1、 哈尔滨工程大学 复变函数 学习要点 熟练掌握高阶导数公式 熟练掌握柯西积分公式 第三章 复变函数的积分 3.2 柯西公式 哈尔滨工程大学 复变函数 一、柯西积分公式 1. 问题的提出 1) 被积函数在C上连续，积分I必然存在； 哈尔滨工程大学 复变函数 因此，I的值只与f(z)在z0点附近的值有关。 根据闭路变形原理知, 得 现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 2. 柯西公式 定理1 (柯西公式) C是D的正向边界，我们称它为柯西公式。 哈尔滨工程大学 复变函数 证明： 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学
2、 复变函数 证毕 哈尔滨工程大学 复变函数 2、公式给出了解析函数的一个积分表达式. 3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分 的一种方法 注解 (这是解析函数的又一特征) 1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域 内任一点所取的值可以用它在边界上的值表 示出来。 哈尔滨工程大学 复变函数 例1 求下列积分 例2 哈尔滨工程大学 复变函数 例1 求下列积分 解 由柯西积分公式 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 解 例2 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 由闭路复合定理, 得 哈尔滨工程大学 复变函数 例3 例4 哈尔滨工程大学 复变
3、函数 练习计算下列积分 哈尔滨工程大学 复变函数 定理2 二、高阶导数公式 哈尔滨工程大学 复变函数 根据导数的定义,要证明 从柯西积分公式得 证明： 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 再利用以上方法求极限 证毕 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证 哈尔滨工程大学 复变函数 例5 例6 高阶导数公式提供了计算某些复变函数 沿闭路积分的一种方法. 哈尔滨工程大学 复变函数 解 例5 哈尔滨工程大学 复变函数 根据复合闭路定理 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 解
4、由柯西定理得 由柯西积分公式得 例6 哈尔滨工程大学 复变函数 哈尔滨工程大学 复变函数 三、一些结论 1. 柯西不等式 柯西不等式 注：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关； 哈尔滨工程大学 复变函数 2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数. 3. 莫勒拉定理 整函数：在整个复平面解析的函数 哈尔滨工程大学 复变函数 2. 刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数. 证明： 由柯西不等式 哈尔滨工程大学 复变函数 小结 它表述了: 一个解析函数在区域内部的值 可以用它在边界上的值通过积分表示。 柯西积分公式是复积分理论中的重要公式 并且解析区域内每一点的所有的导数也可 通过积分公式计算。 哈尔滨工程大学 复变函数 若函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有 任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析 函数 所以函数在一个区域内的解析性是很强的条 件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异 注意区分解析函数的导数与实函数的导数的 不同 哈尔滨工程大学 复变函数 练习 答案
