1、秒杀高考题型之圆锥曲线中的定值与定点【秒杀题型一】：圆锥曲线中的定值与定点。秒杀策略：解析几何中证明(求)直线(曲线)过定点，一般是先选择一个参数建立直线(曲线)系方程，再根据直线(曲线)系过定点时与参数没有关系，得到一个关于的方程组，以这个方程组的解为坐标的点为所求定点；定值问题是通过已知条件(主要利用根与系数的关系)，化简为与参数没有关系的常数。简答题步骤规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于(或)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：把根与系数的关系代入已知条件；Step5：如果直线中两量有一定关系，则恒过定点；如果消去参数，则为
2、定值。【秒杀公式1】：过椭圆或抛物线上一点作两条弦，与曲线交于，的斜率互为相反数(倾斜角互补或与轴围成等腰三角形。)。则的斜率为定值。抛物线：，椭圆：。亦可理解为过作曲线切线斜率的相反数。方法一答题规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：利用，把根与系数的关系代入。方法二答题规范模板：Step1：设直线的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：利用根与系数的关系求出点的坐标，把点的坐标中的k换为-k得到点的坐标；Step4：由两点式求出的方程，进而求
3、出斜率为定值。1.(2009年辽宁卷)已知椭圆过点，两个焦点为，。 （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率 为定值，并求出这个定值。【解析】：（1）方法一：待定系数法，由题意知，设椭圆方程为：，代入点A得：，解得，(舍去)，所以椭圆方程为。方法二：定义法，A到两焦点距离之和分别是、，则，c=1，椭圆方程为。（2） 方法二：step1：设直线方程：设直线的方程为：；Step2：直线与曲线联立：代入得；Step3：利用根与系数的关系求点E、F的坐标：设E，F，因为点在椭圆上，所以，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，；Ste
4、p4：求出直线EF的斜率：(定值)。秒杀方法：由k=。【秒杀公式2】：直线与抛物线交于A、B，在x轴上存在定点P（-n,0），使PA、PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或斜率和为0或对称轴是APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点（n,0）。过椭圆焦点的直线与椭圆交于A、B，存在定点P(对应准线与焦点所在轴的交点.)，使PA、PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0或x轴是APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点焦点。方法一答题规范模板：Step1：设直线AB的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：写出根与系数的关系；Step4：
5、利用，把根与系数的关系代入。方法二答题规范模板：Step1：设直线PA的方程；Step2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；Step3：利用根与系数的关系求出点A的坐标，把点A的坐标中的k换为-k得到点B的坐标；Step4：由两点式求出AB的方程，进而求出恒过的定点。1.(2015新课标全国卷I20)在直角坐标系中，曲线与直线()交于M、N两 点。 （1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由。【解析】： （1），交点坐标为，切线方程分别为、； （2）step1：设点（抛物线特有思路）：设；Step2：代入关系：
6、，设，则有，化简得：=0；Step3：直线与曲线联立：直线与抛物线联立得：，由根与系数的关系代入得：，即，即存在点，使得。2.(2018年新课标全国卷I19)设椭圆的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，点M 的坐标为。（1）当与轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：。【解析】：（1）将代入椭圆方程得：，直线AM的方程为：。（2）证明：step1：设直线方程：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，设；Step2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立，即；Step3：写出根与系数的关系：，；Step4：将根与系数的关系代入：，。秒杀方法：=(2,0)。
7、3.(2017年新课标全国卷I20)已知椭圆C:（），四点、中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线不经过点且与C相交于A、B两点，若直线与直线的斜率的和为1，证明：过定点。【解析】：（1）在椭圆上，则不在椭圆上，在椭圆上，代入，得，椭圆的方程为：。（2） 方法一：step1：设直线方程：当斜率存在时，设直线：；Step2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立得：；Step3：写出根与系数的关系：设，则；Step4：将根与系数的关系代入：，得：，代入得，的方程为，过定点。当斜率不存在时，设，由斜率之和为-1，得，得，此时的方程为，也过定点。方法二：设直线的方程，与椭圆联立，可求得点A的坐
8、标，同理可求得点B的坐标，由两点式求出AB的方程，再求定点。4.(2020年新高考北京卷20)已知椭圆过点，且。（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线交椭圆C于点M、N，直线分别交直线于点，求的值。【解析】：（1）椭圆方程可设为：，将点A代入，得，椭圆的方程为：。（2）Step1：设直线方程：设直线MN的方程为：；Step2：直线与曲线联立：将直线MN与椭圆联立得：；Step3：写出根与系数的关系：设M、N，则有：，；Step4：将根与系数的关系代入：设P、Q，由M、A、P三点共线得：，同理由N、A、Q三点共线得：。，。5.(2020年新课标全国卷I21)已知A、B分别为椭圆E：（）的左、右顶
9、点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点。【解析】：（1）G，A，B，由得，椭圆的方程为：。（2）方法一：Step1：设直线方程：设直线CD方程为：x=my+n；Step2：直线与曲线联立：直线CD与椭圆联立得：，；Step3：写出根与系数的关系：设C、D，则有：，；Step4：将根与系数的关系代入：设P(6,t)，当t0时，由P、A、C三点共线得：，同理由P、B、D三点共线得：，消去t得：，由于，得，得：=，化简得：，代入得：n=-3(舍去)，n=,即过定点；当t=0时，CD的方程为y=0，亦过定点，即直线CD过定点。方法二：设直线PA的方程为：，与椭圆联立，求出点C的坐标，同理求出点D的坐标，由两点式求出CD的方程，再求定点。
