1、 1 / 教管教学教研部 第二十第二十七七章章 相似相似 基础知识通关基础知识通关 27.127.1 成比例线段成比例线段 1比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项 （2）常用的性质有： 内项之积等于外项之积若=，则 adbc 合比性质若=，则+=+ 分比性质若=，则= 合分比性质若=，则+=+ 等比性质若= =（b+d+n0），则+= 2比例线段 （1）对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 abcd（即 adbc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段
2、（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系 27.27.2 2 黄金分割黄金分割 3.黄金分割的定义： 如图所示，把线段 AB分成两条线段 AC和 BC（ACBC） ，且使 AC是 AB和 BC的比例中项（即） ，叫做把线段 AB黄金分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点 其中 AC=512AB0.618AB，并且线段 AB的黄金分割点有两个 27.27.3 3 图形的相似图形的相似 4.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 ，边成 ，那么这两个
3、多边形叫做相似多边形。 5.相似比：相似多边形 的比叫做相似比。 6.平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 2727. .4 4 相似三角形相似三角形 7.相似三角形：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 8.相似三角形的判定方法: 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） .平行于三角形一边的直线(或两边延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似； 2 / 教管教学教研部 .如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角
4、,那么这两个三角形相似； .如果两个三角形的两组对应边的 ,并且相应的 相等,那么这两个三角形相似； .如果两个三角形的三组对应边的 ,那么这两个三角形相似； 9. 直角三角形相似判定定理: .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。 10. 相似三角形的性质: .相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。 .相似三角形 的比等于相似比。 .相似三角形 的比等于相似比的平方。 2727. .5 5 位似位似 11.位似图形：如果两个图
5、形不仅是相似图形，而且每组 的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 12.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。（位似图形具有相似图形的所有性质） 3 / 教管教学教研部 单元检测单元检测 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1如果实数 x、y、z 满足关系式那么 x：y：z（ ） A2：3：1 B5：2：2 C8：1：19 D8：1：1 2若 x，则 x 等于（ ） A1 或 B1 C D不能确定 3下列四组线段中，不成比例线段的是（ ） A2cm，5cm，10cm，25cm B4cm，
6、7cm，4cm，7cm C2cm，cm，cm，4cm D cm， cm，2 cm，5 cm 4一本书的宽与长之比是黄金比，书的宽为 14cm，则它的长为（ ）cm A77 B7+7 C217 D721 5若如图所示的两个四边形相似，则 的度数是（ ） A80 B60 C70 D150 6如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） A和 B和 C和 D和 7下列说法正确的是（ ） A对角线相等的平行四边形是菱形 B两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C等边三角形都是相似三角形 D矩形都是相似图形 8五边形 ABCDE五边形 A
7、BCDE，若对应边 AB 与 AB的长分别为 50 厘米和 40 厘米，则五边形 ABCDE与五边形 ABCDE 的相似比是（ ） A5：4 B4：5 C5：2 D2：5 9在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法如图所示，以线段 AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连结 BE，延长 DA 至 F，使得 EFBE，以 AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1与S2的大小关系是（ ） AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定 4 / 教管教学教研部 10如
