1、 1 /教管教学教研部第十三章第十三章轴对称轴对称基础知识通关基础知识通关13.1 轴对称轴对称1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做。这条直线就是它的。2. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做。3. 垂直平分线：经过线段并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。4. 图形轴对称的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段
2、的。（2）对称轴上的点到两个对称点的距离。（3）对应线段所在直线的夹角被对称轴。5. 垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的。（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。6. 尺规作图画线段的垂直平分线13.2 画轴对称图形画轴对称图形7. 轴对称作图的基本步骤：（1）画出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的图形.13.3 等腰三角形等腰三角形8. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。9. 等腰三角形的性质：性质 1：等腰三角形的两个底角相等（）；性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边
3、上的高、底边上的中线互相重合，简称为“”。10.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（）。11.等边三角形的定义：三边都相等的三角形。12.等边三角形的判定：（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）三条边都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的是等边三角形（4）有两个角是 60的三角形是等边三角形。 2 /教管教学教研部13.直角三角形的性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的。13.4 最短路径问题最短路径问题14. 基础依据：两点的所有连线中，最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。15. 常见模型（1）如图，在 l上找一点
4、 P，使 PA+PB 最小直线 AB 与 l 的交点即为所求点 P，PA+PB 最小值为 AB（2）如图，在 l上找一点 P，使 PA+PB 最小做点 B 关于直线 l 的对称点 B，直线 AB与 l 的交点即为所求点 P，PA+PB 最小值为 AB（3）如图，在 l上找一点 P，使PAPB最大直线 AB 与 l 的交点即为所求点 P，PAPB最大值为 AB（4）如图，在 l上找一点 P，使PAPB最大做点 B 关于直线 l 的对称点 B，直线 AB与 l 的交点即为所求点 P，PAPB最大值为 AB（5）如图，在 l上找一点 P，使PAPB最小 3 /教管教学教研部直线 AB 的中垂线与 l
5、 的交点即为所求点 P，PAPB最小值为 0（6）如图，点 P 在锐角AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点 C，使PCD 的周长最小做点 P 关于直线 OA、OB 的对称点1212PPPP、 ，与直线 OA、OB 的交点为所求点 C、DPCD 的周长最小值为12PP的长度本章知识结构图本章知识结构图： 4 /教管教学教研部单元检测单元检测一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1下列图形中，轴对称图形有（）A4 个B3 个C2 个D1 个2小明站在平面镜前，看见境中的自己胸前球衣的号码是，则实际的号码为（）ABCD3如图，若ABC 与ABC关于直线 MN 对称
6、，BB交 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（）AACACBBOBOCAAMNDABBC4在 44 的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与ABC 关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（）个A5B6C7D8第 4 题图第 5 题图5如图，在ABC 中，C90，A30，AB 的垂直平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，若AE4，则 EC 的长是（）A4B3C2D16如图：在ABC 中，AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D、E，且点 D在点 E 的左侧，BC6cm，则ADE 的周长是（）A3cmB12cmC9cmD6cm第 6 题图第 7 题图 5
7、/教管教学教研部7如图，在ABC 中 ACBC，点 D和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 ADAE连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若C40，则GAD 的度数为（）A40B45C55D708如图在 33 的网格中，点 A、B在格点处：以 AB 为一边，点 P 在格点处，则使ABP 为等腰三角形的点 P 有（）个A2 个B3 个C4 个D5 个第 8 题图第 9 题图9如图已知ABCACB30，CP为ACB的平分线，且CP6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则PMN周长的最小值为（）A4B6C6D1010如图，弹性小球从点 P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到
