1、直线与平面的夹角直线与平面的夹角知识梳理2公式cos cos 1cos 2.如图所示，OA为平面的斜线，AB是OA的平面内的射影，AC为平面内过A点的任一直线，设OAB1，BAC2，OAC，则cos cos 1cos 2.(1)由0cos 21，cos cos 1，从而1，这就是最小角定理探索新知(2)在公式中，令290，则coscos1cos900，90，即当ACAB时，ACAO.此即三垂线定理；反之，若令90，则有cos1cos20.190，290，即若ACAO，则ACAB，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特例(3)公式也叫“三余弦”公式，1，2，分别是
2、斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角若已知1，2，中的两个值可以求另一个值探索新知探索新知1如图：cos _.2最小角定理斜线和_所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的最小角探索新知3直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_。(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_。(3)斜线与它在平面内的_叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)。探索新知答案1cos 1cos 22它在平面内的射影3(1)90(2)0(3)射影所成的角探索新知例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面AB
3、CD，PDDC，求BD与平面PAB所成的角。探索新知探索新知探索新知说明定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角，此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影。探索新知如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点。(1)证明：PA平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。探索新知解析(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO。底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB.所以，PA平面EDB探索新知(2)作EFDC交DC于F，连结BF.设正方形ABC
4、D的边长为a，PD底面ABCD，PDDC。EFPD，F为DC的中点EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角在RtBCF中探索新知探索新知分析解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦的绝对值即可。探索新知解析建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4，4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，探索新知探索新知令x1，则z4，y1.即n(1，1，4)，即AH与平面AFEG的夹角为，探索新知探索新知在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，
5、且ACBCBD2AE，M是AB的中点。(1)求证：CMEM。(2)求CM与平面CDE所成的角。探索新知解析以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设EAa，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0)。探索新知探索新知探索新知例3(2010湖南理，18)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论。探索新知探索新知探索新知探
6、索新知点评本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力。探索新知探索新知误解建立如图所示的直角坐标系，根据题意得：探索新知探索新知建立适当的空间直角坐标系；将斜线和它在平面上的射影或者斜线和平面的法线用向量或坐标表示出来；利用向量的夹角公式求解探索新知探索新知A90B60C45 D30答案D巩固练习解析由已知O为外心，且ABOC，巩固练习2平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是()A0180 B090C090 D090答案D解析由斜线和平面所成的角定义知选D。巩固练习3直线l与平面成45角，若直线l在内的射影与内的直线m成45角，则l
7、与m所成的角是()A30B45C60D90答案 C巩固练习二、填空题4若AB与平面成30角，且A，则AB与内不过点A的所有直线所成角中的最大角_答案90解析 在平面内，过A点垂直于AB在平面内射影的直线与AB所成角最大，为90。巩固练习5自平面外一点P向平面引垂线段PO及两条斜线段PA，PB，它们在平面内的射影长分别为2 cm和12 cm，且这两条斜线与平面所成的角相差45，则垂线段AO的长为_。答案4 cm或6 cm解析设PA，PB与所成角分别为1，2，且1245，巩固练习三、解答题6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD.PDDC，E是PC的中点求EB与平面ABCD夹角的余弦值。巩固练习解析取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的射影为BM，MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PDDC1，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，巩固练习巩固练习本节课通过合作、探究、展示等环节学习了直线和平面所成的角，能够求直线和平面所成的角。通过学生培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可以相互转化。课堂小结敬请各位老师提出宝贵意见！