8、图，ABCDEFGH，ABEF，记四边形 ABFE、四边形 BCGF、四边形 CDHG、四边形 DAEH 的面积分别 S1，S2，S3，S4，若已知ABCD 和EFGH 的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ） AS1S2 BS1+S3 CS4S2 DS3+S4 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，则 12如图，l1l2l3，AG1.2cm，BG2.4cm，CD3cm，则 CH 20在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2），B（5，0），以点 O 为位似中心，相似比为，把ABO
9、 缩小，得到A1B1O，则点 A 的对应点 A1的坐标为 14如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 BC 上，且 BDBA，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，点 F是 AC 的中点，连结 EF若四边形 DCFE 和BDE 的面积都为 3，则ABC 的面积为 15如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，请你添加一个条件，使得APBABC，这个条件可以是 16如图，在ABC 中，AB12，AC15，D 为 AB 上一点，DBAB，E 为 AC 上一点， ADEACB，则 AE 的长为 5 / 教管教学教研部 17如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，正方形 EFGH 的四个顶点都在
10、ABC 的边上，若 BC6cm，AD4cm，则正方形 EFGH 的边长是 cm 18如图，一同学在广场边的一水坑里看到一棵树，他目测出自己与树的距离约为 20m，树的顶端在水中的倒影距自己约 5m 远，该同学的身高为 1.7m，则树高约为 m 19在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D，AD1cm，DB2cm，则 AC cm 20如图，平面直角坐标系中，矩形 ABOC 的边 BO，CO 分别在 x 轴，y 轴上，A 点的坐标为 （8，6），点 P 在矩形 ABOC 的内部，点 E 在 BO 边上，满足PBECBO，当APC 是等腰三角形时，P 点坐标为 三解答题（共三解答题（共
11、7 7 小题）小题） 21如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC 的顶点在格点上，且 A（4，4），B（6，6），C（0，2） （1）画出ABC，并求出ABC 的面积； （2）以点 O 为位似中心，画出ABC 的位似图形，使之与ABC 的相似比为 1：2 6 / 教管教学教研部 22如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上），测得 AC2m，BD2.1m
12、，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE 23如图ABDBCD90，DB 平分ADC，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M连接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2ADCD； （2）若 CD6，AD8，求 MN 的长 24如图在ABC中，ACB90，CD是高，BE平分ABCBE分别与 AC，CD交于 E，F （1）求证：AEBCFB； （2）求证：； （3）若 CE5，EF2，BD6求 AD的长 7 / 教管教学教研部 25如图，ABCD 中，E，F，G，H 分别在四条边上AEAH，BEBF，DGDH， A2B2ECH （1）写出图中的相似三角形，并证
13、明 （2）当 BE2，DH3 时，求 EH 的长 四四、附加题附加题（共（共 2 2 小题）小题） 26在ABC 中，ACB45点 D（与点 B、C 不重合）为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）如果 ABAC如图，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段 CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你的结论 （2）如果 ABAC，如图，且点 D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P， 设 AC，BC3，CDx，求线段 CP 的长（用含 x 的式子
14、表示） 8 / 教管教学教研部 27问题 1：如图，在ABC 中，AB4，D 是 AB 上一点（不与 A，B 重合），DEBC，交 AC 于点 E，连接 CD设ABC 的面积为 S，DEC 的面积为 S （1）当 AD3 时， ； （2）设 ADm，请你用含字母 m 的代数式表示 问题 2：如图，在四边形 ABCD 中，AB4，ADBC，AD BC，E 是 AB 上一点（不与 A，B 重合），EFBC，交 CD 于点 F，连接 CE设 AEn，四边形 ABCD 的面积为 S，EFC 的面积为S请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代数式表示 9 / 教管教学教研部 基础知识通关答案基
