1、 1 / 教管教学教研部 第六章第六章 实数实数 基础知识通关基础知识通关 6 6.1.1 平方根平方根 1.算术平方根： 一般地，如果一个 x 的平方等于 a，即 x2 =a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做 .规定：0 的算术平方根是 . 2.平方根： 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.即：如果 x2=a，那么 叫做 的平方根 3.开平方： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为 . 4.结论： 正数有 个算术平方根；正数有 个平方根，它们互为 . 0 的平方根是 .
2、 负数 算术平方根，负数 平方根 220 (0)0(0)(0)aa aa aaaaa a 6 6.2.2 立方根立方根 5.立方根的定义及表示方法: 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根，记做3a .其中 a 是 ，3 是 ，符号“3 ”读做“三次根号”. 6.开立方：求一个数的 的运算,叫做开立方。 6 6.3.3 实数实数 7.无理数：无限 小数叫做无理数. 8.实数：有理数和无理数统称 。 9.实数的分类： 正有理数有理数 零 小数和 小数负有理数实数正无理数无理数 小数负有理数 10.实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的点来表
3、示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.故实数与数轴上的点 . 11.实数的相反数和绝对值的意义 （1）数 a 的相反数是-a，这里 a 表示任意一个实数 2 / 教管教学教研部 （2）一个正实数的绝对值是它 ；一个负实数的绝对值是它的 ；0 的绝对值是 。即设 a 表示一个实数，则 ) 0a (a) 0a (0) 0a (aa 12.实数的运算 实数运算的顺序是:先算 ，再算 ，最后算 .如果遇到括号,则先进行括号里的运算. 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用 单元检测单元检测 3 / 教管教学教研部 一一. .选择题（共选择题（共 1010 小题）小题
4、） 1.16的算术平方根是 A.2 B.4 C.2 D.4 2.2a1 和 a5 是某个正数的两个不等的平方根，则实数 a 的值为（ ） A. B. C.2 D.2 3.64的立方根是（ ） A.8 B.2 C.8 D.4 4.如图，若实数 m +1，则数轴上表示 m 的点应落在（ ） A.线段 AB 上 B.线段 BC 上 C.线段 CD 上 D.线段 DE 上 5.18 2的近似值在（ ） A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 6.实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A.bc0 B.a+d0 C.|a
5、|c| D.b2 7.在1.414，0，317，2，1.14，3.212212221（每两个 1 之间多一个 2），这些数中无理数的个数为（ ） A.3 B.2 C.5 D.4 8.有下列说法 36 的平方根是 6；9 的平方根是 3； 16 =4；0.081 的立方根是0.9；42的平方根是 4；81 的算术平方根是9，其中正确的个数是（ ） A.0 个 B.1 个 C.3 个 D.5 个 9.下列说法正确的是（ ） A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根，不是正数就是负数 C.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，1 中的一个 D.如果一个数的平方根
6、是这个数本身，那么这个数是 1 或者 0 10.定义：对任意实数 x，x表示不超过 x 的最大整数，如3.143，11，1.22.对数字 65 进行如下运算：658：82：21，这样对数字 65 运算 3 次后的值就为 1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为 1，则数字 255 经过（ ）次运算后的结果为 1. A.3 B.4 C.5 D.6 二二. .填空题（共填空题（共 1010 小题）小题） 11.将下列各数填入相应的横线上： 4 / 教管教学教研部 123，0.25，0.3，8，3.030030003，0，(5)2，511，1253. 整数： 有理数： 无理数： 负实数： 1
7、2.如果a的平方根等于2，那么 a . 13.已知x3=4，且（y2x+1）2+z 3 =0，则 x+y+z 的值是 . 14.64 的立方根是 ，16的平方根是 . 15.已知 k 为整数，且满足6k10，则 k 的值是 . 16.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简 2|a+b|ab|的结果为 . 17.有一个数值转换器，原理如图：当输入的 x 为83时，输出的 y 是 . 18.比较下列实数的大小（填上、或） 33 2； 512 12；211 35. 19.利用计算器进行如下操作：，屏幕显示的结果为 5.625，那么进行如下操作：，那么屏幕显示的结果为 . 20.在草稿纸上计算：
