1、 1 /教管教学教研部第十七章第十七章 勾股定理勾股定理基础知识通关基础知识通关17.117.1 勾股定理勾股定理1.勾股定理如果三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么。注意：勾较短的直角边，股较长的直角边，弦斜边勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。17.217.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理3.勾股定理逆定理如果三角形三边长 a,b,c 满足，那么这个三角形是直角三角形。4.互逆命题我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做。如果把其中一个叫
2、做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 勾股数满足的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍后，仍为勾股数注意：以勾股数组中的三个数分别为各边长的三角形一定是直角三角形;勾股数组中的三个数必须是正整数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；即如果(a，b，c)满足勾股定理，那么(ak，bk，ck)也满足勾股定理(k 为正整数).记住常用的勾股数组在做题时可以提高速度如:3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；本章知识结构图本章知识结构图 2 /教管教学教研部单元检测单元检测一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题）1直角三角
3、形两边长分别是 3、4，第三边是（）A5BC5 或D无法确定2如图，数轴上的点 A 所表示的数为 x，则 x 的值为（）ABC2D23如图，RtABC 中，ACB90，若 AB15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（）A150cm2B200cm2C225cm2D无法计算4下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）ABCD5以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A3，5，7B5，7，9C3，2，D2，2，26下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A1，B3，4，5C5，12，13D2，2，37下列数据中是勾股数的有（）组（1
4、）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26A1B2C3D48我国古代用勾、股和弦分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，如图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，数学家邹元治利用该图证明了勾股定理，现已知大正方形面积为 9，小正方形面积为 5，则每个直角三角形中勾与股的差的平方为()A4B3C2D19如图，字母 B 所代表的正方形的面积是（）A12B144C13D19410九章算术是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈10 尺），一
5、阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为 x 尺，则可列方程为（）Ax23（10 x）2Bx232（10 x）2Cx2+3（10 x）2Dx2+32（10 x）2 3 /教管教学教研部二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11如图，在边长为 1 的正方形网格中，两格点A，B之间的距离d3（填“” ， “=”或“” ）第 11 题图第 12 题图12如图，在 66 正方形网格（每个小正方形的边长为 1cm）中，网格线的交点称为格点，ABC的顶点都在格点处，则 AC 边上的高的长度为cm13在我国古代，人们将直角三角形
6、中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦3 世纪，汉代赵爽在注解周髀算经时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方在ABC 中，C90，斜边 AB13，AC12，则 BC 的长度为14. 如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA（点 A，B，P 是网格线交点）第 14 题图第 15 题图15如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长都为 1，则ABC 是三角形16观察下列勾股数组：abc681081517102426123537用含有字母 a 的代数式分别表示 b，c，则 b，c17古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 m
7、表示大于 1 的整数，a2m，bm21，cm2+1，那么a，b，c 为勾股数请你利用这个结论得出一组勾股数是18一块木板如图所示，已知 AB4，BC3，DC12，AD13，B90，木板的面积为19小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余 1m，当他把绳子下端拉开 5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米 4 /教管教学教研部20勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的， 可以用其面积关系验证勾股定理图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，90BAC，3AB ，4AC ，点D，E，F
8、，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为三解答题（共三解答题（共 7 7 小题）小题）21如图，在四边形 ABCD 中，BD90，ABBC2，CD1，求 AD 的长22如图，方格纸中小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边 AC，AB，BC 的长；（2）点 C 到 AB 边的距离；（3）求ABC 的面积 5 /教管教学教研部23（1）如图 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；（2）如图 2，RtABCRtCDE，BD90，且 B，C，D 三点共线试证明ACE90；（3）请利用（1）中的公式和图 2 证明勾股定理24已知某开发区有一块
