1、 1 / 教管教学教研部 第二十六章第二十六章 反比例函数反比例函数 基础知识通关基础知识通关 2 26 6.1.1 反比例函数反比例函数 1.反比例函数：形如 yxk（k 为常数，k0）的函数称为反比例函数。 其他形式： . 2.图象：反比例函数的图象属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线 和 。对称中心是： . 3.性质:当 k0 时双曲线两支分别位于第一、第三象限，每个象限内 y 值随 x 值的增大而 ； 当 k0 时双曲线两支分别位于第二、第四象限，每个象限内 y 值随 x 值的增大而 。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图象上的点向两坐标轴
2、所作的垂线段与两坐标轴围成的 。 2 / 教管教学教研部 3 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1下列选项中，两种量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是（ ） A时间一定，路程与速度 B圆的周长与它的半径 C被减数一定，减数与差 D圆锥的体积一定，它的底面积与高 2下列函数中是反比例函数的是（ ） Ay By Cy- Dy 3反比例函数 y的图象如图所示，则 k 的值可能是（ ） A3 B1 C2 D4 4在同一平面直角坐标系中，函数 y与 ykx+1（k 为常数，k0）的大致图象是（ ） A B C D 5反比例函数 y的图象是轴对
3、称图形，它的对称轴的表达式是（ ） Ayx Byx Cyx，yx D无法确定 6关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第一、三象限 B函数图象经过点（3，2） Cy 随 x 的增大而减小 D函数图象关于原点成中心对称 7如图，平行于 x 轴的直线与函数 y1（a0，x0），y2（b0 x0）的图象分别相交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的右侧，在 X 轴上取一点 C，使得ABC 的面积为 3，则 ab 的值为（ ） A6 B6 C3 D3 4 / 教管教学教研部 8在反比例函数 y的图象的每一条曲线上，y 都随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ） Ak
4、1 Bk0 Ck1 Dk1 9如图，点 A（m，1），B（2，n）在双曲线 y（k0），连接 OA，OB若 SABO8，则 k 的值是（ ） A12 B8 C6 D4 10如图，A、B 两点在双曲线 y上，分别经过 A、B 两点向坐标轴作垂线段， 已知 S 阴影1.7，则 S1+S2等于（ ） A4 B4.2 C4.6 D5 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11已知函数 y的图象上有一点 P（m，n），且 m，n 是关于 x 的方程 x24ax+4a26a80的两实数根，其中 a 是使方程有实根的最小整数，则 y的解析式为 12如果点（3，4）在反比例函数 y的图象上，则 k
5、 13如图，直线 y3x 与双曲线 y（k0，且 x0）交于点 A，点 A 的横坐标是 1，点 B 是双曲线上另一点，且点 B 的纵坐标是 1，连接 OB、AB，则AOB 的面积为 14如图，矩形ABCD的顶点C，D分别在反比例函数y（x0） y（x0）的图象上，顶点 A，B在 x轴上，则矩形 ABCD的面积是 5 / 教管教学教研部 15若一次函数 yx+5 的图象与反比例函数 y的图象交于点（a，b），则 16验光师测的一组关于近视眼镜的度数 y 与镜片的焦距 x 的数据，如表： y（单位：度） 100 200 400 500 x（单位：米） 1.00 0.50 0.25 0.20 则 y
6、 关于 x 的函数关系式是 17如图，O 的直径 AB12，AM 和 BN 是它的两条切线，切点分别为 A，B，DE 切O 于 E，交 AM于 D，交 BN 于 C；设 ADx，BCy，则 y 与 x 的函数关系式是 18司机老王驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80km/h 的平均速度用 6h 达到目的地当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 之间的函数关系式为 19如图，直线 y1x 与双曲线 y交于 A，B 两点，点 C 在 x 轴上，连接 AC，BC若ACB90，ABC 的面积为 10，则 k 的值是 . . 20如图，已知P1OA1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等