15、础知识通关答案 4.相等，比例；5.对应边；7.相等，成比例 8.对应相等,；比相等,夹角；比相等 10. 相似三角形的性质:周长；面积； 11.对应顶点 单元检测答案单元检测答案 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1【分析】将 y 看做已知数，然后解得 x、z 的值，注意是将 x、z 用含 y 的式子表示出来，从而求得 x：y：z 的比 【解答】解：2x+3yz0 5x2y2z0 2，得 4x+6y2z0 x8y0，x8y 把 x8y 代入方程z19y x：y：z8y：y：19y8：1：19故选：C 【知识点】1 2【分析】分两种情况讨论：当 a+b+c0 时和当 a+b+c
16、0 时 【解答】解：x， 当 a+b+c0 时，x； 当 a+b+c0 时，x1，故选：A 【知识点】1 3【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案 【解答】解：A225510，四组线段中能成比例，不符合题意； B4747，四组线段中能成比例，不符合题意； C42，四组线段不能成比例，符合题意； D52，四组线段中能成比例，不符合题意；故选：C 【知识点】1、2 4【分析】根据黄金比值是计算即可 【解答】解：由黄金比值可知，这本书的长（cm），故选：B 【知识点】3 5【分析】由如图所示的两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得
17、答案 【解答】解：如图， 四边形 ABCD四边形 ABCD， AA150， BB60，CC80， 360ABC70故选：C 【知识点】4 10 / 教管教学教研部 6【分析】设小长方形的长为 2，宽为 1利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断 【解答】解：设小长方形的长为 2，宽为 1则图中三角形三边长分别为：2，2，2， 图中的三角形的三边长分别为：2，5， 图中的三角形的三边长分别为：2，2，4 图中的三角形的边长分别为：，5， 只有的三角形的三边成比例，故选：D 【知识点】5 7【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法，相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法一一判断即可 【解答】解：
18、A、对角线相等的平行四边形是菱形，错误应是对角线相等的平行四边形是矩形 B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C、等边三角形都是相似三角形，正确 D、矩形都是相似图形，错误，对应边不一定成比例故选：C 【知识点】4 8【分析】由题意可知，相似多边形的边长之比相似比，就可以求出 【解答】解：五边形 ABCDE与五边形 ABCDE 的相似比是40：504：5 选 B 【知识点】4、5 9【分析】设正方形 ABCD 的边长为 2a，根据勾股定理求出 BE，求出 EF，求出 AF，再根据面积公式求出 S1、S2即可 【解答】解：四边形 ABC
19、D 是正方形，EAB90， 设正方形 ABCD 的边长为 2a E 为 AD 的中点，AEa 在 RtEAB 中，由勾股定理得：BE a EFBE，EF a AFEFAE aa（1）a 即 AFAH（1）a S1AFAH（1）a（1）a6a22 a2 S2S正方形 ABCDS长方形 ADIH2a2a2a（1）a6a22 a2 即 S1S2 故选：C 【知识点】3 10.【分析】作 CKAB 于 K，GNEF 于 N，FMAB 于 M，HJCD 于 J， 得出 CKFM+GN+HJ，四边形 AEFB 和四边形 CDHG 都是梯形， 由ABCDEFGH，得出，设a， 则 EFHGaAB，GNaCK
20、，求出S平行四边形 ABCDS平行四边形 EFGH（1a2）ABCK， S1+S3（1a2）ABCK 即可得出结果 11 / 教管教学教研部 【解答】解：作 CKAB 于 K，GNEF 于 N，FMAB 于 M，HJCD 于 J， 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是平行四边形，ABEF， CKFM+GN+HJ，四边形 AEFB 和四边形 CDHG 都是梯形， ABCDEFGH， 设a ABCD，EFHG，EFHGaAB，GNaCK S1（EF+AB）MF（a+1）ABMF S3（GH+CD）HJ（a+1）ABHJ， S平行四边形 ABCDS平行四边形 EFGHABCKEFGN（ABCK
21、aABaCK）（1a2）ABCK， S1+S3（a+1）ABMF+（a+1）ABHJ（a+1）AB（MF+HJ）（a+1）AB（CKGN） （a+1）AB（1a）CK（1a2）ABCK， S1+S3S平行四边形 ABCDS平行四边形 EFGH 故选：B 【知识点】4、5、6 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题） 11【分析】根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理进行解答 【解答】解：如图，过点 D 作 DGBE，交 AC 于点 G； AD 是ABC 的中线，BDDC ， 故答案为： 【知识点】2、6 12【分析】
22、根据平行线分线段成比例定理计算解答即可 【解答】解：l1l2l3， ， 即 解得：CH1cm， 【知识点】2、6 13【分析】根据位似变换的性质计算即可 【解答】解：以点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小，点 A 的坐标是 A（4，2） 点 A 对应点 A1坐标为（4，2）或（4，2），即（2，1）或（2，1） 【知识点】11 12 / 教管教学教研部 14【分析】依据 BDAB，BE 是ABC 的平分线，即可得到 AEDE，进而得出BDE 的面积与ABE 的面积均为 3，再根据 EF 是ACD 的中位线，即可得出ACD 的面积为 4，即可得到ABC的面积为 3+3+410 【解答】解
