1、第三节第三节 可测函数的构造可测函数的构造 第四章 可测函数 1 可测函数可测函数 l l 简单函数简单函数是可测函数。是可测函数。 l可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限 。 问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？ l可测集E上的连续函数为可测函数。 2 鲁津定理鲁津定理 实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数. （2）任一点点收敛的可测函数列
2、差不多就是一致收敛列。 （3）任一可测函数差不多就是连续函数。 3 引理： 4 5 证明：由于mE|f|=+=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时， 当当x xE E i i 时，时，f(x)=cf(x)=c i i ，所以，所以f(x)f(x)在在F F i i 上连续，而上连续，而F F i i 为两为两 两不交闭集，故两不交闭集，故f(x)f(x)在在 上连续，显然上连续，显然F F为闭集，为闭集， 且有且有 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。 鲁津定理（鲁津定理（LusinLusin） 6 (2)当f(x)为
3、有界可测函数时， 存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)， 由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x)(x) ， 易知f(x)f(x)在闭集在闭集F F上连续上连续。 。 利用(1)的结果知 7 则 g(x)为有界可测函数，应用(2)即得： (3)当f(x)为一般可测函数时，作变换 g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则 使得 m(E-F)且g(x)在F上连续。 故，f(x)在F上为连续函数。 8 注注1 1：鲁津定理另外一种形式：鲁津定理另外一种形式： 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数， 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)， 且sup g(x) |xR= sup f(
4、x) |xF； inf g(x) |xR= inf f(x) |xF； （对n维空间也成立） 【分】由鲁津定理： 则 及R上的连续函数g(x) 则 且f(x)在F上连续。 下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。 若f(x)为 上几乎处处有限可测， 9 ai bi 由于FC为R上的开集，根据R上开集构造， FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的 开区间的并： 。 b iai 则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91） 10 注注2 2：鲁津定理的逆定理成立。：鲁津定理的逆定理成立。 设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可 测函数。 11 例例1 1 对对 E RE R1 1 上的 上的a.e.a.e.有限的可测函数有限的可测函数f(x) f(x)， 一定存在一定存在R R上的连续函数列上的连续函数列 使使 于于E E 。 从而 令 ，即得我们所要的结果。 证明：由鲁津定理另外的形式知 再由Riesz定理，存在 的子列 使 a. e.于E， 12 习题选讲习题选讲 13 14 15 16 17