7、腰直角三角形，点 P1、P2、P3Pn都在函数 y（x0）的图象上，斜边 OA1、A1A2、A2A3An1An都在 x 轴上则点 A2018的坐标为 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 21点 M（x，0）是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离的 2 倍为 y1 （1）求 y1关于 x 的函数解析式，并在所给网格中画出这个函数图象； （2）若反比例函数 y2的图象与函数 y1的图象相交于点 P，且点 P 的纵坐标为 2 6 / 教管教学教研部 求 k 的值； 结合图象，当 y1y2时，写出 x 的取值范围 （3）过原点的一条直线交 y2（k0）于 A、B 两点（点 A 在点 B 的
8、右侧），分别过点 A、B 作y 轴和 x 轴的平行线，两平行线交于点 C，则ABC 的面积是 22如图，一次函数 y2x+b 的图象经过点 A（1，0），并与反比例函数 y（x0）的图象交于 B（m，4） （1）求 k1的值； （2）以 AB 为一边，在 AB 的左侧作正方形 ABCD，求 C 点坐标； （3）将正方形 ABCD 沿着 x 轴的正方向，向右平移 n 个单位长度，得到正方形 A1B1C1D1，线段 A1B1的中点为点 E，若点 C1和点 E 同时落在反比例函数 y的图象上，求 n 的值 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，2）在反比例函数 y（x0）的图象上，点
9、B在 OA 的廷长线上，BCx 轴，垂足为 C，BC 与反比例函数的图象相交于点 D，连接 AC，AD （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 SACD，设点 C 的坐标为（a，0），求线段 BD 的长 7 / 教管教学教研部 24我们已经学习过反比例函数 y的图象和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数 y的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是() （2）写出该函数两条不同类型的性质： ； （3）写出不等式30 的解集 25如图，双曲线 y经过点 P（2，1），且与直线 ykx4（k0）有两个不同的交点 （1）求 m 的值 （2）求 k 的取值范围 8 /
10、 教管教学教研部 三附加题（共三附加题（共 2 2 小题）小题） 26如图已知函数 y（k0，x0）的图象与一次函数 ymx+5（m0）的图象相交不同的点A、B，过点 A 作 ADx 轴于点 D，连接 AO，其中点 A 的横坐标为 x0，AOD 的面积为 2 （1）求 k 的值及 x04 时 m 的值； （2）记x表示为不超过 x 的最大整数，例如：1.41，22，设 tODDC， 若m，求m2t值 9 / 教管教学教研部 27阅读下面的材料： 如果函数 yf（x），满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2 （1）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2），则称 f（x）是增函数；
11、（2）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2），则称 f（x）是减函数 例题：证明函数 f（x）（x0）是减函数 证明：假设 x1x2，且 x10，x20 f（x1）f（x2） x1x2，且 x10，x20,x2x10，x1x20 0，即 f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2）,函数 f（x）（x0）是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： （1）函数 f（x）（x0），f（1）2，f（2） 计算：f（3） ，f（4） ，猜想 f（x）（x0）是 函数（填“增”或“减”）； （2）请仿照材料中的例题证明你的猜想 10 / 教管教学教研部 基础知识通关答案基础知识通关答案 1.xy=k ,
12、1kxy ,xky1 2.y=x , y=-x , 原点 3.减小, 增大 4.矩形的面积 单元检测答案单元检测答案 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1【分析】根据反比例函数和正比例函数的定义即可得到结论 【解答】解：A、时间一定，路程与速度成正比例；B、圆的周长与它的半径成正比例； C、被减数一定，减数与差既不是成正比例的量，也不是成反比例； D、圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例；故选：C 【知识点】1 2【分析】此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是（k0） 【解答】解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误； B、该函数不属于反比例函数，故本选项