23、：BDAB，BE 是ABC 的平分线 AEDE，BDE 的面积与ABE 的面积均为 3 又点 F 是 AC 的中点，EF 是ACD 的中位线 2EFCD，EFDC，AEFADC SACD4SAEF 四边形 CDEF 的面积为 3 ACD 的面积为 4 ABC 的面积为 3+3+410 【知识点】6、10 15【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中A 为公共角，再有一对应角相等即可 【解答】解：在ABP 与ACB 中，A 为公共角，只需一组对应角相等，即ABPC 【知识点】7、8 16【分析】由ADEACB，A 是公共角，可证得AEDABC，然后根据相似三角形
24、的性质即可得到结论 【解答】解：AB12，DBAB，ADAB8 AA，ADEACB，ADEACB ，AE 【知识点】8、10 17【分析】根据 EHBC 求得AEHABC，如图设 AD 与 EH 交于点 M，首先证明四边形 EFDM 是矩形，设正方形边长为 x，再利用AEHABC，得，列出方程即可解决问题 【解答】解：如图设 AD 与 EH 交于点 M，正方形 EFGH 的边长为 x， 四边形 EFGH 是正方形，EHBC AEHB，AHEC AEHABC ，x 正方形 EFGH 的边长为cm 【知识点】6、8 18 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据
25、相似三角形的性质解答即可 【解答】解：由题意可得：BCAEDA90，BACEAD 故ABCAED， 由相似三角形的性质，设树高 x 米 则，x5.1m 故答案为：5.1 【知识点】9、10 13 / 教管教学教研部 19 【分析】由射影定理求出 CD，再根据勾股定理求出 AC 即可 【解答】解：如图所示： ACB90，CDAB 于 D 由射影定理得：CD2ADDB121，CD1cm 由勾股定理得：AC2 【知识点】9、10 20【分析】由题意得出 P 点在 AC 的垂直平分线上或在以点 C 为圆心 AC 为半径的圆弧上； 当 P 点在 AC 的垂直平分线上时，点 P 同时在 BC 上，AC 的
26、垂直平分线与 BO 的交点即是 E，证出 PECO，则PBECBO，由已知得出点 P 横坐标为4，OC6，BO8，BE4，由相似对应边成比例得出 PE3 即可得出结果； P 点在以点 C 为圆心 AC 为半径的圆弧上，圆弧与 BC 的交点为 P，过点 P 作 PEBO 于 E，证出 PECO，则PBECBO，由已知得出 ACBO8，CP8，ABOC6，由勾股定理得出BC10，则 BP2，由相似对应边成比例得出 PE，BE，则 OE 即可得出结果 【解答】解：点 P 在矩形 ABOC 的内部，且APC 是等腰三角形 P 点在 AC 的垂直平分线上或在以点 C 为圆心 AC 为半径的圆弧上； 当
27、P 点在 AC 垂直平分线上时，点 P 在 BC 上， AC 垂直平分线与 BO 交点是 E，如图 1 所示： PEBO，COBO，PECO，PBECBO 四边形 ABOC 是矩形，A 点的坐标为（8，6） 点 P 横坐标为4，OC6，BO8，BE4 PBECBO，即 解得：PE3，点 P（4，3）； P 点在以点 C 为圆心 AC 为半径的圆弧上，圆弧与 BC 的交点为 P， 过点 P 作 PEBO 于 E，如图 2 所示： COBO，PECO，PBECBO 四边形 ABOC 是矩形，A 点的坐标为（8，6） ACBO8，CP8，ABOC6 BC10，BP2 PBECBO ，即：， 解得：P
28、E，BE OE8 点 P（，）； 综上所述：点 P 的坐标为：（，）或（4，3）； 故答案为：（，）或（4，3） 【知识点】8、10 14 / 教管教学教研部 三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题） 21【分析】（1）直接利用各点坐标得出各点位置进而得出答案； （2）利用位似比得出对应点位置进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：ABC，即为所求， ABC 的面积为：410244621014； （2）如图所示：ABC和ABC即为所求 【知识点】11、12 22【分析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点
29、H，根据 GFAC 得到MACMFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可 【解答】解：设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M， 连接 GF 并延长交 OE 于点 H GFAC，MACMFG 即： ，OE32 答：楼的高度 OE 为 32 米 【知识点】8、10 23【分析】（1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论； （2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证 AMMDMB4，由 BD2ADCD 和勾股定理可求 MC 的长，通过证明MNBCND，可得，即可求 MN 的长 【解答】证明：（1）DB 平分ADC ADBCDB，且ABDBCD90
