1、 1 /教管教学教研部第十八章第十八章 平行四边形平行四边形基础知识通关基础知识通关18.118.1 平行四边形平行四边形1.平行四边形定义有分别平行的四边形叫做平行四边形。2.平行四边形的性质：1平行四边形的相等； 平行四边形的相等； 平行四边形的互相平分。3.平行四边形的判定对边分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形；1对角分别相等的四边形是平行四边形；2一组对边的四边形是平行四边形。根据定义：两组对边分别的四边形是平行四边形。4.三角形中位线三角形的中位线于三角形的第三边，且等于第三边的一半。5.直角三角形斜边中线的性质直角三角形斜边上的中线等于。18.218
2、.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形6.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形。7.矩形的性质： 矩形的四个角都是； 矩形的对角线。8.矩形判定定理：的平行四边形叫做矩形。的平行四边形是矩形。的四边形是矩形。9.菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形。10.菱形的性质 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。11.菱形的判定定理： 一组邻边相等的是菱形。 对角线互相垂直的是菱形。 四条边相等的是菱形。12.菱形面积公式：1=2Sab菱形（a、b 为两条对角线的长度）13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形是正方形。 2 /教管教学教研部14
3、.正方形的性质 四条边都相等，四个角都是直角； 正方形既是，又是。15.正方形判定定理： 有一组相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的是正方形。16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形。18.等腰梯形的定义：相等的梯形。19.等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底边上的两个角相等； 等腰梯形的两条对角线相等。20.等腰梯形判定定理：两个角相等的梯形是等腰梯形。21.梯形中常见辅助线：本章知识结构图本章知识结构图 3 /教管教学教研部单元检测单元检测一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题）1如图，在ABCD 中，A70，DC
4、DB，则CDB（）A70B60C50D40第 1 题图第 2 题图2如图，EF 为ABC 的中位线，若 AB6，则 EF 的长为（）A2B3C4D53如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ABAC若 AB4，AC6，则 BD 的长为（）A11B10C9D8第 3 题图第 5 题图4下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（）AABCD，ABCDBABCD，ADBCCABCD，BDDABCD，ADBC5如图，四边形 ABCD 是菱形，AC8，DB6，DEAB 于点 E，则 DE 的长度为（）ABC5D6如图，在ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列判断中不
5、正确的是（）A若 ABBC，则ABCD 是菱形B若 ACBD，则ABCD 是菱形C若 AC 平分BAD，则ABCD 是菱形D若 ACBD，则ABCD 是菱形7在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，E 是 BC 上一点，且与 B、C 不重合，若 AE 是整数，则 AE 等于（）A3B4C5D68如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND 4 /教管教学教研部9如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边ABE，则BED 为（）A15B35C45
6、D5510已知四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列对于四边形 ABCD 的说法中正确的是（）A若 ACBD，则它是矩形B若 ABCD 且 ABCD，则它是平行四边形C若 ACBD，则它是菱形D若 AOBOCODO，则它是正方形二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB2，BC3，B45，点 P 在 BC 边上，若以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则 BP 的长是12ABC 中，BC8，AB，AC 的中点分别为 D，E，则 DE13如图，ABCD 的周长为 20，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AOB 的
