1、第三章第三章第三讲 第三讲 函数的极值与导数函数的极值与导数 1 一、函数的单调性与导数符号的关系 导数大于零f (x)0 ，函数f (x)单调增加 导数小于零f (x)0 f (x)0 f (x)0 f (x)0 f (x)0 f (x)0 f (x)0 x y O x0 f (x)=0 【复习与思考复习与思考】 2 练习练习 .列表分析 解 3 列表可使问题明朗化 4 二、导数的简单应用 【复习与思考复习与思考】 5 。求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹 时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。 6 极大值点 极小值点 称f (x2)为极大
2、值极大值 极小值f (x) 称为极值点极值点 【函数极值】 一、函数极值的定义 7 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函使函 数取得极值的点称为数取得极值的点称为极值点极值点. . 极值定义请同学们自己看书极值定义请同学们自己看书. . 函数极值怎么定义？函数极值怎么定义？ 有谁来说一说有谁来说一说. . 8 设函数设函数y y= =f f( (x x) )在在x x= =x x 0 0 及其附近有定义，及其附近有定义， (1)(1)如果在如果在x=xx=x 0 0 处的函数值比它附近所有各点的处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即函数值都大，即f f(
3、 (x x)f f( (x x 0 0 ) )，则称，则称 f f( (x x 0 0 ) )是函数是函数 y y= =f f( (x x) )的一个的一个极小值。极小值。记作记作: :y y极小值 极小值= =f f( (x x 0 0 ) ) 极大值极大值与与极小值极小值统称为统称为极值极值， x x0 0 叫做函数的叫做函数的极值点极值点。 9 y Oxa b x1x2x3x4 观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值 ，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。 10 (1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点 不能成为极值点; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值; (3)函数
4、的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值; 【关于极值概念的几点说明】 (4) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况。 11 【问题探究】 问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? y Oxa b x1x2x3x4 12 (是极值点情形) (不是极值点情形) 问题:f (x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？ 【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的 导数值为多少? 13 观察与思考： 如何找极值点？找单调上升，下降分界点 f (x)全部零点( (驻点驻点) )或不可导点 导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点. . 判断 极值可疑点
5、14 三.求函数y = f (x)极值的一般步骤是： (3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点； (4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列 成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； (5)求出极值点处的函数值，得到极值. 请同学总结求极值的步骤 （1）确定函数的定义域 15 . 极 大 值 极小值 解 5. 极值 四、例题讲解 例1 16 x f (x) f (x) 例 确定函数f(x)2x39x212x3的极值 解 (1) 函数的定义域为( ) (2) f (x)6x218x126(x1)(x2) (3)导数为零的点为x11、x22 (4)列表分析 (5)函数f(x) ( 1)
6、(1 2) (2 ) y2x39x212x3 1 2 极大值 极小值 17 练习：见习题册2.13 213、求函数的极值和单调区间 解 极大值f(1)=1, 单调增加区间单调减少区间 0(0,1) 1(1,2)2 不存在 0 不存在 18 1 确定函数f(x) 的单调区间和极值 x？ ？ f (x) f (x) 解 (1) 函数的定义域为 (2) f (x) (3)导数为零的点 ,不可导点为 (4)列表分析 (5)函数f(x)在区间( 单调减少 在区间 )上单调增加 练习 19 x f (x) f (x) 解 (1) 函数的定义域为( ) (2) f (x) x2e x (3 x) (3)导数为零的点为x10 ，x3, (4)列表分析 (5)函数f(x)在 )区间单调减少 在区间( 上单调增加 ( ) ( 3) (3 ) 3 极大值 例1 确定函数f(x) x3e -x的单调区间和极值 00 20 五、小结 21 22 23 24 25 这可靠吗？ 26 这可靠吗？ 27
