1、y= (x) o x x y y o y= (x) 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法. 但繁! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性. 4.3 函数的单调性 一、函数的单调性判别法则 1 ox xo yy 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢? 从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上 各点切 线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tan是非 负(或非正)的. 根据导数的几何意义知函数(x)单调增加(或减少)时, 总有 可见函数的单调性与导数的符号有关. 2 定理7.(函数单调性的判定方法) 设y =(x)在区间a, b 上连续, 在区间(a, b)内可导. 有 即
2、函数导数在区间保号，则此函数在该区间内一定单调. 则函数 在 单调增加； 则函数 在 单调减少。 证 根据拉格朗日中值定理, 有 单调增加 同理可证，（2）成立 3 例15 1、定理7的结论对无穷区间也成立. 二、说明： 2、此定理可完善为充要条件. 即若(x)在（a, b)内可 导且单调增加(或减少), 则(x)在(a, b)内必有 4 ox y 3、如果函数的导数仅在个别点处为 0, 而在其余的点处 均满足定理7, 则定理7仍成立. 如 4、有些函数在它的定义区间上不是单调的. 如 但它在部分区间上单调, 那么怎么 来求它的单调区间呢?o x y 5 o x y y=|x| 的点(单调区间
3、分界点)来划分函数的定义区间, 就能保 证函数在各个部分区间内保持固定符号, 从而可得单调 区间及函数的单调性. 5.函数y=|x|, x = 0为其连续不可导点. 但它在部 分 区间上单调, 那么又怎么来求它的单调区间呢? 结论: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数 都存在且连续, 那么只要用方程 6 (1)确定函数定义域; (2)求出 的点, 以这些点 为分界 点划分定义域为多个子区间; (3)确定 在各子区间内的符号, 从而定出(x)在各 子区间的单调性. 三、一般步骤 7 例16 讨论函数 的单调性. 解 定义域为 故在 内(x)是递增的. 在 内递减. 列表讨
4、论如下: 的不可导点 将定义域 分成三个子区间 8 例17 证明不等式 下面利用函数的单调性, 来证明不等式和判断方程的根的 存在性及其个数. 1.证明不等式:关键是根据所证不等式及所给区间构造 辅 助函数,并讨论它在指定区间内的单调性. 四、函数单调性的应用 证明： 9 10 例19 设(x)在 内连续, (a) a 时, 有 (其中k为常数). 求证: 在 内, 方程(x) = 0有且仅有一个实根. o x y y= (x) a 证 在 上应用拉格朗日中值定理, 得 由介值定理知，(x) = 0 在内至少有一个实根. 故结论得证. 2.讨论方程根的问题: 若 y = (x)单调且变号, 则方程(x) = 0一定有根, 而函数曲线与 x 轴的交点,确就是方程的根. 11 例20 证明方程(1) 有且仅有一个正根. (2) 内有两个实根. 证 (1) 有且仅有一个正根. 内有两个实根12