7、周长比BOC 的周长多 2，则AB14在四边形 ABCD 中，给出下列条件：ABCD，BCAD，AC，BCAD其中能判定四边形是平行四边形的组合是或或或15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，），B（1，0），菱形 ABCD 的顶点 C 在x 轴的正半轴上，则点 D 的坐标为第 15 题图第 16 题图第 17 题图16如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加一个条件判定ABCD 是菱形，所添条件为（写出一个即可）17如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，DEAC，CEBD，若 BD10，则四边形 DOCE的周长为 5 /教管教学教研部1
8、8如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AB4cm，ADAB，CD5cm，点 P 从点 C 出发沿边 CB 以每秒 1cm 的速度向点 B 运动，秒后四边形 ABPD 是矩形第 18 题图第 19 题图第 20 题图19如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平分ODA 交 OA 于点 E，若 AB2，则线段OE 的长为20如图，以ABC 的三边为边分别作等边ACD、ABE、BCF，则下列结论：EBFDFC；四边形 AEFD 为平行四边形；当 ABAC，BAC120时，四边形 AEFD是正方形其中正确的结论是（请写出正确结论的序号）三解答题（共三解答题（共
9、5 5 小题）小题）21如图，在ABCD 中，BE 平分ABC 交 CD 的延长线于点 E，作 CFBE 于 F（1）求证：BFEF；（2）若 AB8，DE4，求ABCD 的周长22如图，ABCD 中，BAC90，E，F 分别是 BC，AD 的中点（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）如果 AB2，BC4，求四边形 AECF 的面积 6 /教管教学教研部23如图，在ABC 中，ABAC9，BC6，AD 为 BC 边上的高，过点 A 作 AEBC，过点 D 作 DEAC，AE 与 DE 交于点 E，AB 与 DE 交于点 F，连接 BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）求四边形
10、AEBD 的周长24如图，已知四边形 ABCD 为正方形，点 E 为对角线 AC 上的一动点，连接 DE，过点 E 作 EFDE，交 BC 于点 F，以 DE，EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG（1）求证：矩形 DEFG 是正方形；（2）判断 CE，CG 与 AB 之间的数量关系，并给出证明25如图在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF（1）四边形 AFCD 是什么特殊的四边形？请说明理由（2）填空：若 ABAC 则四边形 AFCD 是形；当ABC 满足条件时，四边形 AFCD 是正方形 7 /教
11、管教学教研部四、附加题（共四、附加题（共 2 2 小题）小题）26如图 1，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，AEBE，点 M是 AE 的中点，联接 CM，点 G 在线段 CM 上，作GDNAEB 交边 BC 于 N（1）如图 2，当点 G 和点 M 重合时，求证：四边形 DMEN 是菱形；（2）如图 1，当点 G 和点 M、C 不重合时，求证：DGDN 8 /教管教学教研部27学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D 是ABC 中 BC 边上的一点，过点 D、A 分别作 DEAB，DFAC、AGBC，垂足分别为点 E、F、G
12、，由ABD 与ADC 的面积之和等于ABC 的面积，有等量关系式：ABDE+ACDFBCAG像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题（1）如图（1），矩形 ABCD 中，AB2，BC4，点 P 是 AD 上一点，过点 P 作 PEAO，PFOD，垂足分别为点 E、F，求 PE+PF 的值；（2）如图（2），在 RtABC 中，角平分线 BE，CD 相交于点 O，过点 O 分别作 OMAC、ONAB，垂足分别为点 M，N，若 AB3，AC4，求四边形 AMON 的周长 9 /教管教学教研部基础
13、知识基础知识通关通关答案答案1.两组对边2.对边，对角，对角线3.两组，两组，平行且相等，平行4.平行，等于5.斜边的一半7.直角，平分且相等8.有一个角是直角，对角线相等，有三个角是直角11.平行四边形，平行四边形，四边形14.矩形，菱形15.邻边，菱形18.两腰20.同一底上单元检测答案单元检测答案一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题）1.【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形AC70DCDBCDBC70CDB180707040，故选：D【知识点】22.【分析】根据三角形的中位线的性质即可得到结论【
