周围以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路上沿的方向以的速度行使时， 学校是否会受到噪音的影响？为什么？ 若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？ 【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令，(，)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离. 填
20、空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，现要使其移动到点，则给机器人发出的指令应是_ 机器人在完成上述指令后，发现，处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：，) 【例49】 第问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为 .【例50】 如图，在某海域内有三个港口、港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上一艘船以每小时海里的速度沿北偏东的
21、方向驶离港口小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每分钟吨的速度渗入船内当船舱渗入的海水总量超过吨时，船将沉入海中同时在处测得港口在处的南偏东方向上若船上的抽水机每小时可将吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向【例51】 渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以海里/时的速度向正东航行，半小时到处.在处看见灯塔在北偏东方向，求此时灯塔与渔船的距离. 【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于处，在其正南方向15海里处一小岛，在的正东方向20海里处有一小岛，
22、小岛位于上，且距小岛有10海里. 求的度数(精确到)和点到的距离； 摄制组甲从处乘甲船出发，沿的方向匀速航行，摄制组乙从处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在、间的处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)【例53】 海面上处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方时，在驶向正西方的目的地处，且海里，在中点处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为
23、保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距的两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至处，在观测站测得在北偏东，同时在观测站测得在北偏西，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：）【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市的正南方向220的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20，风力就减弱一级，该台风中心现在以的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风
24、力达到四级，则称受台风影响. 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由. 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形的草地，测得米，请你求出这块草地的面积【例57】 如图，不透明圆锥体放在水平面上，在处灯光照射下形成影子，设过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为，求的度数；若，求光源距水平面的高度【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为，如果拖把的总长为m，则小明拓宽了行路通道_m(结果保留三个有效数字，参考数
25、据：，)【例59】 如图，一架长4米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面的倾斜角为 求与的长； 若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行. 如图2，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，试计算梯子顶端沿下滑多少米； 如图，当点下滑到点，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点若，试求的长【例60】 如图、图，是一款家用的垃圾桶，踏板（与地面平行）或绕定点（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持）通过向下踩踏点到（与地面接触点）使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角如图，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线垂直
26、，垂足为点，设测得要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少？（结果保留两位有效数字）（图1）【例61】 如图，在中，的垂直平分线交于点，连结，若， 求的值【例62】 如图所示，已知在中，是上一点，垂足为，.求： 的长； 的长.【例63】 如图，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由(参考数据：，) 【例64】 如图，水坝的横截面为梯形，坝顶宽，坡面，的坡度为，求水坝的横截面积【例65】
27、 水坝的横截面是等腰梯形，坝顶宽，坝高，斜坡的坡度为，现要将水坝加高，要求坝顶宽度不变，背水坡改为后，坡度改为，如图，按这样的要求，加固一条长为的水坝，需要多少土方？【例66】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以每小时的速度沿东北方向前进，甲船航行到达处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东的方向追赶，结果两船在处相遇. 甲船从处追上乙船用了多长时间？ 甲船追赶乙船的速度是多少？【例67】 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度、高度都可以直接测得，从三点都可看到塔顶试根据现有条件，
28、充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度的方案，具体要求如下：可供使用的测量工具有皮尺、测角器；测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测间距离，用表示，间距离，用表示；如果测角，用表示）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度（用字母表示，测角器高度忽略不计）【例68】 如图，某电信部门计划架设一条连结两地的电缆，测量人员在山脚地测得两地在同一方向，且两地的仰角分别为，在地测得地的仰角为，已知地比地高米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的倍，求电缆的长（精确到米）14.3.1解直角三角形 题库版教师版 page 22 of 22
