1、返回返回后页后页前页前页 2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数 返回返回后页后页前页前页 一、泰勒级数 在第六章3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 这里为拉格朗日型余项 返回返回后页后页前页前页 由于余是关于 的高无小, 因此 在点 附近 f 可用(1)式右的多式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再一步, 函数 f 在
2、存在任意 数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点的泰勒公式. 返回返回后页后页前页前页 通常称 (3) 式 f 在 的泰勒数. 于数 (3)是否能在点 附近确切地表达 f , 或者 数(3) 在点 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 在的任意 数都等于0 (第六章4 第 二段末尾), 即 返回返回后页后页前页前页 因此 f 在 的泰勒级数为 然它在 上收, 且其和函数 . 由 此看到, 对一切 都有 . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身,
3、哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢? 返回返回后页后页前页前页 定理14.11 f 在点 具有任意 数, 那么 f 在 区 上等于它的泰勒数的和函数的 充分条件是: 一切足不等式 的, 有 这里 是f 在点 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 的某域上等于其泰勒数的和函 数, 称函数 f 在点的一域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式 返回返回后页后页前页前页 的右 f 在 的泰勒展开式, 或 数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 若 f 数在收区 上的和函 数, 就是 f 在 上的泰勒展开式, 返回返回后页
4、后页前页前页 即幂级数展开式是惟一的. 在 用上, 主要 函数在 的展开式, 这时(3)式就变成 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极重要的, 下面我重新写出当 的 返回返回后页后页前页前页 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便 于后面的讨论. 它们分别是 返回返回后页后页前页前页 二、初等函数的幂级数展开式 例2 求k次多项式函数 的幂级数展开式. 解 由于 返回返回后页后页前页前页 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身. 例3 求函数 f (x) = ex 的幂级数展开式. 解 显见 返回返回后页后页前页前页 对任何实数 x, 都有 返
5、回返回后页后页前页前页 例4 所以在上可以展开麦克 林级数: 返回返回后页后页前页前页 返回返回后页后页前页前页 同样可证(或用逐项求导), 在上有 例5 所以的麦克劳林级数是 返回返回后页后页前页前页 用比式判法容易求得数(5)的收半径, 且 当收, 散, 故数(5)的收域 是 . 下面 在上它的余的极限. 当时, 对拉格朗日型余项, 有 返回返回后页后页前页前页 当, 因拉格朗日型余不易估, 故改 用柯西型余项. 此时有 返回返回后页后页前页前页 这就证得在上 的幂级数展开式就是 (5). 将(5)式中 x 成 , 就得到函数 处的泰勒展开式: 其收敛域为 例6讨论二项式函数的展开式. 解
6、 当正整数, 由二式定理直接展开, 就得 到 f 的展开式, 这已在前面例2中讨论过. 返回返回后页后页前页前页 下面讨论不等于正整数时的情形, 这时 于是 的麦克劳林级数是 运用比式法, 可得(6)的收半径. 在 内 考察它的柯西型余项 返回返回后页后页前页前页 由比式判别法, 返回返回后页后页前页前页 于 1 所以在 返回返回后页后页前页前页 论如下: 对于收敛区间端点的情形, 与 的取值有关, 其结 返回返回后页后页前页前页 一般来说, 只有比较简单的函数, 其幂级数展开式能 直接从定义出发, 并根据定理14.11求得. 更多的情 况是从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 返回返回
7、后页后页前页前页 算或逐项求导、逐项求积等方法, 间接地求得函数 的幂级数展开式. 注 求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数 各项的系数, 根据展开式的惟一性, 不管用什么方 法得到的系数都是一样的. 这就是间接展开的根据. 例7 以与分别代入(8)与(9)式, 可得 返回返回后页后页前页前页 于(10)、(11)分逐求可得函数与 的展开式: -1 1 -2-112 返回返回后页后页前页前页 由此可见, 熟练掌握某些初等函数的展开式, 对求 其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的, 特别是例3 例7 的结果, 对于今后用间接方法求幂 级数展开十分方便. 返回返回后页后页前页前页 解
8、利用 , 得 , 在 无定, 例8 求函数 在的 数展开 式. 返回返回后页后页前页前页 而级数 的收敛域为 , 所以 注 格地, 上式中的 数在 上有和函数, 而 只是它在上的和函数. 又因为 , 所以 返回返回后页后页前页前页 用类似方法可得 . (13) 大家一定非常熟悉三角函数表和对数表, 但这些表 是怎样制作出来的呢? 例9 计算 的近似值, 精确到 解 可以在展开式 中令 , 得 . 是一个交 数, 故有 返回返回后页后页前页前页 . 了差小于0.0001, 就必 算 级数前10000 项的和, 收敛得太慢. 为此在(13)式中 令 , , 代入(13)式, 有 估计余项: 返回返
9、回后页后页前页前页 取, 就有 因此 返回返回后页后页前页前页 最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函 数, 这是幂级数特有的功能. 例10 用间接方法求非初等函数 的幂级数展开式. 解 以 代替 ex 的展开式中的 x, 得 返回返回后页后页前页前页 再逐项求积, 就得到 在上的展开式: F(x) 用上述级数的部分和逐项逼近的过程, 示于 下图: 返回返回后页后页前页前页 -2-112O -1 -0.5 0.5 1 返回返回后页后页前页前页 复习思考题 1. 数在的和函数, 在处的幂级数展开式是什么? 2. 设函数在上的幂级数展开式为 若上式右的 数在(或)收, 能否 得出上式在(或)成立? (合例8行 论)