8、正方形 DABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次磁到正方形的边时的点为 P1（2，0），第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2019的坐标是（）A（0，1）B（4，1）C（2，0）D（0，3）二填空题（共二填空题（共 10 小题，每题小题，每题 3 分）分）11给出下列 4 种图形：线段，等腰三角形，平行四边形，圆其中，不一定是轴对称图形的是（填写序号）12小明上午在平面镜中看到一个时钟钟面，如图，则此时实际时刻是第 12 题图第 15 题图第 16 题图13已知ABC 是等腰三角形，它的周长为 20cm，一条边长 6c
9、m，那么腰长是 6 /教管教学教研部14等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有条（重合的算一条）15如图已知 OAa，P 是射线 ON 上一动点，AON60，当 OP时，AOP 为等边三角形16如图，ABC 中，A60，分别以 A，B 为圆心，大于 AB 长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交 AC 于点 D，连结 BD，则ABD 是三角形17如图，在 RtABC 中，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，过 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，若 DE 刚好平分ADB，且 AEa，则 BC第 17 题图第 18 题图18如图，在ABC 中，DE 是 AC 边的垂直平分线，且分
10、别与 BC，AC 交于点 D 和 E，若B65，C30，则BAD19如图，在ABC 中，ABAC，BC4，ABC 的面积是 16，AC 边的垂直平分线 EF 分别交AC，AB 边于点 E，F若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为第 19 题图第 20 题图20如图所示：点 P 为AOB 内一点，分别作出 P 点关于 OA、OB 的对称点 P1，P2，连接 P1P2交OA 于 M，交 OB 于 N，PMN 的周长为 15cm，P1P2三解答题（共三解答题（共 5 小题，每题小题，每题 8 分）分）21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，4）
11、，B（4，1），C（1，1）（1）在图中作出ABC 关于 x轴的轴对称图形ABC；（2）直接写出 A，B 关于 y 轴的对称点 A，B的坐标 7 /教管教学教研部22如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交BC 的延长线于点 F，（1）求F 的度数；（2）若 CD3，求 DF 的长23如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，且 BDCE求证：（1）点 D 在 BE 的垂直平分线上；（2）BEC3ABE24用三角板和直尺作图（不写作法，保留痕迹）如图，点 A，B 在直线 l 的同侧（1）试在直线 l
12、上取一点 M，使 MA+MB 的值最小（2）试在直线 l 上取一点 N，使 NBNA 最大 8 /教管教学教研部25如图，在ABC 中，ABAC，作 AB 边的垂直平分线交直线 BC 于 M，交 AB 于点 N（1）如图（1），若A40，则NMB度；（2）如图（2），若A70，则NMB度；（3）如图（3），若A120，则NMB度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现NMB 与A 有什么关系？写出猜想，并证明四附加题（共四附加题（共 2 小题，每题小题，每题 10 分）分）26如图，山娃星期天从 A 处赶了几只羊到草地 l1放羊，然后赶羊到小河 l2饮水，之后再回到 B处的家，假设山娃赶羊走的
13、都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置 9 /教管教学教研部27. 例 1：在等腰三角形 ABC，A120，求 B 的度数例 2：在等腰三角形 ABC 中，A50，求B 的度数王老师启发同学们进行变式，小兰编了如下一题：变式等腰三角形 ABC 中，A70，求B 的度数；（1）请你解答小兰的变式题；（2）解完（1）后，小兰发现，A 的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 ABC 中，设Ax；当B 的度数唯一时请你探索 x 的取值范围并用含 x 的式子表示B 的度数；当B 有三个不同的度数时请你探索 x 的取值范围，并用含 x 的式子表示B 的度数 10 /
14、教管教学教研部基础知识通关答案基础知识通关答案1. 轴对称图形，对称轴2. 另一个图形，对称点3. 中点4. 垂直平分线，相等，平分5. 距离相等9. 等边对等角，三线合一10.等角对等边12.相等等腰三角形13.30，一半14.线段，垂线段单元检测答案单元检测答案一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行判断【解答】解：第一、三、四个图形是轴对称图形，第二个不是轴对称图形，共 3 个轴对称图形，故选：B【知识点】12【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像
