1、 2018 年高考数学试题分类汇编 第 1 页 （共 17 页） 20201 18 8 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （1212 圆锥曲线与方程）圆锥曲线与方程） 一、选择题一、选择题 1（2018 浙江）浙江）双曲线221 3=xy的焦点坐标是（ ） A(2，0)，(2，0) B(2，0)，(2，0) C(0，2)，(0，2) D(0，2)，(0，2) 1.答案：B 解答：23 14c ，双曲线2213xy的焦点坐标是( 2,0)，(2,0). 2. （2018 上海）上海）设 P 是椭圆 5x+ 3y=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个
2、焦点的距离之和为（ ） （A）2 （B）2 （C）2 （D）4 3 （2018 天津文天津文、理、理）已知双曲线22221(0,0)xyabab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点.设,A B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126,dd 则双曲线的方程为（ ） （A）22139xy （B）22193xy（C）221412xy （D）221124xy 3 【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为,0F c，0c ，则ABxxc， 由22221cyab可得2bya ， 不妨设2,bA ca，2,bB ca，双曲线的一条渐近线方程为0bxay， 据此
3、可得22122bcbbcbdcab，22222bcbbcbdcab， 则12226bcddbc，则3b ，29b ， 双曲线的离心率：2229112cbeaaa， 据此可得23a ，则双曲线的方程为22139xy故选 A 2018 年高考数学试题分类汇编 第 2 页 （共 17 页） 4 （2018 全国新课标全国新课标文）文） 已知椭圆C：22214xya的一个焦点为(2 0)， 则C的离心率为 （ ） A13 B12 C22 D2 23 4、答案：C 解答：知2c ，2228abc，2 2a ，离心率22e . 5（2018 全国新课标全国新课标理）理）已知双曲线 C：2213xy，O 为
4、坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A32 B3 C2 3 D4 5. 答案：B 解答：渐近线方程为：2203xy，即33yx ，OMN为直角三角形，假设2ONM，如图，3NMk，直线MN方程为3(2)yx.联立333(2)yxyx 33( ,)22N，即3ON ，3MON，3MN ， 故选 B. 6（2018 全国新课标全国新课标理）理）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为23的直线与 C交于 M，N 两点，则FM FN=（ ） A5 B6 C7 D8 6. 答案：D 解答
5、：由题意知直线MN的方程为2(2)3yx，设1122( ,),(,)M x yN x y，与抛物线方程联立有22(2)34yxyx，可得1112xy或2244xy， (0,2),(3,4)FMFN，0 32 48FM FN . 2018 年高考数学试题分类汇编 第 3 页 （共 17 页） 7（2018 全国新课标全国新课标文）文）已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PF F，则C的离心率为（ ） A312 B23 C312 D31 7 【答案】D 【解析】在12FPF中，1290FPF，2 160PF F，设2PFm，则1222cFFm，13PFm，
6、又由椭圆定义可知12231aPFPFm则离心率2231231ccmeaam，故选 D 8.(2018 全国新课标全国新课标文文、 理、 理） 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3， 则其渐近线方程为 （ ） A2yx B3yx C22yx D32yx 8 【答案】A 【解析】3cea，22222213 12bcaeaa ，2ba，因为渐近线方程为byxa ，所以渐近线方程为2yx ，故选 A 9（2018 全国新课标全国新课标理）理）已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PFF为等腰三角形，12120
7、FF P，则C的离心率为（ ） A.23 B12 C13 D14 9 【答案】D 【解析】因为12PFF为等腰三角形，12120FF P，所以2122PFFFc， 由AP斜率为36得，23tan6PAF，21sin13PAF，212cos13PAF， 由正弦定理得2222sinsinPFPAFAFAPF，211221313531211sin3221313cacPAF， 4ac ，14e ，故选 D 10 （2018 全国新课标全国新课标文）文）已知双曲线22221(00)xyCabab：，的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为（ ） A2 B2 C3 22 D2 2 10答案：D 解
8、答：由题意2cea，则1ba，故渐近线方程为0 xy，则点(4,0)到渐近线的距离为|40|2 22d.故选 D. 2018 年高考数学试题分类汇编 第 4 页 （共 17 页） 11（2018 全国新课标全国新课标理）理）设12FF，是双曲线22221xyCab：（00ab，）的左，右焦点，O是坐标原点过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若16PFOP，则C的离心率为（ ） A5 B2 C3 D2 11答案：C 解答：2|PFb，2|OFc， |POa； 又因为1|6 |PFOP，所以1|6PFa； 在2Rt POF中，22|cos|PFbOFc； 在12Rt PFF中，222212121
