1、 1 / 教管教学教研部 第九章第九章 不等式不等式 基础知识通关基础知识通关 9.1 不等式不等式 1. 不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式不等号包括“”“b，则 bb，bc，则 ac. 5. 不等式的解集可以在数轴上表示： 9.2 一元一次不等式一元一次不等式 6. 一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式. 7. 解一元一次不等式的步骤 去分母 移项 系数化为 1 9.3 一元一次不等式组一元一次不等式组 8. 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一
2、次不等式组. 【注意】 一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须 ； 一个一元一次不等式组中可以有不止两个一元一次不等式. 9. 一元一次不等式组的解集 组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解集. 当几个不等式的解 时，称这个不等式组无解 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组 10. 解一元一次不等式组的步骤 (1)求出这个不等式组中各个不等式的解； (2)利用 求出这些不等式的解的公共部分,即求出这个不等式组的解集 2 / 教管教学教研部 11. 一元一次不等式组解的基本类型 由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型（表中 ）(假设 ab) 12
3、. 不等式的应用 （1）解题思路 审：理解问题情境，找关键词和关键量，分析其中的不等关系； 设：设未知数，如 XXX，用含 XXX 的代数式表示关键量； 列：根据不等关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组），求出未知数的取值范围； 答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案并作答 （2）量与量间的不等关系 大于、多于、比多、超过： ； 小于、少于、比少： ； 至少、最少、不小于、不低于、不少于： ； 至多、最多、不大于、不多于、不超过： ； 3 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1数学表达式中：57 ，360y ，6a ，2xx，2a ，
4、7652yy中是 不等式的有( ) A2个 B3个 C4个 D5个 2若mn，下列不等式不一定成立的是( ) A33mn B33mn C33mn D22mn 3如图，用天平称三次不同质量的物体“”、“”和“”，其中同一种物体的质量都相等， 则这三个物体的质量从大到小排列顺序正确的是( ) A B C D 4已知| | 31(4)602mmx是关于x的一元一次不等式，则m的值为( ) A4 B4 C3 D3 5在下列所表示的不等式的解集中，不包括5的是( ) A4x B5x C6x D7x 6有一个数不超过a，在数轴上表示正确的是( ) A B C D 7某种品牌自行车的进价为400元，出售时标
5、价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多可打的折数是( ) A八折 B八四折 C八五折 D八八折 8已知不等式30 xa的负整数解恰好是3，2，1，那么a满足条件( ) A6a B6a C6a D912a 9下列各式中不是一元一次不等式组的是( ) A135yy B350420 xx C1020ab D5020489xxx 10已知点(3,24)A xx在第四象限，则x的取值范围是( ) A32x B3x C2x D2x 4 / 教管教学教研部 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11若26mn ，则3m n （填“、”或“”号） 12如图，小雨把不等式312
6、(1)xx 的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 13请写出一个关于x的不等式，使1，2都是它的解 14若关于x的不等式325mx的解集是3x ，则实数m的值为 15不等式组21xx 的解集是 16不等式442xx的最小整数解为 17试构造一个解为1x 的一元一次不等式组 18若不等式组203xxa无解，则a的取值范围是 19为了美化环境，培养中学生爱国主义情操，团省委组织部分中学的团员去西山植树，某校团委 领到一批树苗，若每人植 4棵，还剩 37棵，若每人植 6棵，最后一人有树植，但不足 3棵，这批树苗共有 棵 20对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为( ) x，即当n为非负整数时
7、，若0.50.5nxn， 则( )xn如(1.34)1，(4.86)5若(0.51)6x，则实数x的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 21解不等式 （组)，并将解集在数轴上表示出来： （1）5132xx ； （2）33121 3(1)8xxxx 22已知xy，请比较下列各组的大小，并说明理由 （1）23x与22y； （2）32x与32y 5 / 教管教学教研部 23放学时，小刚问小东今天数学作业是哪几题，小东回答说：“不等式组231213(1)8xxxx的 正整数解就是今天数学作业的题号”聪明的你知道今天的数学作业是哪几题吗？ 24为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批
8、足球和篮球，已知购买 7个足球和 5个篮球的费 用相同；购买 40个足球和 20个篮球共需 3400元 （1）求每个足球和篮球各多少元？ （2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？ 25随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的 燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共 10 辆，若购买A型公交车 1 辆，B型公交车2 辆，共需 300 万元；若购买A型公交车 2辆，B型公交车 1辆，共需 270 万元， （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客