14、解答】解：EF 为ABC 的中位线，若 AB6EFAB3，故选：B【知识点】43.【分析】利用平行四边形的性质可知 AO3，在 RtABO 中利用勾股定理可得 BO5，则 BD2BO10【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形BD2BO，AOOC3在 RtABO 中，利用勾股定理可得 BO5BD2BO10故选：B【知识点】24.【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可【解答】解：A、ABCD，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B、ABCD，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C、ABCD，BD，四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项
15、不合题意；D、ABCD，ADBC，不能得出四边形 ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D 10 /教管教学教研部【知识点】35.【分析】利用已知的对角线求出菱形的面积以及菱形的边长，再根据菱形面积（底高）求出DE 长【解答】解：菱形 ABCD 面积是6824菱形的对角线长为 6 和 8利用勾股定理可得菱形的边长为 55DE24，解得 DE故选：B【知识点】10，126.【分析】由菱形的判定可求解【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断ABCD 是菱形；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断ABCD 是菱形；C、由 AC 平分BAD，可得四边相等，即可判断ABCD
16、是菱形；D、由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断ABCD 是矩形故选：D【知识点】2，117.【分析】由勾股定理可求 AC 的长，即可得 AE 的范围，则可求解【解答】解：连接 AC在矩形 ABCD 中，AB3，BC4AC5E 是 BC 上一点，且与 B、C 不重合3AE5，且 AE 为整数AE4故选：B【知识点】78.【分析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明 OMON 即可证明四边形 AMCN 是平行四边形【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形OAOC，OBOD对角线 BD 上的两点 M、N 满足 BMDNOBBMODDN，即 OMON四边形 AMCN 是平行四边形
17、OMACMNAC四边形 AMCN 是矩形故选：A【知识点】2，3，89.【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是 60求出 ADAE，DAE 的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出AED，然后根据BEDAEBAED 列式计算即可得解【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABAD，BAD90在等边ABE 中，ABAE，BAEAEB60在ADE 中，ADAE，DAEBAD+BAE90+60150 11 /教管教学教研部AED（180150）15BEDAEBAED601545故选：C【知识点】1410【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定定理
18、进行判断即可【解答】解：A、若 ACBD，那么四边形 ABCD 不一定是矩形；故错误；B、若 ABCD 且 ABCD，则它是平行四边形；故正确；C、若 ACBD，那么四边形 ABCD 不一定是菱形；故错误；D、若 AOBOCODO，那么四边形 ABCD 是矩形；故错误；故选：B【知识点】3，8，11，15二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11【分析】当 ABBP2 时，ABP 是等腰三角形；当 ABAP2 时，由B45，则ABP 是等腰直角三角形，BPAB2；当 BPAP 时，由B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB，即可得出结果【解答】解：当 ABBP2 时，ABP 是等腰