8、13；13+ 23；13+ 23+ 33；13+ 23+ 33+ 43，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值13+ 23+ 33+ + 283= . 三三. .解答题（共解答题（共 5 5 小题）小题） 21.已知 3x+1 的算术平方根为 4，2y+1 的立方根为1，求 2x+y 的平方根. 22.计算 （1）|23|1+4+3 （2）273 0 14+ 0.1253+1 63643. 5 / 教管教学教研部 23.求下列各式中的 x 值. （1）x2 6 =14 （2）（x1）38 24.如图，数轴的正半轴上有 A、B、C 三点，表示 1 和2的对应点分别为 A，B，点 B
9、 到点 A 的距离与点 C 到点 O 的距离相等，设点 C 所表示的数为 x. （1）请你直接写出 x 的值； （2）求（x2）2的平方根. 25. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2 1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：22732，即 273，7的整数部分为 2，小数部分为7 2. 请解答： （1）10的整数部分是 ，小数部分是 . （2）如果5的小数部分为 a，37的整数部分为 b，求 a
10、+b5的值； （3）已知：x 是 3+5的整数部分，y 是其小数部分，请直接写出 xy 的值的相反数. 6 / 教管教学教研部 四四、附加题附加题 26. 观察下列各式及其验证过程 223= 2 +23；验证：223= 233= 2(221)+2221= 2 +23 338= 3 +38；验证：338= 338= 3(321)+3321= 3 +38 （1）参照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想：5524= 5 +524 ； （2）针对上述各式所反映的一般规律，请你猜想出用 n（n 为自然数，且 n2）表示的等式，并给出验证 27. 先观察下列等式，再回答问题： 1 +112+122= 1
11、+1111+1= 112； 1 +122+132= 1 +1212+1= 116； 1 +132+142= 1 +1313+1= 1112 （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想1 +142+152的结果，并进行验证； （2）根据上面的规律，计算1 +192+1102 （3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并加以验证 7 / 教管教学教研部 基础知识通关答案基础知识通关答案 1.正数, a, 被开方数, 0 2.x, a 3.逆运算 4. 一, 两, 相反数, 0, 没有, 没有 5.被开方数, 根指数 6.立方根 7.不循环 8.实数 9.有限, 无限循
12、环, 无限不循环 10.一一对应 11.本身, 相反数, 0 12.乘方和开方, 乘除, 加减 单元检测答案单元检测答案 一一. .选择题（共选择题（共 1010 小题）小题） 1.【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果. 【解答】解：16 =4，4 的算术平方根是 2 故选：A. 【知识点】1,3 2.【分析】利用正数的平方根有 2 个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到 a 的值. 【解答】解：根据题意得：2a1+a50 移项合并得：a2 故选：C. 【知识点】4 3.【分析】先求出64 =8，再求出 8 的立方根即可 【解答】解：64 =8 64的立方根是83=2 故选：B.
13、 【知识点】1,5 4.【分析】直接利用7 + 1的取值范围进而得出答案. 【解答】解：实数 m= 7 +1，又-37-2 2m1 在数轴上，表示 m 的点应落在线段 BC 上. 故选：B. 【知识点】2 5.【分析】先将18化为最简二次根式，再合并同类二次根式得出原式22 = 8，然后利用夹值 法即可求解. 【解答】解：18 2 =32 2 =22 = 8. 489 283 8 / 教管教学教研部 即 218 23 故选：B. 【知识点】2,4 6.【分析】观察数轴，找出 a、b、c、d 四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得 出结论. 【解答】解：A、b0，c0， bc0，结论
14、 A 错误； B、a4，d4， a+d0，结论 B 正确； C、a4，0c1， |a|c|，结论 C 错误； D、2b1，结论 D 错误. 故选：B. 【知识点】9,10 7.【分析】根据无理数是无限不循环小数，直接判定即可. 【解答】解：无理数有：2，3.212212221（两个 1 之间依次多一个 2），共 3 个； 故选：A. 【知识点】9 8.【分析】利用平方根和算术平方根、立方根的性质可求解. 【解答】解：36 的平方根是6； 9 的平方根是3； 16 =4； 0.081 的立方根是0.0813； 42的平方根是4； 81 的算术平方根是 9. 故选：A. 【知识点】1,2,5 9.
