1、 1 /教管教学教研部第第十二十二章章 全等三角形全等三角形基础知识通关基础知识通关12.1 全等三角形全等三角形1. 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。2. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做，重合的角叫做。全等符号为。3. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角。12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定4. 全等三角形的判定：（1）三边分别相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（
2、简称“”或“”）；（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简称“”或“”）；（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“斜边、直角边”或“”）。12.3 角的平分线性质角的平分线性质5. 角平分线的尺规作图：（1）在 OA、OB 上分别截取 OD、OE，使 OD=OE；（2）分别以点 D、E为圆心，以大于12DE的同一长度为半径作弧，两弧交于AOB 内的一点C；（3）作射线 OC；（4）如图所示，OC即为所求.6. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离。7. 角平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上。 2 /教管教学教研部 3
3、/教管教学教研部单元检测单元检测一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1 下列各组的两个图形属于全等图形的是（）ABCD2 下列说法正确的是（）A所有的等边三角形都是全等三角形 B全等三角形是指面积相等的三角形C周长相等的三角形是全等三角形D全等三角形是指形状相同大小相等的三角形3 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1 等于（）A72B60C50D584 已知ABC 的三边长分别为 3，4，5，DEF 的三边长分别为 3，3x2，2x+1，若这两个三角形全等，则 x 的值为（）A2B2 或C或D2 或或5 下列条件中：两条直角边分别相等；两个锐角分别相等；斜边和一条
4、直角边分别相等；一条边和一个锐角分别相等；斜边和一锐角分别相等；两条边分别相等其中能判断两个直角三角形全等的有（）A6 个B5 个C4 个D3 个6 如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，若 AD3，BE1，则 DE（）A1B2C3D4第 6 题图第 7 题图7 如图所示，要测量河两岸上对岸两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使CDBC，再在 BF 的垂线 DE 上取点 E，使 A、C、E 在同一条直线上，可以得到ABCEDC，得 DEAB，因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定ABCEDC 的理由是（）ASSSBASACSASDHL8 如图，用直尺
5、和圆规作射线 OC，使它平分AOB，则ODCOEC 的理由是（）ASSSBSASCAASDHL第 8 题图第 9 题图 4 /教管教学教研部9 如图，在四边形 ABDC 中，BD90，BAC 与ACD 的平分线交于点 O，且点 O 在线段 BD 上，BD4，则点 O 到边 AC 的距离是（）A1B1.5C2D310如图，已知在四边形 ABCD 中，BCD90，BD 平分ABC，AB6，BC9，CD4，则四边形 ABCD 的面积是（）A24B30C36D42二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题）11小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4 的四块），你认为
6、将其中的块带去，就能配一块大小和形状与原来都一样的三角形第 11 题图第 12 题图第 13 题图第 14 题图12如图所示的方格中，1+2+3度13如图，ABC 中，C90，AC8，BC4，AXAC，点 P、Q分别在边 AC 和射线 AX 上运动，若ABC 与PQA 全等，则 AP 的长是14如图，ABCF，垂足为 B，ABDE，点 E 在 CF 上，CEFB，ABDE，依据以上条件可以判定ABCDEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为15如图，ABFC，E 是 DF 的中点，若 AB20，CF12，则 BD第 15 题图第 16 题图第 17 题图16如图，12，BCEC，请补充一个条
7、件：能使用“AAS”方法判定ABCDEC17如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D均落在格点上，则BAC+AC18如图，RtABC 中，ACB90，ABC 的三条内角平分线交于点 O，OMAB 于 M，若OM4，SABC180，则ABC 的周长是第 18 题图第 20 题图 5 /教管教学教研部19ABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别是 6，10，12，三条角平分线的交点为 O，则SABO：SBCO：SCAO20如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有个三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题）21请在图中作出线段 AD，使
8、其平分BAC 且长度等于 m（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：22如图，AD90，BE 平分ABC，且点 E 是 AD 的中点，求证：BCAB+CD23如图所示，CDCA，12，ECBC，求证：ABCDEC 6 /教管教学教研部24如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，且 AE请你猜想1和2 有什么数量关系？并证明你的猜想解：猜想：证明：25如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点 B，A，D 在同一条直线上，M，N 分别为 BE，CD 的中点（1）求证：ABEACD；（2）判断AMN 的形状