9、2|cos2 | |PFFFPFbPFFFc， 222222222224( 6 )464463322bcabbcabcacabcc 223ca3e. 二、填空二、填空 1（2018 北京文）北京文）已知直线l过点1,0且垂直于x轴，若l被抛物线24yax截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 1【答案】1,0 【解析】1a ，24yx，由抛物线方程可得，24p ，2p ，12p， 焦点坐标为1,0 2（2018 北京文）北京文）若双曲线222104xyaa的离心率为52，则a _ 2【答案】4 【解析】在双曲线中，2224caba，且52cea， 2452aa，22454aa，216a，0
10、4aa 3 （2018 北京理）北京理）已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 3 【答案】31；2 2018 年高考数学试题分类汇编 第 5 页 （共 17 页） 【解析】 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc， 再根据椭圆定义得32cca，所以椭圆M的离心率为23113ca 双曲线N的渐近线方程为nyxm ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为3，222tan33nm，222222234mnmmem
11、m，2e 4. （2018 上海）上海）双曲线2214xy的渐近线方程为 。 5（2018 江苏）江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点( ,0)F c到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是 5 【答案】2 【解析】因为双曲线的焦点,0F c到渐近线byxa 即0bxay的距离为 220bcbcbcab，所以32bc， 因此2222223144acbccc，12ac，2e 6（2018 浙江）浙江） 已知点 P(0， 1)， 椭圆24x+y2=m(m1)上两点 A， B 满足AP=2PB， 则当 m=_时，点 B 横坐标的绝对值最大 6.答案：5
12、 解答： 方法一：设11( ,)A x y，22(,)B xy， 当直线斜率不存在时，9m，20 x . 2018 年高考数学试题分类汇编 第 6 页 （共 17 页） 当直线斜率存在时，设AB为1ykx.联立2241xymykx得22(41)8440kxkxm ，20410mkm ，122841kxxk ， 1224441mx xk. 2APPB，122xx ，解得121641kxk，22841kxk. 228821414kxkkk（当且仅当12k 时取“” ）. 1222168841 41kkx xkk ，122442241mx xmk，得5m， 当5m时，点B横坐标最大. 方法二：设11
13、( ,)A x y，22(,)B xy，则11(,1)APxy ，22(,1)PBxy， 2APPB，1212232xxyy ， 22222222( 2)(32)(1)4(2)4xymxym ，由(1)(2)得234my.(3) 将(3)代入(2)，得222(5)164mx，22(5)162mx， 当5m时，2x取最大值. 7（2018 全国新课标全国新课标理）理）已知点1 1M ，和抛物线24C yx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB ，则k _ 7答案：2 解答： 依题意得， 抛物线C的焦点为(1,0)F， 故可设直线:(1)AB yk x， 联立2(1),4 ,
14、yk xyx消去y得2222(24)0k xkxk，设11( ,)A x y，22(,)B xy，则212224kxxk，121x x ，12124() 2yyk xxkk，2121 212() 14y ykx xxx .又11(1,1)MAxy，22(1,1)MBxy，1212(1)(1)(1)(1)MA MBxxyy 1 2121212() 1() 1x xxxy yyy 2224411 410kkk ， 2k . 2018 年高考数学试题分类汇编 第 7 页 （共 17 页） 三、解答题三、解答题 1（2018 北京文）北京文）已知椭圆2222:10 xyMabab的离心率为63，焦距为
15、2 2斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B （1）求椭圆M的方程； （2）若1k ，求|AB的最大值； （3） 设20P ,， 直线PA与椭圆M的另一个交点为C， 直线PB与椭圆M的另一个交点为D 若C，D和点7 14 2Q,共线，求k 1【答案】（1）2213xy；（2）6；（3）1 【解析】（1）由题意得22 2c ，所以2c ， 又63cea，所以3a ，所以2221bac， 所以椭圆M的标准方程为2213xy （2）设直线AB的方程为yxm， 由2213yxmxy消去y可得2246330 xmxm， 则2223644 3348 120mmm ，即24m ， 设11A x y,
16、，22B xy,，则1232mxx ，212334mx x， 则2222121212641142mABkxxkxxx x， 易得当20m 时，max|6AB，故AB的最大值为6 （3）设11A x y,，22B xy,，33C xy,，44D xy,， 则221133xy ，222233xy ， 又20P ,，所以可设1112PAykkx，直线PA的方程为12ykx， 由122213ykxxy消去y可得222211113121230kxk xk， 则2113211213kxxk ，即2131211213kxxk ， 又1112ykx，代入式可得13171247xxx，所以13147yyx， 所
17、以11117124747xyCxx,，同理可得22227124747xyDxx, 故3371,44QCxy，447144QDxy,， 因为Q，C，D三点共线，所以3443717104444xyxy， 将点C，D的坐标代入化简可得12121yyxx，即1k 2018 年高考数学试题分类汇编 第 8 页 （共 17 页） 2.（2018 北京理）北京理）已知抛物线 C：2y=2px 经过点P（1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （）求直线 l 的斜率的取值范围； （）设 O 为原点，QMQO，