15、【分析】根据立方根，平方根的定义选择即可. 【解答】解：A、一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故本选项错误； B、一个非零数的立方根，不是正数就是负数，故本选项错误； C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1，0，1中的一个，故本选项正确； D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是 0，1 的平方根为1，故本选项错误； 故选：C. 【知识点】1,2,5 10.【分析】根据x表示不超过 x 的最大整数计算，可得答案. 【解答】解：255第一次255 152 255 162 25515第二次15 32 15 42 153第三次31， 则数字 255 经过 3 次运算后的
16、结果为 1. 故选：A. 【知识点】2,3 9 / 教管教学教研部 二二. .填空题（共填空题（共 1010 小题）小题） 11.【分析】根据形如2，1，0，1，2是整数；无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环 小数是无理数；小于零的实数是负实数，可得答案. 【解答】解：整数： 0，(5)2，1253 有理数： 123，0.25，0.3，0，(5)2，511，1253 无理数：8，3.030030003 负实数：3.030030003，1253 . 故答案为： 0，(5)2，1253 ； 123，0.25，0.3，0，(5)2，511，1253 ； 8，3.030030003；3.0300
17、30003，1253 . 【知识点】9 12.【分析】首先根据平方根的定义，可以求得a的值，再利用算术平方根的定义即可求出 a 的值. 【解答】解：（2）24 a =4 a（a）216 故答案为：16. 【知识点】2,3 13.【分析】首先根据立方根的定义求得 x 的值，然后根据非负数的性质：几个非负数的和是 0， 则每个数是 0，即可列方程组求得 x，y，z 的值，进而求得代数式的值. 【解答】解：x3=4 x64 根据题意得：y 2x + 1 = 0z 3 = 0 x = 64 解得：x = 64y = 127z = 3 则 x+y+z194 故答案是：194 【知识点】2,3 14.【分
18、析】根据立方根和平方根的定义进行解答， 【解答】解：64 的立方根是4 16 =4，4 的平方根是2，即16的平方根是2， 故答案为：4，2. 【知识点】2,5 15.【分析】先估算出6和10的范围，再得出答案即可. 【解答】解：263，3104， 整数 k3， 故答案为：3. 【知识点】2 16.【分析】在数轴上，右边的数总大于左边的数.原点右边的表示正数，原点左边的表示负数. 【解答】解：由图可知：3b20a1 a+b0，ab0， 可得：2|a+b|ab|2a2ba+b3ab， 故答案为：3ab. 【知识点】10 10 / 教管教学教研部 17.【分析】将 x 的值代入数值转化器计算即可得
19、到结果. 【解答】解：将 x83代入得：833= 8 ，结果是有理数，继续取立方根 将 x8 代入得：83= 2，结果是有理数，继续取立方根 将 x2 代入得：23，结果是无理数，输出 y 则输出 y 的值为：23. 故答案为：23. 【知识点】5,6 18.【分析】根据(33)6= 9，(2)6= 8，98，所以33 2； 利用分母相同的两数比较分子即可得出大小关系； 将根号外的因式移到根号内部，进而得出答案 【解答】解：(33)6= 9，(2)6= 8，98 33 2； 5 11 51212； 211 = 44，35 = 45， 21135. 故答案为：；. 【知识点】2,5 19.【分析
20、】因为被开方数向左移动了三位，所以立方根向左移动一位. 【解答】解：1783= 5.625， 0.1783= 0.5625， 故屏幕显示的结果为 0.5625 故答案为 0.5625. 【知识点】5,6 20.【分析】先分别求出的结果，发现的规律1；1+2；1+2+3；1+2+3+4. 以此类推，13+ 23+ 33+ + 283=1+2+3+4+28，由此即可求解. 【解答】解：13=1； 13+ 23=31+2； 13+ 23+ 33=61+2+3； 13+ 23+ 33+ 43=101+2+3+4， 13+ 23+ 33+ + 283=1+2+3+4+28406. 【知识点】2 三三.