9、量分别为 80 万人次和 100 万人次若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 1000 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 900 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 6 / 教管教学教研部 四附加题（共四附加题（共 2 小题）小题） 26. 按下面程序计算，即根据输入的x判断51x是否大于 500，若大于 500则输出，结束计算， 若不大于 500，则以现在的51x的值作为新的x的值，继续运算，循环往复，直至输出结果为止若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为 656，则满足条件的所有x的值是 27. 阅读以下材料：
10、对于三个数 a，b，c，用 Ma，b，c表示这三个数的 平均数，用 mina，b，c表示这三个数中最小的数例如：M1，2，3；min1，2，31；min1，2，a解决下列问题： （1）min， 若 min2，2x+2，42x2，则 x 的范围为 ； （2）如果 M2，x+1，2xmin2，x+1，2x，求 x； 根据，你发现了结论“如果 Ma，b，cmina，b，c，那么 （填 a，b，c的大小关系）”证明你发现的结论； 运用的结论，填空： 若 M2x+y+2，x+2y，2xymin2x+y+2，x+2y，2xy，则 x+y 7 / 教管教学教研部 基础知识通关答案基础知识通关答案 4. 不变
11、，不变 ，改变 6. 去括号 ，合并同类项 7. 相同 8. 没有公共部分 9. 数轴 11. 同大取大 ，同小取小 ，大小小大中间找 ，大大小小无解了 12. ， ， 单元检测答案单元检测答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 【分析】用不等号表示不相等关系的式子是不等式，根据定义即可解题 【解答】解：57 3y60 a6 x2xa2 7y65y+2 中 只有a6、x2x不含不等号，不是不等式，所以不等式有 4个 故选：C 【知识点】1 2 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变; 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
12、；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案 【解答】解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A不合题意； B、不等式的两边都乘以3，不等号的方向改变，故 B 不合题意； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C不合题意； D、如 m2，n3，mn，m2n2；故 D合题意； 故选：D 【知识点】4 3 【分析】根据第三个不等式，可得与的关系，根据第二个不等式，可得与的关系，根 据不等式的传递性，可得答案 【解答】解：第三个不等式，可得 质量质量 根据第二个不等式，可得 质量质量 根据第一、三个不等式，可得 质量质量 由此可得： 质量质量质量 故选：D
13、【知识点】4 4 【分析】根据一元一次不等式的定义，|m|31，m+40，分别进行求解即可 【解答】解：根据题意|m|31，m+40 解得|m|4，m4 所以 m4 故选：A 【知识点】6 8 / 教管教学教研部 5 【分析】检验5 是否满足不等式的解集，就可以进行选择 【解答】解：A，54，x4包括5 B，55，x5包括5 C，56，x6不包括5 D，57，x7包括5 故选：C 【知识点】3 6 【分析】一个数不超过 a 可知小于等于 a 【解答】解：设这个数是 x 这个数不超过 a，xa 故选：B 【知识点】5 7 【分析】设打 x折，则售价是 500元根据利润率不低于 5%列出不等式，求
14、出 x 的范围 【解答】解：要保持利润率不低于 10%，设可打 x折 则 5004004005%， 解得 x8.4 故选：B 【知识点】12 8 【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的负整数解得到关于 a的不等式 组，从而求得 a 的范围 【解答】解：解不等式 3x+a0，得：x 根据题意得：43 解得：9a12 故选：D 【知识点】3，6 9 【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可由几个含有相同未知数的一元一次不等式所 组成的一组不等式叫做一元一次不等式组 【解答】解：C选项中存在两个未知数， 故选：C 【知识点】8 10【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大
15、取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：由题意知 解不等式，得：x3 解不等式，得：x2 则不等式组的解集为3x2 故选：A 【知识点】10 9 / 教管教学教研部 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11【分析】根据不等式的性质解答即可 【解答】解：不等式两边乘以6，根据不等式两边乘（或除以）同一个负数 不等号的方向改变可得：3mn 故答案为： 【知识点】4 12【分析】根据去括号、移项、合并同类项，可得不等式的解集，根据不等式解集的表示方法， 可得答案 【解答】解：去括号，得 3x+12x2 移项、合并同类项，得 x3 故答案为：3 【知识
16、点】3，5 13【分析】根据1，2都是它的解可以得知 x3，进而可得不等式 【解答】解：由题意得：x12 故答案为：x12（答案不唯一） 【知识点】2 14【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于 m的方程，根据 解方程，可得答案 【解答】解：解 3m2x5，得 x 由不等式的解集，得3 解得 m 故答案为： 【知识点】3，6 15【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”这个规律求出不 等式组的解集便可 【解答】解：根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了” 得：原不等式组的解集为：x2 故答案为：x2 【知识点】9 16【分
