1、第三节第三节 LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系 第五章 积分论 1 yi yi-1 LesbesgueLesbesgue积分积分 对值域作分划 xi-1 xi RiemannRiemann积分积分 对定义域作分划 本节主要内容: l若f(x) Riemann可积，则f(x)在a,b上Lebesgue可积，且积分值相等 lf(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集 2 Riemann Riemann可积的充要条件可积的充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积 3 DarbouxDarboux上、下积
2、分上、下积分 对a,b作分划序列 令（对每个i及n） DarbouxDarboux上积分上积分 DarbouxDarboux下积分下积分 xi-1 xi 4 引理：设引理：设f(x)f(x)在在a,ba,b上为有界函数，记上为有界函数，记(x)(x)为为a,ba,b 上的振幅函数，则上的振幅函数，则 故(x)为a,b上的可测函数，从而f(x) L可积。 证明：由于f(x)在a,b上为有界函数， 故(x)为a,b上有界函数， 又对任意实数t， 为闭集， xi-1 xi 5 作函数列 对 a,b作分划序列 xi-1 xi 引理的证明引理的证明 6 引理的证明引理的证明 xi-1 xi 7 引理的证
3、明引理的证明 从而结 论成立 xi-1 xi 8 1.Riemann1.Riemann可积的可积的内在内在刻画刻画 定理：有界函数f(x)在a,b上Riemann可积的 充要条件是f(x)在a,b上的不连续点全体为零 测度集 教材p-104有另一种证明 证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等， 9 上述过程反之也成立。 从而f(x)在a,b上的不连续点全体为零测度集， 引理：设f(x) 是E上有限实函数，则f(x)在x0E 处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0 证明参照教材p-102 10 2.Lesbesgue2.Lesbesgue积分与积
4、分与RiemannRiemann积分的关系积分的关系 ( ( Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理：若f(x)在a,b上Riemann可积，则f(x)在 a,b上Lebesgue可积，且 证明： f(x)在a,b上Riemann可积， 故f(x)在a,b上几乎处处连续， 从而f(x)在a,b上有界可测，并且Lebesgue可积， 11 LesbesgueLesbesgue积分与积分与RiemannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明 其次， 对a,b的任一分划 根据Lesbesgue积分的可加性，我们有 12 LesbesgueLesbesgue积分与积分与Rie
5、mannRiemann积分的关系的证明积分的关系的证明 对上式左、右端关于一切分划各取 上、下确界，即得 xi-1 xi 13 例例 在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析） lRiemann函数Riemann可积 处处不连续 lDirichlet函数不Riemann可积0 1 14 注：注：LebesgueLebesgue积分与广义积分与广义RiemannRiemann积分无必然联系积分无必然联系 例：f(x)有无穷积分, 但不Lebesgue可积. 15 注：注：LebesgueLebesgue积分与广义积分与广义RiemannRiemann积分无必然联系积分无必然联系 例： f
6、(x)有暇积分但不Lebesgue可积 1/5 1/3 1 16 例例 设设f(x)f(x)是是a,ba,b上上LebesgueLebesgue可积函数，如果对任可积函数，如果对任 意实数意实数c(0 c 1)c(0 c 1)总有总有 那么那么f(x)=0 a.e.于0,10,1 教材p122有另一种证明写法： 证明中用到了积分的绝对连续性 17 从而有f(x)在F上几乎处处为0 所以f(x)=0 a.e.于0,10,1 证明（续）证明（续） 18 第四节第四节 LesbesgueLesbesgue积分的几何意义与积分的几何意义与FubiniFubini定理定理 第五章 积分论 主讲：胡努春
7、19 重积分与累次积分重积分与累次积分 重积分重积分 累次积分累次积分 f(x,y)连续 20 1.1.截口定理截口定理 x Ex 证明参照教材p-136分六种情况讨论： 区间，开集， 型，零集，有界可测 集，一般可测集 定理1 设 是可测集，则 (1)对Rp中几乎所有的x，Ex 是Rq中的可测集 (2)m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处 有定义，且是可测函数； 21 2.Lebesgue2.Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义 定理定理2 2：设：设A,BA,B分别是分别是R R p p 和和R R q q 中的可测集，中的可测集， 则则ABAB是是R Rp+q p+q中的可
8、测集， 中的可测集， 且且m(A B) = mA mBm(A B) = mA mB 证明参照教材p-139 A B 22 2.Lebesgue2.Lebesgue积分的几何意义积分的几何意义 证明参照教材p-139 则f(x)是E上可测函数当且仅当 G(E;f)=(x,y)| xE，0y f(x) 是Rn+1中的可测集;并且有 定理3 设f(x)为可测集 上的非负函数， f(x) 23 3.Fubini3.Fubini定理定理 证明参照教材p-140 (1)设 f(p)=f(x,y)在 上可积， 则对几乎所有的x A, f(x,y)作为y的函数在B上 可积， 作为x的函数在A上可积,且 先先重积分重积分后后累次积分累次积分 24 3.Fubini3.Fubini定理定理 证明参照教材p-140 (2)设f(x)是B上的可测函数， 存在（即|f(x,y)|作为y的函数在B上可积， 且 作为x的函数在A上可积）， 则 f(p)在A B可积 ，且 先先累次积分累次积分后后重积分重积分 25