9、四边形的空地 ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A90，AB3m，BC12m，CD13m，DA4m，若每平方米草皮需要 200 元，问要多少投入？25一架梯子长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米到 A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 6 /教管教学教研部四、附加题（共四、附加题（共 2 2 小题）小题）26阅读下列材料，并回答问题 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利用这个结论，解决下面问题：（1）一个直角三角形的两条直角边
10、分别为 6、8，那么这个直角三角形斜边长为（2）如图 1，ADBC 于 D，ADBD，ACBE，AC3，DC1，求 BD 的长度（3）如图 2，点 A 在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图 2 数轴上画出表示数的 B 点（保留作图痕迹）27若正整数 a，b，c（abc）满足 a2+b2c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”观察下列两类“勾股数”：第一类（a 是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；第二类（a 是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就 a 为奇数、偶数两种情形，用 a
11、表示 b 和 c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数” 7 /教管教学教研部基础知识通关答案基础知识通关答案1直角，222abc3222abc4互逆命题5222abc，正整数单元检测答案单元检测答案一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题）1【分析】此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时【解答】解：当第三边是斜边时，则第三边5当第三边是直角边时，则第三边故选：C【知识点】12【分析】根据图形特点，求出斜边的长，即得 OA 的长，可求出 x 的值【解答】解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1那么斜边长为：，那么 0 到 A 的距离为在原点的左边，则 x故
12、选：B【知识点】13【分析】小正方形的面积为 AC 的平方，大正方形的面积为 BC 的平方两正方形面积的和为AC2+BC2，对于 RtABC，由勾股定理得 AB2AC2+BC2AB 长度已知，故可以求出两正方形面积的和【解答】解：正方形 ADEC 的面积为：AC2正方形 BCFG 的面积为：BC2在 RtABC 中，AB2AC2+BC2，AB15则 AC2+BC2225cm2故选：C【知识点】14【分析】根据图形的面积得出 a，b，c 的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可【解答】解：A，B，C 都可以利用图形面积得出 a，b，c 的关系，即可证明勾股定理故 A，B，C 选项不符合题意D、
13、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确故选：D【知识点】15【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是【解答】解：A、32+5272，不能构成直角三角形，故错误B、52+7292，不能构成直角三角形，故错误C、22+32（）2，能构成直角三角形，故正确D、22+22（2）2，不能构成直角三角形，故错误故选：C【知识点】36【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、12+（）23（）2，故是直角三角形，故错误B、42+322552，故是
14、直角三角形，故错误C、52+122169132，故是直角三角形，故错误 8 /教管教学教研部D、22+22832，故不是直角三角形，故正确故选：D【知识点】37【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为 32+5272（2）5，15，17 不是勾股数，因为 52+152172（3）1.5，2，2.5 不是勾股数，因为 1.5，2，2.5 不是正整数（4）7，24，25 是勾股数，因为 72+242252，且 7、24、25 是正整数（5）10，24，26 是勾股数，因为 102+242262，
15、且 10，24，26 是正整数故选：B【知识点】58【分析】设勾为x，股为y，根据面积求出2xy ，根据勾股定理求出225xy，根据完全平方公式求出xy即可【解答】解：设勾为x，股为()y xy大正方形面积为 9，小正方形面积为 514592 2xy225xy222()25221yxyxxyxy 2()1xy故选：D【知识点】19【分析】外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答【解答】解：如图，根据勾股定理我们可以得出a2+b2c2a225，c2169b216925144因此 B 的面积是 144故选：B【知识点】110【分析】竹子折断后刚好构成
16、一直角三角形，设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾股定理解题即可【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺根据勾股定理得：x2+32（10 x）2故选：D【知识点】1二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）11【分析】根据勾股定理即可得到结论【解答】解：点A，B之间的距离2223133d 故答案为：【知识点】112【分析】在 RtABC 中，由勾股定理求得 AC 的长度，然后利用等面积法求得 AC 边上的高的长度【解答】解：如图，在 RtABC 中，AB4cm，BC4cm 9 /教管教学教研部由勾股定理知，AC4设 AC 边上的高的长度为 hc
17、m，则ABBCAChh2（cm）故答案是：2【知识点】113【分析】根据勾股定理进行解答即可【解答】解：依题意得：BC5故答案是：5【知识点】114【分析】延长 AP 交格点于 D，连接 BD，根据勾股定理得到 PD2BD21+225，PB212+3210求得 PD2+DB2PB2，于是得到PDB90，根据三角形外角的性质即可得到结论【解答】解：延长 AP 交格点于 D，连接 BD则 PD2BD21+225，PB212+3210PD2+DB2PB2PDB90DPBPAB+PBA45故答案为：45【知识点】1、315【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长