15、与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称成轴对称图形【解答】解：5 对称图形是 2，1 对的是 1，如果是号，5 在前 1 在后，对应为 5 对的是2，1 对的是 1，实际号码是 12故选：C【知识点】23【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：ABC 与ABC关于直线 MN 对称ACAC，AAMN，BOBO，故 A、B、C 选项正确ABBC不一定成立，故 D 选项错误所以，不一定正确的是 D故选：D【知识点】44【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解；【解答】解：如图，最多能画出 7 个格点三角形与ABC 成轴对称 11 /教管
16、教学教研部故选：C【知识点】75【分析】连接 BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AEBE，再根据等边对等角的性质求出ABEA，然后根据三角形的内角和定理求出CBE，再根据 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 CE【解答】解：如图，连接 BEDE 是 AB 的垂直平分线，AEBEABEA30在ABC 中，CBE180AABEC18030309030CE?BE?42故选：C【知识点】5，136【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 DADB，EAEC，根据三角形的周长公式计算即可【解答】解：AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D、EDADB，EAECADE 的
17、周长AD+DE+AEBD+DE+ECBC6cm故选：D【知识点】57【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论【解答】解：ACCB，C40BACB?（18040）70ADAEADEAED?（18070）55GHDE，GADADE55故选：C【知识点】9 12 /教管教学教研部8【分析】由题意得出以 AB 为腰的等腰三角形的点 P 有 2 个，以 AB 为底边的等腰三角形的点 P 有 3 个，即可得出答案【解答】解：如图所示，以 AB 为腰的等腰三角形的点 P 有 2 个以 AB 为底边的等腰三角形的点 P 有 3 个ABP 为等腰三角形的点 P有 5 个故选：D【知识点】19【分析】作点
18、 P 关于 AC 的对称点 E，点 P 关于 BC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于 M，交 BC 于N，连接 CE、CF此时PMN 的周长最小【解答】解：作点 P 关于 AC 的对称点 E，点 P 关于 BC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于 M，交 BC 于 N，连接 CE、CF此时PMN 的周长最小由对称的性质可知，ACPACE，PCBBCF，CPCECF6，ACB30，ECF60，CEF 是等边三角形，EFCE6，PMN 的周长的最小值PM+MN+PNEM+MN+NFEF6，故选：B【知识点】11，12，1510【分析】按照反弹规律依次画图，写出点的坐标，再找出规律即可【解
19、答】解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从 P2反射后到 P3（0，3），再反射到 P4（2，4），再反射到 P5（4，3），再反射到 P 点（0，1）之后，再循环反射，每6 次一循环，201963363，即点 P2019的坐标是（0，3）故选：D【知识点】4 13 /教管教学教研部二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题）11【分析】直接利用轴对称图形的概念分析得出答案【解答】解：线段，等腰三角形，平行四边形，圆其中，不一定是轴对称图形的是故答案为：【知识点】112【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过 12时、6 时的直线成轴对称【解答】解
20、：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象实际时间为时针指向 4 和 5 之间，分针指向 8，故此时的实际时刻是：4 点 40 分故答案为：4：40【知识点】213【分析】当腰长6cm时，底边20668cm，当底边6cm时，腰长?th?7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长【解答】解：等腰三角形的周长为 20cm当腰长6cm 时，底边20668cm，即 6+68，能构成三角形当底边6cm 时，腰长?th?7cm，即 7+67，能构成三角形腰长是 6cm 或 7cm故答案为：6cm 或 7cm【知识点】914
21、【分析】根据等腰三角形与等边三角形三线合一的性质进行分析即可【解答】解：在底和腰不等的等腰三角形中，它的角平分线、中线、高共有线段 7 条故答案为：7【知识点】915【分析】根据“有一内角为 60 度的等腰三角形是等边三角形”进行解答【解答】解：AON60当 OAOPa 时，AOP 为等边三角形故答案是：a【知识点】1216【分析】由作图可知所作直线为线段 AB 的垂直平分线，所以 ADBD，即ABD 是等腰三角形，且A60，所以ABD 为等边三角形【解答】解：由基本作图可知所作直线为线段 AB 的垂直平分线所以 ADBD，即ABD 是等腰三角形且A60，所以ABD 为等边三角形【知识点】5，