18、QNQO，求证：11为定值 2 【答案】 （1）取值范围是, 33,00,1 ； （2）证明过程见解析 【解析】 （1）因为抛物线22ypx经过点1,2P， 所以42p，解得2p ，所以抛物线的方程为24yx 由题意可知直线l的斜率存在且不为 0， 设直线l的方程为10ykxk 由24 1yxykx得222410k xkx 依题意2224410kk ，解得0k 或01k 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点1, 2，从而3k ， 所以直线l斜率的取值范围是, 33,00,1 （2）设11,A x y，22,B xy 由（1）知12224kxxk ，1221x xk，直线PA的方程为112 2
19、11yyxx 令0 x ，得点M的纵坐标为1111212211Mykxyxx 同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx 由=QMQO，=QNQO得=1My，1Ny 221212121212222421111111121111111MNkx xxxxxkkyykxkxkx xkk， 所以11为定值 3. （2018 上海）上海） 设常数 t2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（2，0） ，直线 l：x=t，曲线曲线： 8yx00 xty（ ， ），l 与 x 轴交于点 A，与交于点 B，P、Q 分别是曲线与线段 AB 上的动点。 （1） 用 t 为表示点 B 到点 F 的距离； （2）设
20、 t=3，2FQ ，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求AQP 的面积； （3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在上？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 2018 年高考数学试题分类汇编 第 9 页 （共 17 页） 4（2018 江苏）江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C 过点1( 3, )2，焦点12(3,0),( 3,0)FF，圆 O 的直径为12FF （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C
21、 交于,A B两点若OAB的面积为2 67， 求直线 l 的方程 4 【答案】 （1）椭圆C的方程为2214xy；圆O的方程为223xy； （2）点P的坐标为2,1；直线l的方程为53 2yx 【解析】 （1）因为椭圆C的焦点为13,0F ，23,0F， 可设椭圆C的方程为222210 xyabab又点13,2在椭圆C上， 所以222231143abab，解得2241ab，因此，椭圆C的方程为2214xy 因为圆O的直径为12FF，所以其方程为223xy （2）设直线l与圆O相切于00000,0P x yxy，则22003xy， 所以直线l的方程为0000 xyxxyy ，即0003xyxyy
22、 2018 年高考数学试题分类汇编 第 10 页 （共 17 页） 由22000143xyxyxyy ，消去y，得222200004243640 xyxx xy （*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以222222000000244 43644820 xxyyyx 因为0 x，00y ，所以02x ，01y 因此，点P的坐标为2,1 因为三角形OAB的面积为2 67，所以12 627AB OP，从而4 27AB 设11,A x y，22,B xy，由（*）得220001 22200244822 4xyxxxy， 所以2222200201212222200048214yxxABxxy
23、yyxy 因为22003xy， 所以20222016232491xABx，即42002451000 xx， 解得2052x（2020 x舍去） ，则2012y，因此P的坐标为102,22 综上，直线l的方程为53 2yx 5 （2018 浙江）浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 PMBAOyx （）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （）若 P 是半椭圆 x2+24y=1(xb0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为53，点 A 的坐标为( ,0)b，且
24、6 2FBAB. （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点) ，求 k 的值. 7 【答案】 （1）22194xy； （2）12或1128 【解析】 （1）设椭圆的焦距为2c，由已知有2259ca， 又由222abc，可得23ab由已知可得，FBa，2ABb， 由6 2FBAB，可得6ab ，从而3a ，2b 所以，椭圆的方程为22194xy （2）设点P的坐标为11,x y，点Q的坐标为22,xy 由已知有120yy，故12sinPQAOQyy 又因为2sinyAQO
25、AB，而4OAB，故22AQy 由5 2sin4AQAOQPQ，可得1259yy 由方程组22194ykxxy消去x，可得12694kyk 易知直线AB的方程为 20 xy， 由方程组20ykxxy消去x，可得221kyk 2018 年高考数学试题分类汇编 第 13 页 （共 17 页） 由1259yy，可得2513 94kk， 两边平方，整理得25650110kk， 解得12k ，或1128k 所以，k的值为12或1128 8（2018 全国新课标全国新课标文）文）设抛物线22Cyx：，点20A，20B ，过点A的直线l与C交于M，N两点 （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证