13、错误； C、符合反比例函数的定义，故本选项正确； D、该函数不属于反比例函数，故本选项错误故选：C 【知识点】1 3【分析】由于点 A（1，2），不在反比例函数的图象上，而在反比例函数图象的内侧，因此 k12，通过筛选得出答案 【解答】解：由图象可知：k12，故选：D 【知识点】4 4【分析】根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可判断哪个选项中的图象是正确的 【解答】解：当 k0 时，函数 y的图象在第一、三象限，函数 ykx+1 在第一、二、三象限，故选项 C 错误，选项 D 正确， 当 k0 时，函数 y图象在二、四象限，函数 ykx+1 在一、二、四象限选项 A、B 错误 【知识点】
14、2 5【分析】根据反比例函数图象为轴对称图形，并且有两条对称轴进行解答 【解答】解：反比例函数图象双曲线为轴对称图形，关于直线 yx 和 yx 对称故选：C 【知识点】2 6【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 B 进行判断；根据反比例函数的性质对 A、C、D 进行判断 【解答】解：反比例函数 y，k60，A、函数图象分别位于第一、三象限，正确； B、函数图象经过点（3，2），正确； C、当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，错误； D、函数图象关于原点成中心对称，正确；故选：C 【知识点】1，2，3 11 / 教管教学教研部 7【分析】A
15、BC 的面积AByA，先设 A、B 两点坐标（其 y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解 【解答】解：设 A（，m），B（，m） 则：ABC 的面积AByA（）m3，则 ab6故选：A 【知识点】4 8【分析】由反比例函数 y的图象的每一条曲线上，y 都随 x 的增大而增大可得 k10 【解答】解：反比例函数 y的图象的每一条曲线上，y 都随 x 的增大而增大 k10，k1，故选：A 【知识点】3 9【分析】过 A 作 y 轴的垂线，过 B 作 x 轴的垂线，交于点 C，连接 OC 依据 SABCSACOSBOC8，即可得到 k 的值 【解答】解：过 A 作 y 轴的垂线，过
16、 B 作 x 轴的垂线，交于点 C，连接 OC 设 A（k，1），B（2，k），则 AC2k，BC1k SABO8，SABCSACOSBOC8 即（2k）（1 k）（2k）1（1 k）28，解得 k6 k0，k6，故选：C 【知识点】4 10【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义可得 S四边形 AEOF4，S四边形 BDOC4 根据 S1+S2S四边形 AEOF+S四边形 BDOC2S阴影，可求 S1+S2的值 【解答】解：如图， A、B 两点在双曲线 y上，S四边形 AEOF4，S四边形 BDOC4 S1+S2S四边形 AEOF+S四边形 BDOC2S阴影，S1+S283.44.6.故选
17、 C 【知识点】4 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11【分析】由关于 x 的方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于 0，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最小整数解得到 a 的值，确定出方程，利用韦达定理求出 mn2，将 P 坐标代入反比例解析式中求出 k 的值，即可确定出反比例解析式 【解答】解：由题意，得16a24（4a26a8）4（6a+8）0，解得：a a 是使方程有实数根的最小整数，a1，原方程可化为 x2+4x+20 m，n 是该方程的两个实数根， 由韦达定理，得 mn2，将 P（m，n）代入反比例解析式得：n，即 kmn2 则反比例解
18、析式为 y故答案为：y 【知识点】1 12 / 教管教学教研部 12【分析】先设 y，再把已知点的坐标代入可求出 k 值，即得到反比例函数的解析式 【解答】解：把点（3，4）代入函数得 k12 【知识点】1 13【分析】把 x1 代入直线解析式求出 y 的值，确定出 A 坐标，将 A 坐标代入反比例解析式求出 k 的值即可，再求出点 B 的坐标，再利用割补法求解可得 【解答】解：将 x1 代入 y3x，得：y3 点 A 的坐标为（1，3） 将 A（1，3）代入 y，得：k3，反比例函数的解析式为 y 当 y1 时，x3，点 B（3，1） 过点 B 作 BDx 轴，过点 A 作 ACy 轴，CA
19、 延长线与 DB 延长线交于点 E 如图，SAOBS矩形 OCEDSAOCSBODSABE331313224 【知识点】1，4 14.【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数 k的几何意义，可以求出结果 【解答】解：延长 CD交 y轴于点 E， 点 C在反比例函数 y（x0）的图象上 矩形 CBOE的面积为 6， 点 D分别在反比例函数 y（x0）的图象上 矩形 ADEO的面积为 3 【知识点】1，4 15【分析】由题意得：ba+5，ab2，即可求解 【解答】解：由题意得：ba+5，ab2， 故 【知识点】1，2，3 16【分析】根据表格数据可得近视眼镜的度数 y 与镜片的焦距