22、1217【分析】根据角平分线的定义得到ABDCBD，根据平行线的性质得到ADEC，EDBCBD，求得C30，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：BD 平分ABC，ABDCBDDEBCADEC，EDBCBD 14 /教管教学教研部DE 平分ADB，ADEBDEDBCC，ABC2CA90，ABC+C90C30，ADE30AEa，DE2aEDBDBC，DBEEBDBEDE2a，AB3aBC2AB6a故答案为：6a【知识点】9，10，1318【分析】根据三角形内角和定理求出BAC，根据线段垂直平分线的性质得到 DADC，根据等腰三角形的性质、结合图形计算即可【解答】解：由三角形内角和定理得，B
23、AC180BC85DE 是 AC 边的垂直平分线DADCDACC30BADBACDAC55故答案为：55【知识点】519【分析】连接 AD，AM，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CM+MD 的最小值，由此即可得出结论【解答】解：连接 AD，AMABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点ADBCSABC?BCAD?4AD16，解得 AD8EF 是线段 AC 的垂直平分线点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A
24、MAMCADAM+MDAD 的长为 CM+MD 的最小值CDM 的周长最短（CM+MD）+CDAD?BC8?48+210故答案为：10【知识点】9，1520【分析】根据轴对称的性质可得 PMP1M，PNP2N，然后求出PMN 的周长P1P2【解答】解：P 点关于 OA、OB 的对称点 P1、P2PMP1M，PNP2NPMN 的周长PM+MN+PNP1M+MN+P2NP1P2PMN 的周长是 15P1P215故答案为：15【知识点】4 15 /教管教学教研部三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题）21【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于 x 轴的轴对称图形ABC（2）依据轴对称
25、的性质，即可得到 A，B 关于 y 轴的对称点 A，B的坐标【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求（2）A（3，4），B（4，1）A（3，4），B（4，1）【知识点】722【分析】（1）根据平行线的性质可得EDCB60，根据三角形内角和定理即可求解（2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解【解答】解：（1） ABC 是等边三角形B60DEABEDCB60EFDEDEF90F90EDC30（2） ACB60，EDC60EDC 是等边三角形EDDC3DEF90，F30DF2DE6【知识点】11，12，1323【分析】（1）连接 DE，根据垂直的定义得到ADCBDC90，根据
26、直角三角形的性质得到 DECE，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：（1） 连接 DECD 是 AB 边上的高ADCBDC90BE 是 AC 边上的中线AECE，DECEBDCE，BDDE点 D 在 BE 的垂直平分线上（2） DEAE，AADEADEDBE+DEBBDDE，DBEDEBAADE2ABEBECA+ABEBEC3ABE【知识点】5，9，1024【分析】（1）作点 A 关于直线 l 的对称点，再连接解答即可；（2）连接 BA，延长 BA 交直线 l 于 N，当 N 即为所求； 16 /教管教学教研部【解答】解：（
27、1）如图所示：（2）如图所示；理由：NBNAAB当 A、B、N 共线时，BNNA 的值最大【知识点】14，1525【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出B，再利用三角形内角和定理解决问题即可（2）（3）（4）方法类似【解答】解：（1）如图 1 中，ABACBACB?（18040）70MNAB，MNB90，NMB20故答案为 20（2）如图 2 中，ABACBACB?（18070）55MNAB，MNB90，NMB35故答案为 35（3）如图 3 中如图 1 中，ABACBACB?（180120）30MNAB，MNB90，NMB60故答案为 60（4） 结论：NMB?A理由：如图 1 中，ABAC
28、BACB?（180A）MNAB，MNB90NMB90（90h?A）?A【知识点】5，9四四、附加题附加题（共（共 2 小题）小题）26【分析】作出点 A 关于 l1的对称点 E，点 B 适于 l2的对称点 F，连接 EF，交于 l1，l2于点 C，点 B，则 AC，CD，BD 是他走的最短路线【解答】解：作出点 A 关于 l1的对称点 E，点 B 适于 l2的对称点 F，连接 EF，交于 l1，l2于点C，点 B， 17 /教管教学教研部则 AC，CD，BD 是他走的最短路线【知识点】14，1527. 【分析】 （1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论（2） 当 90 x180
29、 时，A 只能为顶角，B 的度数只有一个，根据三角形的内角和即可得到结论；分两种情况：当 90 x180；当 0 x90，结合三角形内角和定理求解即可【解答】解： （1）若A 为顶角，则B（180A）255若A 为底角，B为顶角，则B18027040若A 为底角，B为底角，则B70故B55或 40或 70（?） 当 9tx180 时，A 只能为顶角B 的度数只有一个B?（180 x）90h?x（90 x180）分两种情况：当 90 x180时，A 只能为顶角B 的度数只有一个当 0 x90 时若A 为顶角，则B（?th?）若A 为底角，B为顶角，则B（1802x）若A 为底角，B为底角，则Bx当?th?1802x 且 1802xx 且?th?x即 x60 时，B 有三个不同的度数综上所述，可知当 0 x90 且 x60 时，B 有三个不同的度数【知识点】9