21、.解答题（共解答题（共 5 5 小题）小题） 21.【分析】利用算术平方根、立方根定义求出 x 与 y 的值,进而求出 2x+y 的值,即可求出平方根. 【解答】解：3x+1 的算术平方根为 4 3x+116 解得：x5 2y+1 的立方根为1 2y+11 解得：y1 11 / 教管教学教研部 2x+y2519， 2x+y 的平方根是3. 【知识点】1,2,3,5,6 22.【分析】（1）先根据绝对值的意义进行化简，再合并即可. （2）先根据立方根和平方根的定义化简可得结果. 【解答】解：（1）|23|1+4+3 23 +3+3 5 （2）273 0 14+ 0.1253+1 63643 31
22、2+0.5+1643 3+14 234 【知识点】2,3,5,6 23.【分析】(1)首先求出 x2的值是多少，然后根据平方根的含义和求法，求出 x 的值是多少即可. (2)根据立方根的含义和求法，可得：x12，据此求出 x 的值是多少即可. 【解答】解:（1）x2 6 =14 x26+14=254 x254=52 .（2）（x1）38 x1= 83=2 x12 解得：x3 【知识点】2,3,5,6 24.【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出 AB 之间的距离即为 x 的值； （2）把 x 的值代入所求代数式进行计算即可. 【解答】解:（1）点 A.B 分别表示 1，2， AB= 2 1，
23、即 x= 2 1； .（2）x= 2 1， 原式= (x 2)2= (2 1 2)2=1， 1 的平方根为1. 【知识点】2,3 25.【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可； （2）根据题意确定出 a 与 b，代入原式计算即可得到结果； （3）根据题意确定出 x 与 y，即可求出所求. 【解答】解：（1）10的整数部分是 3，小数部分是10 3； 故答案为：3；10 3； .（2）459， 253，即 a= 5 2， 12 / 教管教学教研部 363749， 6377，即 b6， 则 a+b5 =4； . （3）根据题意得：x5，y3+5 5= 5 2， xy75，其相反数是5 7
24、. 【知识点】2,3 四四、附加题附加题 26. 【分析】（1）观察题干中式子可知 5425= 5 +425， （2）由 223= 2 +23= 2 +2221，338= 3 +38= 3 +3321， 故根据上述规律可知n21= +21，把二次根式外面的因式移到根号里面，变形即可 【解答】解：（1）总结规律可知 5424= 5 +524 （2）由 223= 2 +23= 2 +2221，338= 3 +38= 3 +3321， 故根据上述规律可知： 21= +21（n为自然数，且n2） 验证： 21= 321= 3+21= +21 故结论成立 【知识点】1,2,3 27. 【分析】由题意：
25、（1）1 +112+122= 1 +1111+1= 112； （2）1 +122+132= 1 +1212+1= 116； （3）1 +132+142= 1 +1313+1= 1112 （1）将1 +132+142中的 3 用 4 代替，4 用 5 代替 （2）将1 +132+142中的 3 用 9 代替，4 用 10 代替 （3）根据（1）、（2）总解规律，其中 3 用n，4 用（n+1）代替 【解答】解： （1）1 +142+152=1+1414+1= 1120 验证：1 +142+152= 1 +116+125= 4411625=2120= 1120 （2）1 +192+1102= 1 +19110= 1190 （3）1 +12+1(+1)2= 1 +12+ 验证：1 +12+1(+1)2= 2(+1)2+(+1)2+22(+1)2 13 / 教管教学教研部 = 2(+1)2+2+2+1+22(+1)2 = 2(+1)2+2(+1)+12(+1)2 = (2+1)22(+1)2 =2+1(+1) =2+2+12+ = 1 +12+ 【知识点】1,2,3 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2019/7/25 16:38:14；用户：18322526152；邮箱：18322526152；学号：12945663
