1、1 主讲教师: 王升瑞 高等数学 第十三讲 2 第四节 一、隐函数的导数 三、由参数方程确定的函数的导数 隐函数与参数方程求导 第二章 二、对数求导法 3 一、隐函数的导数 若由方程可确定 y 是 x 的函数 , 由表示的函数 , 称为显函数 . 例如,可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 此函数为隐函数 . 则称 如 4 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 隐函数求导方法: 例1 设 是由方程所确定的， 求 解：方程两边同时对 x 求导。 5 例2 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确
2、定的隐函数 代入(*)求解。 6 例3. 求椭圆在点处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 将点 代入 7 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 例4. 设 8 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 当时,故由 得 再代入 得 求 例5 设 若求 再将 代入上式。 9 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 对数求导法- 适用范围: 二、对数求导法 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 10 例6. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 11 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 : 说明:
3、 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意: 12 例7 求下列函数的导数 两边取对数 两边对 x 求导 1. 13 2. 对 x 求导 两边取对数 求 14 例8. 设 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 15 三、由参数方程确定的函数的导数 若变量 y 是 x 的函数， 其对应关系是通过第三个变量 t 联系在一起的，即 x , y 是 t 的函数,这就是参数方程。 参数方程的一般形式为： t 是参变量。 例如：表示抛物线 表示半径为 a 的圆： 例如： 炮弹以初速度 v0 与水平方向角 t 射出， 其运动轨迹方程为： 表示。 又如： 16 若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数
4、可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 参数方程求导 17 求在 处的切线方程。 解：点坐标： 切线方程： 例9 已知摆线方程 18 , 求 解 ： 例10 设 方程组两边同时对 t 求导, 得 19 极坐标： 若将直角坐标系中的原点取为极点， 轴的正半轴取为极轴。 设直角坐标系中点 的坐标 极坐标系中点的坐标 称为极坐标的极径。 称为极坐标的极角。 把 由极轴出发逆时针方向为正。 两坐标系中变量间关系： 20 在对应于 的点处的切线方程. 解: 化为参数方程 当时对应点 斜率 切线方程为 例11 求螺线 21 求参数方程所表示的函数的 二阶导数. 解: 已知存在则 也可使用一阶导数 22 例12 设 求 ?已知 注意 : 则有 23 求 解： 例13 设 24 , 且 求 已知 解: 例14 25 内容小结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法极坐标方程求导 转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 26 作业 P109 1 ; 2 ; 3 ; 4 ； 5（1）（3）; 6 ; 7 (2) （4） ; 8 . 27 在求对数螺旋线 线方程。 解：因为 得 8. 对 求导， 对应点处的切 故所求切线方程为