18、边的平方即可【解答】解：AC222+3213，AB262+4252，BC282+1265AC2+AB2BC2，ABC 是直角三角形【知识点】316【分析】根据数据图表中数字特点，8321，15421，24521，以及 1032+1，1742+1，2652+1，即可得出规律写出即可【解答】解：a6，8，10，12 时，对应 b 的值为8321，15421，24521，35621，b对应 c 的值为1032+1，1742+1，2652+1，c+1故答案为：；+1【知识点】517【分析】取 m2，分别计算出 a，b，c 的值即可求解【解答】解：如果 m 表示大于 1 的整数，a2m，bm21，cm2
19、+1，那么 a，b，c 为勾股数，当 m 为大于 1 的任意整数时，a，b，c 为勾股数如 m2，那么 a2m4，bm213，cm2+15故答案为 4，3，5（答案不唯一）【知识点】518【分析】由于ABC 是直角三角形，利用勾股定理可求 AC，而 52+122169132，可证ADC是直角三角形，再利用 S木板SADCSABC即可求木板的面积【解答】解：如右图所示，连接 AC 10 /教管教学教研部B90，AB4，BC3AC5DC12，AD1352+122169132ADC 是直角三角形S木板SADCSABCDCACABBC30624故答案为：24【知识点】1、319【分析】由题可知，旗杆，
20、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答【解答】解：设旗杆高 xm，则绳子长为（x+1）m，旗杆垂直于地面旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为 x2+52（x+1）2，解得 x12m【知识点】120【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长， 再求出矩形KLMJ的长与宽， 然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解【解答】解： 如图， 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P所以， 四边形AOLP是正方形边长347AOABAC 所以，3710KL ，4711LM 因此， 矩形KLMJ的面积为10 11 110故答
21、案是： 110【知识点】1三解答题（共三解答题（共 5 5 小题）小题）21【分析】连接 AC，首先由勾股定理求得 AC2的值；然后在直角ACD 中，再次利用勾股定理来求 AD 的长度即可【解答】解：连接 ACB90AC2AB2+BC2ABBC2，AC28D90AD2AC2CD2CD1AD27【知识点】122【分析】（1）直接利用勾股定理求出边 AC，AB，BC 的长（2）（3）利用正方形的面积减去三角形三个顶点上三角形的面积得到ABC 的面积，进而得出点 C 到 AB 边的距离【解答】解：（1）ACAB，BC（2）SABC333121233.5设点 C 到 AB 边的距离为 h，则hAB3.
22、5解得：h 11 /教管教学教研部即点 C 到 AB 的距离是（3）由（2）可知ABC 的面积3.5【知识点】123【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和从而推出平方和公式（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形 ABDE 的面积三角形 ABC 的面积+三角形CDE 的面积+三角形 ACE 的面积【解答】解：（1）这个公式为（a+b）2a2+2ab+b2证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形大正方形的面积（a+b）2，两个长方形的面积（a+b）b+ab小正方形的面积a2那么
23、大正方形的面积（a+b）b+ab+a2（a+b）2a2+2ab+b2（2）RtABCRtCDEBACDCEACB+DCEACB+BAC90由于 B，C，D 共线所以ACE180（ACB+DCE）1809090（3）梯形 ABDE 的面积为（AB+ED）BD（a+b）（a+b）（a+b）2另一方面，梯形 ABDE 可分成三个直角三角形其面积又可以表示成ab+ab+c2所以，（a+b）2ab+ab+c2即 a2+b2c2【知识点】124【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果连接 BD，在直角三角形 ABD中可求得 BD 的长，由 BD、CD、BC 的长度关系可得三角形 DBC 为一
24、直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形 ABCD 由 RtABD 和 RtDBC 构成，则容易求解【解答】解：连接 BD在 RtABD 中，BD2AB2+AD232+4252在CBD 中，CD2132BC2122而 122+52132即 BC2+BD2CD2DBC90S四边形 ABCDSBAD+SDBC36 需费用 362007200（元）【知识点】1、325【分析】（1）利用勾股定理直接得出 AB 的长即可；（2）利用勾股定理直接得出 BC的长，进而得出答案【解答】解：（1）由题意得：AC25 米，BC7 米AB24（米）答：这个梯子的顶端距地面有 24 米 12 /教管教学教研部（2）由题
25、意得：BA20 米BC15（米）则：CC1578（米）答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 米【知识点】1四四附加题附加题（共（共 2 2 小题）小题）26【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据勾股定理求出 AD，根据题意求出 BD；（3）根据勾股定理计算即可【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为 6、8则这个直角三角形斜边长10故答案为：10（2）在 RtADC 中，AD2BDAD2（3）点 A 在数轴上表示的数是：由勾股定理得，OC以 O 为圆心、OC 为半径作弧交 x 轴于 B，则点 B 即为所求故答案为：【知识点】127【分析】（1）根据勾股数的定义即可得到结论；（2）当 a 为奇数时，当 a 为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论【解答】解：（1）第一组（a 是奇数）：9，40，41（答案不唯一）第二组（a 是偶数）：12，35，37（答案不唯一）（2）当 a 为奇数时，当 a 为偶数时，证明：当 a 为奇数时，a2+b2（a，b，c）是“勾股数”当 a 为偶数时，a2+b2（a，b，c）是“勾股数”【知识点】5