30、 ABDBCD， BD2ADCD （2）BMCD，MBDBDC ADBMBD，且ABD90 BMMD，MABMBA，BMMDAM4 BD2ADCD，且 CD6，AD8， BD248，BC2BD2CD212 MC2MB2+BC228，MC2 BMCD，MNBCND ，且 MC2 MN; 【知识点】8、10 15 / 教管教学教研部 24.【分析】 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断 （2）首先证明 CECF，利用相似三角形的性质即可解决问题 （3）解直角三角形求出 FH，CH，利用相似三角形的性质求出 DF，AD即可 【解答】 （1）证明：ACB90，ACD+BCD90 CD 为 AB
31、边上的高，ADC90 A+ACD90，ABCD BE 是ABC 的平分线，ABECBE AEBCFB （2）证明：ABECBE，ABCD CFEBCD+CBEA+ABE CEFA+ABE，CEFCFE，CECF AEBCFB， （3）解：如图，作 CHEF 于 H CECF，CHEF，EHFH CH2 由BFDCFH 可得， DF3，CDCF+DF8 由ACDCBD 可得 ，AD 【知识点】8、10 25【分析】（1）结论：BEFDGH，EFCCGH根据相似三角形判定方法一一证明 （2）作 AIEH 于 I设 AEAHa则 ABCDa+2，ADBCa+3推出 FCa+1，GCa1，利用相似三角
32、形的性质构建方程求出 a，即可解决问题 【解答】解：（1）BEFDGH，EFCCGH理由如下： ABCD 是平行四边形，BAD+B180 BAD2B，BAD120，B60 BEBF，BEF 是等边三角形 同理，DGH 是等边三角形BEFDGH BADBCD120，560，4+660 3+4160，36，27120 EFCCGH （2）作 AIEH 于 I 设 AEAHa则 ABCDa+2，ADBCa+3 FCa+1，GCa1 由EFCCGH，得 ，（a1）（a+1）6 a或（舍弃） AEAH，AIEH，EH2EI 【知识点】8、10 16 / 教管教学教研部 四附加题（共四附加题（共 2 2
33、小题）小题） 26【分析】（1）由ACB45，ABAC，得ABDACB45； BAC90，由正方形 ADEF，可得DAF90，ADAF，DAFDAC+CAF； BACBAD+DAC； CAFBAD可证DABFAC（SAS），得ACFABD45， BCFACB+ACF90即 CFBD （2）过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，可得出 ACAG， 易证：GADCAF，所以ACFAGD45，BCFACB+ACF90即 CFBD （3）若正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与线段 CF 所在直线相交于点 P， 设 AC，BC3，CDx，求线段 CP 的长考虑点 D 的位置，分两种情况去解答
34、点 D 在线段 BC 上运动，已知BCA45，可求出 AQCQ4即 DQ4x， 易证AQDDCP，问题可求 点 D 在线段 BC 延长线上运动时，BCA45，可求出 AQCQ4， DQ4+x过 A 作 AQBC 交 CB 延长线于点 Q，则AGDACF，得 CFBD， 由AQDDCP，得，问题解决 【解答】解：（1）CF 与 BD 位置关系是垂直；证明如下： ABAC，ACB45，ABC45 由正方形 ADEF 得 ADAF DAFBAC90，DABFAC DABFAC（SAS），ACFABD BCFACB+ACF90即 CFBD （2）ABAC 时，CFBD 的结论成立 理由是：过点 A 作
35、 GAAC 交 BC 于点 G ACB45，AGD45，ACAG 同理可证：GADCAF ACFAGD45，BCFACB+ACF90，即 CFBD （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q 点 D 在线段 BC 上运动时 BCA45，可求出 AQCQ4 DQ4x，AQDDCP ， 点 D 在线段 BC 延长线上运动时 BCA45，AQCQ4，DQ4+x 过 A 作 AQBC，QFAD90 CAFCCD90，ACFCCD ADQAFC 则AQDACFCFBD，AQDDCP ， 【知识点】8、10 17 / 教管教学教研部 27【分析】问题 1： （1）先根据平行线分线段成比例定理
36、可得：， 由同高三角形面积比等于对应底边比，则， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：，可得结论； （2）解法一：同理根据（1）可得结论； 解法二：作高线 DF、BH， 根据三角形面积公式可得：，分别表示和的值，代入可得结论； 问题 2： 解法一：如图 2，作辅助线，构建OBC，证明OADOBC，得 OB8， 由问题 1 的解法可知：， 根据相似三角形的性质得：，可得结论； 解法二：如图 3，连接 AC 交 EF 于 M，根据 ADBC，可得，得：SADCS， SABC，由问题 1 的结论可知：，证明CFMCDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论 【解答】解：问题
37、1： （1）AB4，AD3，BD431， DEBC， DEBC，ADEABC ， 即 （2）解法一：AB4，ADm，BD4m DEBC， DEBC，ADEABC 即 18 / 教管教学教研部 解法二：如图 1，过点 B 作 BHAC 于 H，过 D 作 DFAC 于 F，则 DFBH ADFABH， 即； 问题 2：如图， 解法一：如图 2，分别延长 BD、CE 交于点 O， ADBC，OADOBC ，OAAB4，OB8 AEn，OE4+n EFBC 由问题 1 的解法可知： ， ，即； 解法二：如图 3，连接 AC 交 EF 于 M ADBC，且 ADBC ，SADC SADCS，SABC 由问题 1 的结论可知： MFAD，CFMCDA ，SCFMS SEFCSEMC+SCFM+S 【知识点】8、10