19、三角形；当 ABAP2 时，B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB2；当 BPAP 时，B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB，BP；综上所述，以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则 BP 的长是 2 或 2或；【知识点】212【分析】根据三角形的中位线定理得到 BC2DE，代入 BC 的长即可求出 DE【解答】解：D，E 分别是边 AC、AC 的中点BC2DEBC8DE84【知识点】413【分析】根据已知易得 ABBC2，AB+BC10，解方程组即可【解答】解：AOB 的周长比BOC 的周长多 2，ABBC2又平行四边形 ABCD 周长为 20AB+BC10AB6【知识点】2
20、14【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断【解答】解：由可以推出四边形 ABCD 是平行四边形；由也可以提出四边形 ABCD 是平行四边形；由也可以提出四边形 ABCD 是平行四边形；由也可以提出四边形 ABCD 是平行四边形；故其中能判定四边形是平行四边形的组合是或或或【知识点】315【分析】由勾股定理可求 AB 的长，由菱形的性质可得 ABAD2，ADBC，可求点 D 坐标 12 /教管教学教研部【解答】解：点 A（0，），B（1，0）AO，BO1AB2四边形 ABCD 是菱形ABAD2，ADBC点 D 坐标（2，）【知识点】1016【分析】一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直
21、的平行四边形是菱形【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：ABAD（ADCD，BCCD，ABBC）也可添加12，根据平行四边形的性质，可求 ADCD根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：ACBD故答案为：ABAD（答案不唯一）【知识点】2，1117【分析】首先由 CEBD，DEAC，可证得四边形 CODE 是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得 OCOD5，即可判定四边形 CODE 是菱形，继而求得答案【解答】解：CEBD，DEAC四边形 CODE 是平行四边形四边形 ABCD 是矩形ACBD4，OAOC，OBODOCODBD5
22、四边形 CODE 是菱形四边形 CODE 的周长为：4OC4520【知识点】7，10，1118【分析】当 DPBC 时，四边形 ABPD 是矩形，利用勾股定理解答即可【解答】解：当 DPBC 时，四边形 ABPD 是矩形此时：ABDP4，CD5在 RtDPC 中，CP3 秒后四边形 ABPD 是矩形【知识点】819【分析】通过正方形的边长求出 OD 长度，过 E 点作 EHAD，根据角平分线的性质可得 EHEO，HDOD，从而得到 AH 长度，根据 OEEHHA 可求 OE 长【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，AB2AODO，DAE45，OD过 E 点作 EHAD，又 DE 平分ODAE
23、HOE，HDODAHADHD2AHE 是等腰直角三角形HEAHOEHEAH2【知识点】14 13 /教管教学教研部20【分析】利用 SAS 得到EBF 与DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到 EFAC，再由ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到 EFAD，AEDF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到 AEFD 为平行四边形，若 ABAC，BAC120，只能得到 AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项【解答】解：ABE、BCF 为等边三角形ABBEAE，BCCFFB，ABECBF60ABEABFFBCABF，即CBAFBE在ABC 和EBF 中ABCEBF（SAS）E
24、FAC又ADC 为等边三角形CDADACEFADDC同理可得ABCDFCDFABAEBE四边形 AEFD 是平行四边形，选项正确；FEAADFFEA+AEBADF+ADC，即FEBCDF在FEB 和CDF 中FEBCDF（SAS），选项正确；若 ABAC，BAC120，则有 AEAD，EAD120，此时 AEFD 为菱形，选项错误.故答案为：【知识点】3，15三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题）21【分析】（1）利用角平分线及平行线可得ECBE，从而 BCCE，又 CFBE，所以 BFEF；（2）易知 BCCE12，根据平行四边形周长2（AB+BC）即可求解【解答】证明：（1）在平行
