1、 秒杀高考题型之球体与几何体【秒杀题型一】：多面体的外接球体。【题型1】：长方体的外接球体。秒杀策略：球的直径是长方体的体对角线：(为三条棱长)。特例：正方体外接球体：(为棱长)。1.(2010年新课标全国卷)设长方体的长、宽、高分别为其顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为 ( ) A. B. C. D.24【解析】：，选B。2.(2017年新课标全国卷II)长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 。【解析】：，。3.(高考题)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：，选D。【题型
2、2】：直角三棱锥的外接球体。秒杀策略：(为三条直角棱长)，还原后为长方体，即长方体的外接球体。1.(2012年辽宁卷)已知正三棱锥P-ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 。 【解析】：，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P-ABC在面ABC上的高，可求得正三棱锥P-ABC在面ABC上的高为体对角线的，即，所以球心到截面ABC的距离为。2.(高考题)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。【解析】：，。【题型3】：阳马的外接球体。秒杀策略：阳马：四棱锥，底面是矩形，其还原为长方体。【题型4】：
3、鳖臑的外接球体。秒杀策略：鳖臑：三棱锥，其还原为长方体，是直径。 1.(高考题)已知是球表面上的点，则球的 表面积为 。【解析】：，=。【题型5】：三组对棱相等的三棱锥的外接球体。秒杀策略：还原为长方体，其棱为长方体的对象线，设三组对棱分别为、，设还原后长方体的三条棱长分别为、，则有，=。【题型6】：正棱锥外接球体。秒杀策略：球心在高线上，通过解方程求得：，其中为高，为底面正多边形外接圆的半径。高考中只考查正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥。1.(高考题)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：，选A。【题型7】：正棱柱
4、外接球体。秒杀策略：上下底面中心连线的中点是球心，其中为高，为底面正多边形外接圆的半径。高考中只考查正三棱柱、正四棱柱(属于长方体)、正六棱柱。1.(2010年新课标全国卷10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：上下底面中心连线的中点是球心，由勾股定理得，S=，选B。2.(2008年新课标全国卷15)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 。【解析】：上下底面中心连线的中点是球心，由勾股定理得R=1，V=。【题型8】：
5、堑堵外接球体。秒杀策略：堑堵：底面是直角三角形的直棱柱，上、下底面斜边中点连线的中点是球心。或者还原为长方体，是长方体的一半。，其中为高，为底面直角三角形斜边长。1.(2013年辽宁卷)已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，,则球的半径为 ( ) A. B. C. D. 【解析】：AM=，由垂径定理，OM=，所以半径R=，选C。【题型9】：有一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球体。秒杀策略：，其中为高，为底面多边形外接圆的半径。若底面三角形已知一边与其所对的角，可利用正弦定理求。【题型10】：侧面与底面垂直的棱锥的外接球体。秒杀策略：若能还原为棱柱，则按棱柱的外接球求半径；过侧面与底面的外心，分别
6、作侧面与底面的垂线，两条垂线的交点即为外接球的球心。【题型11】：直棱柱的外接球体。秒杀策略：，其中为高，为底面多边形外接圆的半径。【秒杀题型二】：旋转体的外接球体。秒杀策略：转化为旋转体轴截面的外接圆，利用相似求半径。【秒杀题型三】：已知几何体的外接球体，求其它量。秒杀策略：利用球心到几何体各顶点的距离相等且为外接球的半径；外接球直径所对的圆周角为直角。1.(2011年新课标全国卷15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且， 则棱锥的体积为 。【解析】：3.(2011年辽宁卷)已知球的直径是该球球面上的两点，则棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D.1 【解析】：过A作SC的垂线,
7、垂足为D，连接BD，则三角形ABD与SC垂直，三角形ABD是等边三角形，V=，选C。3.(2012年新课标全国卷11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三 角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：可知0-ABC是棱长为1的正四面体，其体积为，S-ABC的高是正四面体高的2倍，即体积为。 3.(2017年新课标全国卷I)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径，若平面平面，三棱锥的体积为9，则球的表面积为 。【解析】：设，。【题型6】：外接球中的体积最值问题。秒杀策略：利用底面积为定值，高取最值；或高为定值，底面积取最值。1.(2015年新课标全国卷II9)已知是球的球面上两点，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：可知，得，选B。 2.(2016年新课标全国卷III10)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若, ，则的最大值是 ( )A. B. C. D.【解析】：内切圆的半径为2，所以球先与上下底相切，即，选B。3.(2018年新课标全国卷III10)设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】：球心到面的距离为，。
