1、秒杀高考数学题型之利用基本不等式求最值【秒杀题型二】：利用基本不等式求最值。秒杀策略：条件：一正、二定、三相等。和定，积有最大值，当且仅当两正数取等号时最大。积定，和有最小值，当且仅当两正数取等号时最小。在求最值时要学会三种方法：以母题为例说明三种方法。【高考母题】：如果则的最小值为 ( )A. B. C. D.【解析】：方法一：基本不等式法：思路：求的最值要把通过放缩到，得，选C。方法二：万能方法：思路：把所求的式子设为，与已知条件代入消元（含两个变量）转化为一元二次不等式，如含一个变量直接转化为一元二次不等式，令得到的范围。设，代入得，得（舍去），。方法三：秒杀方法：思路：当已知条件与所求
2、式子中变量(双变量)系数一致时(或能配成一致时，只考虑一次和或平方和前的系数，乘积不用考虑，因为乘积可以配任意需要的系数.这种方法叫地位等价法求最值，当取等号时取到最值。已知条件与所求式子中的系数均为1，的系数均为1，则当时取到最值，即时取到最值。1.(2007年新课标全国卷7)已知,成等差数列，成等比数列，则的最小值为 ( )A.0 B.1 C.2 D.4【解析】：基本不等式，由等差与等比数列的性质得：，选D。2.(高考题)下列结论正确的是 ( )A.当且时， B.当时，C.当时，的最小值为2 D.当时，无最大值【解析】：A选项可能是负值；C选项取不到等号；D选项中函数为增函数，有最大值；选
3、B。3.(高考题)若实数满足，则的最小值是 ( )A.18 B.6 C. D.【解析】：，选B。秒杀方法：地位等价法：系数一致，当时取到最值。4.(2018年天津卷)已知，且，则的最小值为 。【解析】：=。秒杀方法：地位等价法：系数一致，当时取到最值。5.(2019年高考题天津卷)设，则的最小值为 。【解析】：原式=。6.(2020年新高考江苏卷12)已知，则的最小值是 。【解析】：，。7.(2020年新高考天津卷14)已知，且，则的最小值为 。【解析】：原式=。8.(高考题)若，则的取值范围是 () A. B. C. D.【解析】：，即，当且仅当时取等号，选C。秒杀方法：地位等价法：系数一致
4、，当时取到最值。9.(高考题)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 。【解析】：当且仅当时取等号。10.(2017年新高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则的值是 。【解析】：总费用：，当且仅当，即时等号成立。11.(高考题)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
5、 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件【解析】：，当且仅当时取等号，选B。12.(高考题)要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 。(单位:元)【解析】：设底面一边长为，则另一边长为，。13.(高考题)若对任意，恒成立，则的取值范围是 。【解析】：，只需的最大值，即。14.(高考题)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/时)与汽车的平均速 度(千米/时)之间的函数关系为。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（2）若要求
6、在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】：（1），当时，最大为11.1千辆/时。（2）解不等式，得。15.(高考题)若正数满足，则的取值范围是 。【解析】：仿母题：,设，（舍去）或，即。16.(高考题)如果，则的最小值为 。【解析】：仿母题：，得。【秒杀公式】：已知一次和(或倒数和)求倒数和(或一次和)最值问题，一般不利用两次基本不等式，因为很难保证同时取到等号，最佳方法是利用已知条件乘以“1”。已知，的最小值为：。1.(高考题)函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 。【解析】：方法一：乘“1”法：可知恒过定点，代入得：，=。方法二：柯西不等式法：。方法三：万能方法：设，代入消元得，（舍去）。2.(高考题)设，若是与的等比中项，则的最小值为 ( )A.8 B.4 C.1 D.【解析】：，选B。3.(高考题)若正数满足，则的最小值是 ()A. B. C.5 D.6【解析】：由得，=，选C。4.(2018年新高考江苏卷)在中，角所对的边分别为，的平分线交于点，且，则的最小值为 。【解析】：，即，得。