17、析】利用不等式的基本性质解不等式，从不等式的解集中找出适合条件的最小整数解 【解答】解：4x x482x 3x12 x4 故不等式4x 的最小整数解为 5 故答案为：5 【知识点】2，6 10 / 教管教学教研部 17【分析】本题为开放性题，根据同小取小列不等式组即可 【解答】解： 答案不唯一 【知识点】9，11 18【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据大大小小找不到（无解）列出关 于 a的不等式求解即可 【解答】解：， 由得，x2， 由得，x3a， 不等式组的无解， 3a2， a1 故答案为 a1 【知识点】9，11 19【分析】设共 x人植树，则这批树苗共有（4x+37）
18、棵，根据“若每人植 6棵，最后一人有树 植，但不足 3棵”，即可得出关于 x的一元一次不等式组，解之即可得出 x的取值范围，结合 x为正整数即可确定 x 的值，再将其代入 4x+37中即可求出树苗的总棵数 【解答】解：设共 x 人植树，则这批树苗共有（4x+37）棵， 依题意，得：， 解得：20 x x为正整数，x21， 4x+37121 故答案为：121 【知识点】12 20【分析】根据题意得到：60.50.5x16+0.5，据此求得 x的取值范围 【解答】解：依题意得：60.50.5x16+0.5 解得 13x15 故答案是：13x15 【知识点】9，10 三解答题（共三解答题（共 5 小
19、题）小题） 21【分析】（1）不等式去分母，移项合并，求出解集，表示在数轴上即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可 【解答】解：（1）去分母得：x5+22x6， 解得：x3， 在数轴上表示出来为： ； 11 / 教管教学教研部 （2）， 由得：x1， 由得：x2， 故不等式组的解集为2x1， 在数轴上表示出来为： 【知识点】5，7，10，11 22【分析】（1）、（2）利用不等式的性质进行推理 【解答】解：（1）22，理由如下： xy，22 （2）32x32y，理由如下： xy，2x2y 32x32y 【知识点】4 23【分析】
20、分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的 x的 正整数解即可 【解答】解： 由得，x2 由得，x2 故此不等式组的解集为：-2x2 x的正整数解为：1，2 今天的数学作业是 1，2题 【知识点】10，11 24【分析】（1）设每个足球为 x 元，每个篮球为 y元，根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）设买篮球 m个，则买足球（80m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过 4800 元建立不等式求出其解即可 【解答】解：（1）设每个足球为 x元，每个篮球为 y元， 根据题意得：，解得： 答：每个足球为 50 元，每个篮球为 70元； （2）设买篮球 m个，则买足
21、球（80m）个，根据题意得： 70m+50（80m）4800， 解得：m40 m为整数，m最大取 40， 答：最多能买 40个篮球 【知识点】7，12 12 / 教管教学教研部 25【分析】（1）设购买 A型公交车每辆需 x万元，购买 B型公交车每辆需 y万元，根据“A 型 公交车 1辆，B型公交车 2 辆，共需 300 万元；A型公交车 2辆，B型公交车 1 辆，共需 270 万元”列出方程组解决问题； （2）设购买 A型公交车 a辆，则 B 型公交车（10a）辆，由“购买 A型和 B型公交车的总费用不超过 1000万元”和“10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 900 万人次”列出
22、不等式组探讨得出答案即可 【解答】解：（1）设购买 A 型新能源公交车每辆需 x万元，购买 B型新能源公交车每辆需 y万元， 由题意得：， 解得， 答：购买 A型新能源公交车每辆需 80万元，购买 B型新能源公交车每辆需 110 万元 （2）设购买 A型公交车 a辆，则 B 型公交车（10a）辆， 由题意得， 解得：， 因为 a 是整数，所以 a4，5； 答：共有两种购买方案： 购买 A 型公交车 4 辆，则 B 型公交车 6 辆：80 4+110 6980万元； 购买 A 型公交车 5 辆，则 B 型公交车 5 辆：80 5+110 5950万元； 购买 A型公交车 5辆，则 B型公交车 5
23、 辆费用最少，最少总费用为 950 万元 【知识点】10，11，12 四、附加题（共四、附加题（共 2 小题）小题） 26【分析】利用运算程序，当第一次输入x，第一次输出的结果为51x，当第二次输入51x， 第二次输出的结果为5(51)1256xx ，当第三次输入256x，第三次输出的结果为5(256)1 12531xx ，当第四次输入12531x，第三次输出的结果为5(12531)1625156xx ，然后把输出结果分别等于 656，再解方程求出对应的正整数x的值即可 【解答】解：当第一次输入x，第一次输出的结果为51x， 当第二次输入51x，第二次输出的结果为5(51)1256xx ， 当
24、第三次输入256x，第三次输出的结果为5(256)1 12531xx ， 当第四次输入12531x，第三次输出的结果为5(12531)1625156xx ， 若51656x ，解得131x ； 、 若256656x，解得26x ； 若12531656x，解得5x ； 若625156656x，解得45x ， 所以当开始输入x值为正整数，最后输出的结果为656，满足条件的所有x的值是131或26或5 【知识点】7 13 / 教管教学教研部 27【分析】Ma，b，c表示这 a，b，c三个数的平均数，即求的值； mina，b，c表示这 a，b，c三个数中最小的数，即比较三个数的大小哪一个最小 【解答】解：（1）min，； 由 min2，2x+2，42x2，得，即 0 x1 （2）M2，x+1，2xmin2，x+1，2x，即 x1 证明：由 Ma，b，cmina，b，c，可令，即 b+c2a； 又 解之得：a+c2b，a+b2c； 由可得 cb；由可得 bc； bc；将 bc 代入得 ca； abc 据可得， 解之得 y1，x3， x+y4 【知识点】10，11