20、x 成反比例，设 y 关于 x 的函数关系式是 y，再代入一对 x、y 的值可得 k 的值，进而可得答案 【解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数 y 与镜片的焦距 x 成反比例 设 y 关于 x 的函数关系式是 y y400，x0.25，400，解得：k100 y 关于 x 的函数关系式是 y 【知识点】1 17【分析】作 DGBC 于 G，则四边形 ABGD 是矩形，所以 DGAB12，CG|yx|；根据切线长定理，得 CDx+y，在直角三角形 DCG 中，根据勾股定理，得（yx）2+144（x+y）2，化简即可得到 y 与 x 的关系 13 / 教管教学教研部 【解答】解：作 DGBC
21、 于 G，DGB90 AM 和 BN 是它的两条切线 DABGBA90，四边形 ABGD 是矩形 DGAB12，CG|yx|； 根据切线长定理，得 CDx+y， 在直角三角形 DCG 中，根据勾股定理，得（yx）2+144（x+y）2 化简得 4xy144，即 y 故本题答案为：y（x0） 【知识点】1 18【分析】根据速度时间路程，可以求出甲地去乙地的路程；再根据行驶速度路程时间，得到 v 与 t 的函数解析式 【解答】解：由已知得：vt806， 故汽车的速度 v 与时间 t 之间的函数关系式为：，（0t6）； 【知识点】1 19【分析】设点 A 为（a，a），想办法构建方程即可解决问题；
22、【解答】解：设点 A 为（a，a）（a0） 则 OAa 点 C 为 x 轴上一点，ACB90，且ACB 的面积为 10 OAOBOCa SACBOC（Ay+|By|）（a）（a）10 解得，a或（舍弃） 点 A 为（，2），k26. 【知识点】1,4 20【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，知点 P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点 P1的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点 A1的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点 A1的坐标和双曲线的解析式求得 A2点的坐标；根据 A1、A2点的坐标特征即可推而广之 【解答】解：可设点 P1（x，y） 根据等腰直角三角形的性
23、质可得：xy 又y，则 x24，x2（负值舍去） 再根据等腰三角形的三线合一，得 A1的坐标是（4，0） 设点 P2的坐标是（4+y，y），又y，则 y（4+y）4，即 y2+4y40 14 / 教管教学教研部 解得，y12+2，y222 y0，y22 再根据等腰三角形的三线合一，得 A2的坐标是（4 ，0）； 可以再进一步求得点 A3的坐标是（4 ，0），推而广之，则 An点的坐标是（4 ，0） 故点 A2018的坐标为 （4 ，0） 【知识点】1 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 21【分析】（1）y1表示是点 M（x，0）与原点的距离的 2 倍，因此有两种情况，即 x0 和
24、 x0，于是就对应着两个函数关系式；图象可以根据自变量的取值范围，用两点法作出； （2）由于（1）中关系式有两个，因此也有两种情况，即 x0 和 x0，于是可得到两个 k 的值；根据图象可以直观看出自变量的取值范围； （3）根据反比例函数中 k 的几何意义，设点的坐标，表示三角形的面积，进而得出答案 【解答】解：（1）当 x0 时，y12x，当 x0 时，y12x， 答：y1关于 x 的函数解析式为：y12x （x0），y12x （x0），图象如图所示： （2）若反比例函数 y2的图象与函数 y1的图象相交于点 P 在第一象限， 且点 P 的纵坐标为 2，则横坐标为 1，此时 k2； 若反比例
25、函数 y2的图象与函数 y1的图象相交于点 P 在第二象限， 且点 P 的纵坐标为 2，则横坐标为1，此时 k2； 答：k 的值为 2 或2 由图象可以看出，当 y1y2时，x 的取值范围为：x1 或 x1； （3）设点 A（a，b），则 kab2 由对称性可得：BC2a，AC2b SABCBCAC2ab4，故答案为 4 【知识点】1，2，3 22【分析】（1）将点的坐标代入可求出一次函数的关系式，进而求出点 B 的坐标，再求 k1的值，（2）根据正方形的性质，可利用全等三角形，求出对应边的长度，转化为点的坐标即可；（3）平移前一次函数与 y 轴的交点即是 AB 的中点，可求出其坐标，正方形沿