9、，并说明理由 7 /教管教学教研部四附加题（共四附加题（共 2 小题）小题）26. 如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为 F（1）求证：ABCADE；（2）求FAE 的度数；（3）求证：CD2BF+DE28. 如图，已知ABC 中，ABAC10cm，BC8cm，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由点 B 向 C点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向 A 点运动（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当
10、点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP 全等？ 8 /教管教学教研部基础知识通关答案基础知识通关答案2. 对应边，对应角，3. 相等，相等4. 边边边，SSS边角边，SAS角边角，ASA角角边，AASHL6. 相等7. 平分线单元单元检测检测答案答案一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1. 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断【解答】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误D、两个图形能够完全重合，故本选项正确故选：D【知识点】2，32. 【分析
11、】直接利用全等图形的定义与性质分析得出答案【解答】解：A、所有的等边三角形都是全等三角形，错误B、全等三角形是指面积相等的三角形，错误C、周长相等的三角形是全等三角形，错误D、全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，正确故选：D【知识点】3，43【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案【解答】解：由于两个三角形全等1180507258故选：D【知识点】34【分析】首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x2 与 5 是对应边，或 3x2 与 7 是对应边，计算发现，3x25 时，2x17，故 3x2 与 5 不是对应边【解答】解：ABC 与DEF 全等当 3x25，2x+14，
12、x把 x代入 2x+1 中，2x143x2 与 5 不是对应边当 3x24 时，x2把 x2 代入 2x+1 中，2x+15故选：A【知识点】3 9 /教管教学教研部5【分析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可【解答】解：两条直角边分别相等；正确两个锐角分别相等；错误斜边和一条直角边分别相等，正确一条边和一个锐角分别相等；错误斜边和一锐角分别相等；正确两条边分别相等，错误其中能判断两个直角三角形全等的有 3 个故选：D【知识点】46【分析】根据余角的性质，可得DCA 与CBE 的关系，根据 AAS 可得ACD 与CBE 的关系，根据全等三角形的性质，可得 AD 与 CE 的关系
13、，根据线段的和差，可得答案【解答】解：ADCE，BECEADCBEC90BCE+CBE90，BCE+CAD90，DCACBE在ACD 和CBE 中ACDCBE（AAS）CEAD3，CDBE1DECECD312故选：B【知识点】3，47【分析】根据BEDC，BCCD，ACBECD 即可证明ABCEDC，由此即可判断【解答】解：ABBD，DEBDABCEDC90在ABC 和EDC 中ABCEDC（ASA），ABDE故选：B【知识点】38【分析】根据 SSS证明三角形全等即可【解答】解：由作图可知，OEOD，DCEC在ODC 与OEC 中ODCOEC（SSS）故选：A【知识点】4 10 /教管教学教
14、研部9【分析】过 O 作 OEAC 于 E，根据角平分线的性质即可得到结论【解答】解：过 O 作 OEAC 于 EBD90，BAC 与ACD 的平分线交于点 OOBOEODBD4，OBOEOD2点 O 到边 AC 的距离是 2故选：C【知识点】610【分析】过 D 作 DHAB 交 BA 的延长线于 H，根据角平分线的性质得到 DHCD4，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：过 D 作 DHAB 交 BA 的延长线于 HBD 平分ABC，BCD90，DHCD4四边形 ABCD 的面积SABD+SBCDABDH+BCCD64+9430故选：B【知识点】6二填空题（共二填空题（共 10 小
15、题）小题）11【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证【解答】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去只有第 2 块有完整的两角及夹边，符合 ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的故答案为：2【知识点】412【分析】标注字母，然后根据网格结构可得1 与3 所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出1+390，再根据2 所在的三角形是等腰直角三角形可得245，然后进行计算即可得解【解答】解：如图，根据网格结构可知在ABC 与ADE 中，ABCADE（SSS），1DAE1+3DAE+390又ADDF，ADDFADF 是
16、等腰直角三角形，2451+2+390+45135故答案为：135【知识点】3，4 11 /教管教学教研部13【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：ABC 与PQA 全等APBC4 或 APAC8故答案为：4 或 8【知识点】314【分析】依据 ABCF，ABDE，可得ABC 和DEF 都是直角三角形，由 CEFB，可得BCEF，所以可用 SAS 判定ABCDEF，于是答案可得【解答】解：ABCF，ABDEABC 和DEF 都是直角三角形CEFB，CE 为公共部分，CBEF又ABDE，ABCDEF（SAS）故答案为：SAS【知识点】415【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对
17、顶角相等，又知 E 是 DF 的中点，所以根据ASA 得出ADECFE，从而得出 ADCF，已知 AB，CF 的长，那么 BD 的长就不难求出【解答】解：ABFC，ADEEFCE 是 DF 的中点，DEEF在ADE 与CFE 中ADECFE（ASA），ADCFAB20，CF12BDABAD20128故答案为：8【知识点】3，416【分析】已知12，就是已知ACBDCE，则根据三角形的判定定理 AAS 即可证得【解答】解：可以添加AD理由是：12，ACBDCE在ABC 和DEC 中，ABCDEC（AAS）故答案是：AD【知识点】417【分析】证明DCEABD（SAS），得CDEDAB，根据同角的