25、四边形 ABCD 中，ABCDABEEBE 平分ABCABECBEECBEBCCECFBEBFEF（2）四边形的 ABCD 是平行四边形CDAB8 14 /教管教学教研部CE12由（1）得 BCCE12平行四边形 ABCD 的周长2（AB+BC）40【知识点】222【分析】（1）由平行四边形的性质可得 BCAD，BCAD，由中点的性质可得 ECAF，可证四边形 AECF 为平行四边形，由直角三角形的性质可得 AEEC，即可得结论；（2）由勾股定理可求 AC 的长，可求 SABCABAC2，即可求四边形 AECF 的面积【解答】证明：（1）在ABCD 中BCAD，BCAD又E，F 分别是边 BC
26、，AD 的中点ECBC，AFADECAF，且 ECAF四边形 AECF 为平行四边形在 RtABC 中，BAC90，E 是 BC 边中点AEEC四边形 AECF 是菱形（2）BAC90，AB2，BC4AC2SABCABAC2点 E 是 BC 的中点SAECSABC四边形 AECF 是菱形四边形 AECF 的面积2SAEC2【知识点】10，1123【分析】（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形 AEBD 是矩形（2）在 RtADC 中，由勾股定理可以求得 AD 的长度，由等腰三角形的性质求得 BD 的长度，即可得出结果【解答】（1）证明：AEBC，DEAC四边形 AEDC 是平
27、行四边形AECD在ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的高ADB90，BDCDBDAE四边形 AEBD 是矩形（2）解：在 RtADC 中，ADB90，AC9，BDCDBC3AD6四边形 AEBD 的周长6+12【知识点】7，8 15 /教管教学教研部24【分析】（1）作出辅助线，得到 ENEM，然后判断DENFEM，得到DENFEM，则有 DEEF 即可；（2）同（1）的方法证出ADECDG 得到 CGAE，得出 CE+CGCE+AEACAB 即可【解答】证明：（1）过 E 作 EMBC 于 M 点，过 E 作 ENCD 于 N 点，如图所示：四边形 ABCD 是正方形BCD90，EC
28、N45EMCENCBCD90，且 NENC四边形 EMCN 为正方形四边形 DEFG 是矩形EMEN，DEN+NEFMEF+NEF90DENMEF又DNEFME90在DEN 和FEM 中DENFEM（ASA）EDEF矩形 DEFG 为正方形（2）矩形 DEFG 为正方形DEDG，EDC+CDG90四边形 ABCD 是正方形ADDC，ADE+EDC90ADECDG在ADE 和CDG 中ADECDG（SAS）AECG在 RtABC 中，【知识点】7，8，1425【分析】（1）由“AAS”可证AEFDEB，可得 AFBDCD，由平行四边形的判定可得四边形 AFCD 是平行四边形；（2）由等腰三角形的
29、性质可得 ADBC，可证平行四边形 AFCD 是矩形；由等腰直角三角形的性质可得 ADCDBD，ADBC，可证平行四边形 AFCD 是正方形【解答】解：（1）四边形 AFCD 是平行四边形理由如下：AFBCAFEDBE，且 AEDE，AEFDEBAEFDEB（AAS）AFBD 16 /教管教学教研部AD 是 BC 边上的中线CDBDAFCD，且 AFBC四边形 AFCD 是平行四边形（2）ABAC，AD 是 BC 边上的中线ADBC，且四边形 AFCD 是平行四边形四边形 AFCD 是矩形故答案为：矩当ABC 满足 ABAC，BAC90条件时，四边形 AFCD 是正方形理由为：ABAC，BAC
30、90，AD 是 BC 边上的中线ADCDBD，ADBC四边形 AFCD 是平行四边形，ADBC四边形 AFCD 是矩形，且 ADCD四边形 AFCD 是正方形故答案为：ABAC，BAC90【知识点】3，1526【分析】（1）如图 2 中，首先证明四边形 DMEN 是平行四边形，再证明 MEMD 即可证明（2）如图 1 中，取 BE 的中点 F，连接 DM、DF只要证明DMGDFN 即可【解答】证明：（1）如图 2 中AMMEADDBDMBEGDN+DNE180GDNAEBAEB+DNE180AEDN四边形 DMEN 是平行四边形DM=12BE，EM=12AE，AEBEDMEM四边形 DMEN
31、是菱形（2）如图 1 中，取 BE 的中点 F，连接 DM、DF由（1）可知四边形 EMDF 是菱形AEBMDF，DMDFGDNAEBMDFGDNMDGFDNDFNAEBMCE+CME，GMDEMD+CME在 RtACE 中，AMMECMMEMCECEMEMDDMGDFNDMGDFN 17 /教管教学教研部DGDN【知识点】4，10，1127【分析】（1）由矩形的性质可得ABC90，AOCO，BODO，由“等积法”可求解；（2）由“等积法”可求 OMON1，通过证明四边形 AMON 是正方形，即可求解【解答】解：（1）连接 PO四边形 ABCD 是矩形ABC90，AOCO，BODOSAODS矩形 ABCD242AB2，BC4AC2AODO又 SAPO+SDPOSAOD解得：（2）连接 OA，过点 O 作 OFBC，垂足为点 F又CO、BO 是ABC 的角平分线，OMAC、ONAB，垂足分别为点 M、NOMOF，ONOFOMOFON在 RtABC 中，BC设 OMx，则 OFONxSAOB+SAOC+SBOCSABC=解得：x1ONAOMANAM90四边形 ANOM 是矩形又OMON矩形 ANOM 是正方形正方形 ANOM 的周长144【知识点】15
