1、1 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十八讲 2 第九节 一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第二章 3 一、 函数的单调性 若定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增(递减) . 证: 无妨设任取 由拉格朗日中值定理得 故这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 I 称为单调递增(递减) 区间。 4 例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令得 故的单调增区间为 的单调减区间为 为驻点 5 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 6 例2 证明 证
2、：令 令 从而 成立 7 例3. 证明 证: 设, 则 故时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明时, 如何设辅助 函数更好 ? 提示: 8 例4 求证 证法一：设 当时 当时 综上可知，无论为什么值，总有 则不等式 成立。 当时 9 例4 求证 证法2：设 则无论为什么值，总有 则不等式成立 对 f (x) 在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有 式中在 0 与 x 之间，由于与 x 同号， 10 例5 证明 在 证明 令 在上利用拉格朗日中值定理得 故当时， 从而 在内单调增加。 内单调增加。 此函数为幂指函数，两边取对数 11 例5 证明方程 在区间(0,1)内有且仅有一个实根。
3、 证明： 设在区间0,1 上连续， 由零点定理，使 即的根存在。又 单调增加。 的图形至多与 x轴有一个交点， 所以方程仅有唯一解。 12 二、函数的极值及其求法 定义: 在其中当时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 13 注意: 为极大点 为极小点 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值; 是极小值 . 为极小点 , 14 定理2（极值存在的必要条件） 如果在x0
4、处可导，且在x0处取得极值，则 （证明略） 使的点称为函数的驻点。 定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点， 但驻点未必是极值点。 寻求函数的极值点首先要找 的驻点以及不可导的点，再判断其是否为 极值点。 15 定理 3 (极值第一判别法) 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 0 为极小值 为极小点 如： 16 例1. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令得令得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 17 定理4 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点
5、取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 18 例2. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令得驻点 3) 判别 因故 为极小值 ; 又故需用第一判别法判别. 19 试问 为何值时, 在时取得极值 , 解: 由题意应有 又 取得极大值为 并求出该极值。 指出它是极大还是极小， 例3 20 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负为极大值 过由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极
6、大值 为极小值 21 思考与练习 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ;取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 22 2. 设在的某邻域内连续, 且 则在点处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 23 3. 设是方程 的一个解, 若且 则在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A 24 作业 P149 1（1）（2）；2； 3 (2)(4) ; 4 ；5(2), (3) (6); 6；7；8. 25 思考与练习 上则 或的大小顺序是 ( ) 提示: 利用单调增加 , 及 B 1. 设在 26 . 2. 曲线的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 ; ; 27 4、设函数由方程 所确定，求的极值。 令 得 代入原方程得 由 ，所以函数在 处有极小值 解 方程两边同时对x求导整理得 28 9、设函数在内连续， 在 内存在，且，证明当时，函数 单调增加。 因，故 单调增加，因此 从而知 单调增加。 解
