1、第第2章章 导数与微分导数与微分1.1 导数概念1.2 导数运算1.3 微分结束结束第1页定义定义 设设y=f(x)在点在点x0某邻域内有定义，某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f(x)在点在点x0 处导数，记为处导数，记为或或2.1 导数概念导数概念第2页导数定义与下面形式等价导数定义与下面形式等价：若若y=f(x)在在x=x0 导数存在，则称导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处处可导，反之称可导，反之称y=f(x)在在x=x0 不可导，此时意味不可导，此时意味着不存在着不存在.第3页左导数与右导数左导数与右导数 左导数左导数
2、:右导数右导数:显然能够用下面形式来定义左、右导数显然能够用下面形式来定义左、右导数定理定理3.1 y=f(x)在在x=x0可导充分必要条件是可导充分必要条件是y=f(x)在在x=x0 左、右导数存在且相等左、右导数存在且相等.第4页导数几何意义导数几何意义 当自变量当自变量 从改变到从改变到 时，曲线时，曲线y=f(x)上点由上点由 变到变到此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M横坐标之差，而横坐标之差，而 则为则为M0，M 纵坐标之差，所纵坐标之差，所以以 即为过即为过M0，M两点割两点割线斜率线斜率.M0M第5页 曲线曲线y=f(x)在点在点M0处切线即为割线处切线即为割线M0M当当
3、M沿曲沿曲线线y=f(x)无限靠近无限靠近 时极限位置时极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率极限值就是切线斜率时，割线斜率极限值就是切线斜率.即：即：所以，导数所以，导数 几何意义是几何意义是曲线曲线y=f(x)在点在点M0(x0,f(x0)处切线斜率处切线斜率.M0M第6页 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在点处在点处切线方程为：切线方程为：而当而当 时时,曲线曲线 在在 切线方程为切线方程为(即法线平行y轴).当当 时时,曲线曲线 在在 法线方法线方程为程为而当而当 时时,曲线曲线 在在 法线方程为法线方程为第7页例例1 1 求函数求函数 导数
4、导数解解:(1):(1)求增量求增量:(2)(2)算比值算比值:(3)(3)取极限取极限:同理可得同理可得:尤其地尤其地,.,.第8页例例2 2 求曲线求曲线 在点在点 处切线与法线方程处切线与法线方程.解解:因为因为 ,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线 在点在点 切线与法线斜率分别为切线与法线斜率分别为:于是所求切线方程为于是所求切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即第9页2.1.2 2.1.2 可导性与连续性关系可导性与连续性关系定理定理2 若函数若函数y=f(x)在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.第10页例3 证实函数 在x=0处连续但不可导.证
5、证 因为因为所以所以 在在x=0=0连连续续而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在 x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导必要条导必要条件，但不是充分条件件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,连续不一定可导连续不一定可导.第11页 设函数设函数u(u(x)与与v(v(x)在点在点x处均可导，则处均可导，则:定理一定理一2.2.1 2.2.1 函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则2.2 2.2 导数运算导数运算尤其地尤其地,假如假如可得公式可得公式第12页注：法则（注：法则（1）
6、（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数情形多个可导函数情形例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则第13页解：解：例例2 设设解：解：例例1第14页解：解：即即 类似可得类似可得例例3 求求y=tanx 导数导数第15页基本导数公式表基本导数公式表2.2.2 基本初等函数导数基本初等函数导数第16页解：解：例例4第17页 定理二定理二假如函数假如函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应在对应u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数在在x处可导，且有处可导，且有或或对于屡次复合函数，其求导公式类似，此对于屡次复合函数，
7、其求导公式类似，此法则也称链导法法则也称链导法注：注：2.2.3 复合函数导数复合函数导数第18页例例6解：解：解：解：例例5第19页1.隐函数导数隐函数导数例例7 求方程求方程 所确定函数导数所确定函数导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得2.2.5 隐函数导数隐函数导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定函数，其求导方法就是把所确定函数，其求导方法就是把y看成看成x函数，方程两端同时对函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。即即第20页例例8解：解：两边对两边对x求导得求导得第21页 能够表示为能够表示为定义定义 设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，处增量
8、处增量在点在点假如函数假如函数处微分，处微分，可微，可微，称为称为在点在点处处在点在点高阶无穷小，则称函数高阶无穷小，则称函数时时其中其中A是与是与无关常数，无关常数，是当是当比比2.3.1 微分概念微分概念2.3 2.3 微分微分第22页由微分定义，函数由微分定义，函数f(x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且,因而因而在点在点 x0处微分可写成处微分可写成于是函数于是函数通常把通常把记为记为，称自变量微分，称自变量微分，上式两端同除以自变量微分，得上式两端同除以自变量微分，得所以导数也称为微商所以导数也称为微商f(x)在点在点x0 处微分又可写成处微分又可写成d xf(x)在在(a,b)内任一点内任一点x处微分记为处微分记为记为记为第23页解：解：例例1 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,时改变量和微分。时改变量和微分。于是于是 在点在点处，处，第24页2.3.3 微分运算法则微分运算法则1.微分基本公式：微分基本公式：第25页2.2.微分四则运算法则微分四则运算法则设设u=u(x)，v=v(x)均可微均可微，则，则 （C 为常数）；为常数）；第26页
