1、上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用 1 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 一、偏导数 1、偏导数的定义 2 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 3 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 4 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如函数 在点 处 5 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例1 求 解法1 解法2 在点(1 , 2)处的偏导数. 6 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例2 设 证 例3 求 的偏
2、导数 . 解 求证: 7 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证: 证 说明 : (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 8 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 2.偏导数的几何意义 如图 9 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 （1）几何意义: 10 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 （2）偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 11 上页下页返回 则称它们是z =
3、 f (x , y) 5.2 二元函数的偏导数与全微分 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 12 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为 z = f (x , y)关于x的 n 1 阶偏导数 , 再关于y 的一阶偏导数为 第二、三个偏导数称为混合偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 13 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 解 14 上页下页返
4、回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例6 求函数 解 注意:此处但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 15 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题 例如, 对三元函数u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 16 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 证 17 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例8 证明函数 满足 证 利用对称性,有 方程 18 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 三、全微分 全增量 19 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数
5、与全微分 定义2 如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y ) 可表示成 其中A , B不依赖于 x , y ,仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微 , 则称函数 f ( x, y )在点( x, y) 可微， 的全增量 则称此函数在D 内可微. 20 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 证 “可微”与“连续”的关系？ 21 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 “可微”与“偏导数存在”的关系？ 22 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 同样可证 证 由全增量公式 得到对x 的偏
6、增量 因此有 23 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 反例: 函数 易知 但 注: 定理3 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 因此,函数在点 不可微 . 24 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 定理4 (可微的充分条件 ) 若函数 的偏导数则函数在点连续， 在该点可微 . 且 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 . 例如, 三元函数的全微分为： 25 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例9 计算函数 在点(2,1)处的全微分. 解 例10 计算函数的全微分. 解 26 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 可知当 *四、
7、全微分在数值计算中的应用 近似计算: 由全微分定义 较小时 , 及有近似等式 : (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 27 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 例11 计算的近似值. 解 设,则 取 则 28 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 半径由 20cm 增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例12 有一圆柱体受压后发生形变, 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 29 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 内容小结 30 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 思考练习 ,则（ ） (A) (C) (B) 曲面 在点 的法向量 为 曲线 在点 的切向量 为 设函数在点 附近有定义，且 31 上页下页返回 5.2 二元函数的偏导数与全微分 思考练习 (D) 曲线 在点 的切向量 为 答案（C） 32