26、着 x 轴向右平移，点 C、E 的坐标相应的发生变化，平移后，在某个反比例函数的图象上，则这两个点的纵横坐标的积相等，利用方程，求出答案 【解答】解：（1）一次函数 y2x+b 的图象经过点 A（1，0），b2 一次函数 y2x+2，与 y 轴的交点 E（0，2） 当 y4 时，即 2x+24，x1 B（1，4），k1144 答：k1的值为：4 （2）分别过 B、D 作 BM，DNx 轴，垂足为 M、N，过 C、D 分别作 x 轴、y 轴平行线交于点 P ABCD 是正方形，ABAD,DAB=90 DAN+BAM=90 又DAN+NDA=90，NDA=BAM 15 / 教管教学教研部 且DNA
27、=BMA=90，ABMDAN （AAS） 同理得DANDCP ANBMCP4，DNDPAM2，C（3，6） 答：点 C 的坐标为（3，6） （3）平移前 C（3，6），E（0，2） 沿着 x 轴向右平移 n 个单位得：C1（3+n，6），E1（0+n，2） 点 C1和点 E1同时落在反比例函数 y的图象上 （3+n）62n，n 答：n 的值为： 【知识点】1，4 23【分析】（1）把点 A（3，2）代入反比例函数 y，即可求出函数解析式； （2）直线 OA 的关系式可求，由于点 C（a，0），可以表示点 B、D 的坐标，根据 SACD，建立方程可以解出 a 的值，进而求出 BD 的长 【解答】
28、解：（1）点 A（3，2）在反比例函数 y（x0）的图象上， k326，反比例函数 y； 答：反比例函数的关系式为：y； （2）过点 A 作 AEOC，垂足为 E 设直线 OA 的关系式为 ykx，将 A（3，2）代入得，k 直线 OA 的关系式为 yx 点 C（a，0），把 xa 代入 yx，得：ya 把 xa 代入 y，得：y，B（a，），即 BC a D（a，），即 CD SACD，CDEC，即，解得：a6 BDBCCD3； 答：线段 BD 的长为 3 【知识点】1，4 24【分析】（1）对于函数 y，无论 x 取任何非零实数时，y 的值总大于零，也可以分为 x0 和 x0 两种情况考虑
29、，即：函数 y可化为函数 y（x0）和 y（x0） 16 / 教管教学教研部 （2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明 （3）先求出式3 的解，再根据函数的增减性确定自变量 x 的取值范围 【解答】解：（1）函数 y可化为函数 y（x0）和 y（x0）两种曲线， 函数 y图象是：D （2）故答案为：当 x0，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小； 图象的两个分支分别 位于第一、二象限； （3）y3 时，即：3，解得：x 根据函数的图象和性质得，不等式30， 即3 的解集为：x0 或 0 x 因此：不等式30 的解集为：x0 或 0 x .
30、 【知识点】2，3，4 25【分析】（1）根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得； （2）联立方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，求出方程的根的判别式，进而即可求得k 的取值范围 【解答】解：（1）双曲线 y经过点 P（2，1），m212； （2）双曲线 y与直线 ykx4（k0）有两个不同的交点 kx4，整理为：kx24x20 （4）24k（2）0，k2 k 的取值范围是2k0 【知识点】1，3 三附加题（共三附加题（共 2 2 小题）小题） 26【分析】（1）设 A（x0，y0），可表示出AOD 的面积，再结合 x0y0k 可求得 k 的值，根据 A的横坐标可得纵坐标，代入一
31、次函数可得 m 的值； （2）先根据一次函数与 x 轴的交点确定 OC 的长，表示 DC 的长，从而可以表示 t，根据 A 的横坐标为 x0，即 x0 满足，可得：mx02+5x04，再根据 m 的取值计算 m2t，最后利用新定义可得结论 【解答】解：（1）设 A（x0，y0），则 ODx0，ADy0 SAODODAD2，kx0y04； 当 x04 时，y01，A（4，1） 代入 ymx+5 中得 4m+51，m1； 17 / 教管教学教研部 （2）， mx2+5x40 A 的横坐标为 x0，mx02+5x04 当 y0 时，mx+50，x OC ODx0，m2tm2（ODDC）m2x0（x0
32、）m（5x0mx02）4m m，54m6，m2t5 【知识点】1，4 27【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题； （2）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立 【解答】解：（1）f（x）（x0） f（3），f（4） 故答案为：，减； （2）证明：假设 x1x2，且 x10，x20 f（x1）f（x2） x1x2，且 x10，x20，0，0 0，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） 函数 f（x）（x0）是减函数 【知识点】3 日期：2019/7/24 1 3:57:53；用 户：235634358 5；邮箱：235 6343585qq.c om；学号：19 243088