18、余角相等和三角形的内角和可得结论【解答】解：在DCE 和ABD 中DCEABD（SAS），CDEDABCDE+ADCADC+DAB90 12 /教管教学教研部AFD90，BAC+ACD90故答案为：90【知识点】3，418【分析】首先根据点 O 是三角形三条角平分线的交点，OMAB 于点 M 得到点 O 到三边的距离等于 OM 的长，然后根据面积求得周长即可【解答】解：点 O 是三角形三条角平分线的交点，OMAB 于点 M点 O 到三边的距离等于 OM 的长SABC180（AB+BC+CA）OM180即（AB+BC+CA）4180AB+BC+CA90故答案为：90【知识点】619【分析】过 O
19、 作 ODAB 于 D，OEBC 于 E，OFAC 于 F，根据角平分线性质求出 ODOEOF，根据三角形面积公式求出即可【解答】解：如图，过 O 作 ODAB 于 D，OEBC 于 E，OFAC 于 FO为ABC 三条角平分线的交点，ODOEOFABC 的三边 AB，BC，CA 的长分别为 6，10，12SABO：SBOC：SAOC=（ABOD）：（BCOE）：（ACOF）AB：BC：AC6：10：123：5：6故答案为：3：5：6【知识点】620.【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论【解答】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路
20、的距离都相等，油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示故答案为：4【知识点】6三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题）21【分析】首先以A为圆心，任意长为半径，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是BAC的角平分线，只需在射线AM上截取ADm即可【解答】解：已知：线段 m，BAC；（1 分）求作：线段 AD，使得BADCAD，ADm（2 分）如图（6 分） 13 /教管教学教研部【知识点】522【分析】过点 E作 EFBC 于点 F，只要证明ABEFBE（AAS），RtCDERtCFE（HL） 即可解决问题【解答】证明：过点 E 作 E
21、FBC 于点 F，则EFBA90又BE 平分ABCABEFBEBEBEABEFBE（AAS）AEEF，ABBF又点 E 是 AD 的中点AEEDEFRtCDERtCFE（HL）CDCFBCCF+BFAB+CD【知识点】3，4，623【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证ACBDCE，再根据 SAS 可证ABCDEC【解答】证明：12ACBDCE在ABC 和DEC 中ABCDEC（SAS）【知识点】3，424【分析】通过作辅助线，由三角形全等得到 AF=AE 或 AF=AD，由已知条件从而证得【解答】猜想：1 与2 互补证明：作 CFAD 延长线于 F（如图）34，CEAMCFCE，CFACE
22、A90RtACFRtACEAFAEAE（AD+AB）（AFDF+AE+EB）AE+（BEDF） 14 /教管教学教研部BEDF0BEDFDFCBEC（SAS）521+51801+2180，即1 与2 互补【知识点】4，625【分析】（1）由BACDAE，等式左右两边都加上CAE，得到一对角相等，再由 ABAC，AF 为公共边，利用 SAS 可得出三角形 ABE 与三角形 ACD 全等（2）由 M 与 N 分别为 BE，CD 的中点，且 BECD，可得出 MEND，由三角形 ABE 与三角形 ACD 全等，得到对应边 AEAD，对应角AEBADC，利用 SAS 可得出三角形 AME 与三角形 A
23、ND 全等，利用全等三角形的对应边相等可得出 AMAN，即三角形 AMN 为等腰三角形【解答】证明：（1） BACDAEBAC+CAEDAE+CAE，即BAECAD在ABE 和ACD 中ABEACD（SAS）（2） M、N 分别为 BE、CD 的中点，且 BECDMENDABEACDAEMADC，AEAD在AEM 和ADN 中AEMADN（SAS）AMAN即AMN 为等腰三角形【知识点】4,，5四附加题（共四附加题（共 2 小题）小题）27.【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABCADE 的条件（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE 的度数（3）根据题意和三角形
24、全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立【解答】证明： （1）BADCAE90BAC+CAD90，CAD+DAE90BACDAE在BAC 和DAE 中BACDAE（SAS） 15 /教管教学教研部（2）CAE90，ACAEE45由（1）知BACDAEBCAE45AFBCCFA90CAF45FAEFAC+CAE45+90135（3）延长 BF 到 G，使得 FGFB，AFBG，AFGAFB90在AFB 和AFG 中AFBAFG（SAS）ABAG，ABFGBACDAEABAD，CBAEDA，CBEDAGAD，ABFCDAGCDAGCADCA45在CGA 和CDA 中CGACDA（AAS）CGC
25、DCGCB+BF+FGCB+2BFDE+2BFCD2BF+DE【知识点】3，428. 【分析】（1）经过 1 秒后，PB3cm，PC5cm，CQ3cm，由已知可得 BDPC，BPCQ，ABCACB，即据 SAS 可证得BPDCQP（2）可设点 Q 的运动速度为 x（x3）cm/s，经过 tsBPD 与CQP 全等，则可知 PB3tcm，PC83tcm，CQxtcm，据（1）同理可得当 BDPC，BPCQ 或 BDCQ，BPPC 时两三角形全等，求 x 的解即可【解答】解：（1）经过 1 秒后，PB3cm，PC5cm，CQ3cmABC 中，ABAC在BPD 和CQP 中BPDCQP（SAS）（2）设点 Q的运动速度为 x（x3）cm/s，经过 tsBPD 与CQP 全等则可知 PB3tcm，PC83tcm，CQxtcm 16 /教管教学教研部ABACBC根据全等三角形的判定定理 SAS 可知，有两种情况：当 BDPC，BPCQ 时，当 BDCQ，BPPC 时；两三角形全等当 BDPC 且 BPCQ 时，83t5 且 3txt，解得 x3x3，舍去此情况BDCQ，BPPC 时，5xt 且 3t83t，解得：x故若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为cm/s时，能够使BPD 与CQP 全等【知识点】3，4