26、明：ABMABN 8.答案： （1）220yx或220yx； （2）见解析 解答： （1）当l与x轴垂直时，l的方程为2x ，代入22yx，(2, 2),(2,2)MN或(2,2),(2, 2)MN，BM的方程为：220,yx或220yx. （2）设MN的方程为2xmy，设1122( ,),(,)M x yN xy，联立方程222xmyyx，得2240ymy，12122 ,4yym y y ，11222,2xmyxmy， 121212122244BMBNyyyykkxxmymy 12121224()0(4)(4)my yyymymy， BMBNkk ，ABMABN. 9 （2018 全国新课标
27、全国新课标理）理）设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 9.答案： （1）2(2)2yx ； （2）略. 解答： （1）如图所示，将1x 代入椭圆方程得2112y，得22y ，2(1,)2A，22AMk ，直线AM的方程为：2(2)2yx . 2018 年高考数学试题分类汇编 第 14 页 （共 17 页） （2）证明：当l斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当l斜率存在时，设其方程为(1)yk x，1122( ,), (,)A x yB xy，联
28、立椭圆方程有22(1),12yk xxy即2222(21)4220kxk xk，2122421kxxk，21222221kx xk，1212121212(23()422(2)(2)AMBMyykx xxxkkxxxx2222124412(4)21210(2)(2)kkkkkxx，AMBMkk ，OMAOMB. 10 （2018 全国新课标全国新课标文文、理、理）设抛物线24C yx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程 （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 10 【答案】 （1）1yx； （2）223216xy或22116144x
29、y 【解析】 （1）由题意得1,0F，l的方程为1yk x，0k 设11,A x y，22,B xy由214yk xyx得2222240k xkxk 216160k ，故212224kxxk 所以 21224411kABAFBFxxk 由题设知22448kk，解得1k （舍去） ，1k 因此l的方程为1yx （2）由（1）得AB的中点坐标为3,2，所以AB的垂直平分线方程为 23yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00,xy，则 0022000511162yxyxx ，解得0032xy或00116xy ， 因此所求圆的方程为223216xy或22116144xy 11 （2018 全国新课标
30、全国新课标文）文） 已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点 线段AB 2018 年高考数学试题分类汇编 第 15 页 （共 17 页） 的中点为(1,)(0)Mm m （1）证明：12k ； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0证明：2| |FPFAFB 11.答案：见解答： 解答： （1）设直线l方程为ykxt，设11( ,)A x y,22(,)B xy, 22143ykxtxy联立消y得222(43)84120kxktxt， 则2 222644(412)(34)0k ttk ， 得2243kt， 且1228234ktxxk，121226()2234t
31、yyk xxtmk， 0m， 0t 且0k . 且2344ktk. 由得2222(34)4316kkk， 12k 或12k . 0k ， 12k . （2）0FPFAFB，20FPFM, (1,)Mm，(1,0)F，P的坐标为(1, 2 )m. 由于P在椭圆上， 214143m，34m ，3(1,)2P， 又2211143xy，2222143xy， 两式相减可得1212121234yyxxxxyy ， 又122xx，1232yy，1k ， 直线l方程为3(1)4yx ， 即74yx ， 2274143yxxy ， 消去y得2285610 xx ，1,2143 2114x， 22221122|(
32、1)(1)3FAFBxyxy， 2018 年高考数学试题分类汇编 第 16 页 （共 17 页） 2233|(1 1)(0)22FP , | 2|FAFBFP. 12（2018 全国新课标全国新课标理）理）知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm， （1）证明：12k ； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差 12答案：见解答： 解答： （1）设直线l方程为ykxt，设11( ,)A x y,22(,)B xy, 22143ykxtxy联立消y得222(43)84120kxktxt，
33、 则2 222644(412)(34)0k ttk ， 得2243kt， 且1228234ktxxk，121226()2234tyyk xxtmk， 0m， 0t 且0k . 且2344ktk. 由得2222(34)4316kkk， 12k 或12k . 0k ， 12k . （2）0FPFAFB，20FPFM, (1,)Mm，(1,0)F，P的坐标为(1, 2 )m. 由于P在椭圆上， 214143m，34m ，3(1,)2M， 又2211143xy，2222143xy， 两式相减可得1212121234yyxxxxyy ， 又122xx，1232yy，1k ， 直线l方程为3(1)4yx ， 即74yx ， 2018 年高考数学试题分类汇编 第 17 页 （共 17 页） 2274143yxxy ， 消去y得2285610 xx ，1,2143 2114x， 22221122|(1)(1)3FAFBxyxy， 2233|(1 1)(0)22FP , | 2|FAFBFP. FA，FP，FB成等差数列， 12122| |cccdFAFBaxaxxxaaa 212121113 21()4422714xxx x .3 2128d .
